1、第 1 页(共 9 页)2015-2016 学年四川省成都市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 A=1,0,1,2,B=x|x2 ,则AB=( )A1,0,1 B 1,0,2 C1,0 D0,12 (5 分)sin150的值等于( )A B C D3 (5 分)下列函数中,f(x )与 g(x)相等的是( )Af(x)=x,g(x )= Bf (x)=x 2,g(x)= ( ) 4Cf(x)=x 2,g(x)= Df(x )=1 ,g(x)=x 04 (5 分)幂函数 y
2、=xa( 是常数)的图象( )A一定经过点(0,0 ) B一定经过点(1,1 )C一定经过点( 1,1) D一定经过点(1,1)5 (5 分)下列函数中,图象关于点( ,0)对称的是( )Ay=sin (x + ) By=cos(x ) Cy=sin (x+ )D y=tan(x + )6 (5 分)已知 a=log32,b=(log 32) 2,c=log 4 ,则( )Aa c b Bcba Cabc Dba c7 (5 分)若角 =2rad(rad 为弧度制单位) ,则下列说法错误的是( )A角 为第二象限角 B=Csin0 Dsincos8 (5 分)下列函数中,是奇函数且在(0 ,1
3、上单调递减的函数是( )Ay=x 2+2x By=x + Cy=2 x2x Dy=19 (5 分)已知关于 x 的方程 x2kx+k+3=0,的两个不相等的实数根都大于 2,则实数 k 的取值范围是( )Ak6 B4k7 C6k7 Dk6 或 k 210 ( 5 分)已知函数 f(x)=2log 22x4log2x1 在 x1,2上的最小值是 ,则实数 的值为( )A= 1 B= C= D=11 ( 5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x3, 2时,f(x )=x 2+4x+3,则 y=ff(x )+1 在区间3,3上的零点个数为( )A1 个 B2 个
4、 C4 个 D6 个12 ( 5 分)已知函数 f(x)=,其中x表示不超过 x 的最大整数,如,35=4,12=1 ,设 nN*,定义函数fn(x)为:f 1(x)=f (x) ,且 fn(x)=ff n1(x )(n2) ,有以下说法:函数 y= 的定义域为x| x 2;设集合 A=0,1 ,2,B=x|f 3(x)=x,x A,则 A=B;f 2015( )+f 2016( )= ;若集合 M=x|f12(x)=x,x 0,2 ,则 M 中至少包含有 8个元素其中说法正确的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13
5、 ( 5 分)函数 y= 的定义域是 14 ( 5 分)已知 是第三象限角,tan= ,则 sin= 15 ( 5 分)已知函数 f(x) (对应的曲线连续不断)在区间0,2上的部分对应值如表:由此可判断:当精确度为 0.1 时,方程 f(x)=0 的一个近似解为 (精确到 0.01)x 0 0.88 1.30 1.406 1.431 1.52 1.62 1.701.8752f(x)20.9630.340 0.053 0.145 0.6251.9752.5454.055第 2 页(共 9 页)16 ( 5 分)已知函数 f(x)=tan ,x ( 4,4) ,则满足不等式(a1)log f(a
6、 1)+ 2 的实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 ( 10 分) ()计算:( ) 1+( ) +lg3lg0.3()已知 tan=2,求 的值18 ( 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当x0 时,f(x)= 1()求 f(0 ) ,f(2)的值()用函数单调性的定义证明函数 f(x )在(0,+)上是减函数19 ( 12 分)某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是N=N0et,其中 e=2.71828为自然对数的底数, N0, 是正的常数()当 N0=e3, = ,t
7、=4 时,求 lnN 的值()把 t 表示原子数 N 的函数;并求当 N= ,= 时,t的值(结果保留整数)20 ( 12 分)某同学用“五点法”画函数 f(x )=Asin(x+)+B(A0,0 ,| )在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:x x1 x2 x3x+ 0 2Asin(x+)+B 1 4 121()求 x2 的值及函数 f(x)的解析式;()请说明把函数 g(x)=sinx 的图象上所有的点经过怎样的变换可以得到函数 f(x )的图象21 ( 12 分)已知函数 f(x)=log a (a0 且 a1)的定义域为x|x2 或 x2 (1)求实数 m 的值;(2)设
8、函数 g( x)=f( ) ,对函数 g(x )定义域内任意的x1,x 2,若 x1+x20 ,求证:g(x 1)+g(x 2)=g( ) ;(3)若函数 f(x)在区间(a4 ,r)上的值域为(1,+) ,求ar 的值22 ( 12 分)已知函数 f(x)=sin (x R) 任取 tR,若函数 f(x)在区间 t,t+1上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t) ,记 g(t)=M(t)m (t) ()求函数 f(x )的最小正周期及对称轴方程()当 t2,0时,求函数 g(t)的解析式()设函数 h( x)=2 |xk|,H(x)=x|xk|+2k8,其中实数 k 为参数,且满足关于
9、t 的不等式 k5g(t)0 有解若对任意x14,+) ,存在 x2(,4,使得 h(x 2)=H(x 1)成立,求实数 k 的取值范围参考公式:sincos= sin( )第 3 页(共 9 页)2015-2016 学年四川省成都市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 A=1,0,1,2,B=x|x2 ,则AB=( )A1,0,1 B 1,0,2 C1,0 D0,1【解答】已知集合 A=1,0,1 , 2,B= x|x2,则 AB=1,0,1故选:A2
10、(5 分)sin150的值等于( )A B C D【解答】解:sin150=sin30=故选 A3 (5 分)下列函数中,f(x )与 g(x)相等的是( )Af(x)=x,g(x )= Bf (x)=x 2,g(x)= ( ) 4Cf(x)=x 2,g(x)= Df(x )=1 ,g(x)=x 0【解答】解:对于 A,f(x )=x (x R) ,与 g(x )= =x(x0)的定义域不同,不是相等函数;对于 B,f(x)=x 2(xR ) ,与 g(x )= =x2(x0 )的定义域不同,不是相等函数;对于 C,f(x)=x 2(xR) ,与 g(x )= =x2(x R)的定义域相同,对
11、应法则也相同,是相等函数;对于 D, f(x)=1(xR ) ,与 g(x)=x 0=1(x 0)的定义域不同,不是相等函数故选:C4 (5 分)幂函数 y=xa( 是常数)的图象( )A一定经过点(0,0 ) B一定经过点(1,1 )C一定经过点( 1,1) D一定经过点(1,1)【解答】解:取 x=1,则 y=1=1,因此幂函数 y=xa( 是常数)的图象一定经过(1,1 )点故选 B5 (5 分)下列函数中,图象关于点( ,0)对称的是( )Ay=sin (x + ) By=cos(x ) Cy=sin (x+ )D y=tan(x + )【解答】解:当 x= 时,f( x)=sin (
12、x + )= ,故排除 A;当 x= 时,f ( x)=cos(x )=1,故排除 B;当 x= 时,f ( x)=sin (x + )=1,故排除 C;当 x= 时,f ( x)=tan(x+ )=tan ,无意义,故它的图象关于点( , 0)对称,故选:D6 (5 分)已知 a=log32,b=(log 32) 2,c=log 4 ,则( )Aa c b Bcba Cabc Dba c【解答】解:0=log 31a=log 32log 33=1,0b=( log32) 2a=log 32,c=log 4 log 41=0,cba故选:B7 (5 分)若角 =2rad(rad 为弧度制单位)
13、 ,则下列说法错误的是( )A角 为第二象限角 B=Csin0 Dsincos【解答】解:=2 且 =2,A、角 为第二象限角,正确;B、=( )=2,正确;C、sin0 ,正确;D、 sin0,cos0 ,故错误;第 4 页(共 9 页)故选:D8 (5 分)下列函数中,是奇函数且在(0 ,1上单调递减的函数是( )Ay=x 2+2x By=x + Cy=2 x2x Dy=1【解答】解:Ay=x 2+2x 的图象不关于原点对称,不是奇函数,该选项错误;B. 的定义域为x|x0,且 ;该函数为奇函数;,x(0,1 时,y 0 ;该函数在(0,1 上单调递减,该选项正确;Cy=2 x2x,x 增
14、大时, x 减小,2 x 减小,2 x 增大,且 2x 增大,y 增大;该函数在(0,1 上单调递增,该选项错误;D y=1 的定义域为 0,+) ,不关于原点对称,不是奇函数,该选项错误故选:B9 (5 分)已知关于 x 的方程 x2kx+k+3=0,的两个不相等的实数根都大于 2,则实数 k 的取值范围是( )Ak6 B4k7 C6k7 Dk6 或 k 2【解答】解:关于 x 的方程 x2kx+k+3=0 的两个不相等的实数根都大于 2, ,解得:k 2 或 k6 ;解得:k4;解得:k7取交集,可得 6k7故选:C10 ( 5 分)已知函数 f(x)=2log 22x4log2x1 在
15、x1,2上的最小值是 ,则实数 的值为( )A= 1 B= C= D=【解答】解:可设 t=log2x(0t1) ,即有 g(t)=2t 24t1 在0,1 上的最小值是 ,对称轴为 t=,当 0 时,0,1为增区间,即有 g(0)为最小值,且为1,不成立;当 1 时,0,1为减区间,即有 g(1)为最小值,且为 14= ,解得 = ,不成立;当 01 时,0,)为减区间, (,1)为增区间,即有 g()取得最小值,且为 22421= ,解得 = (负的舍去) 综上可得, 故选 B11 ( 5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x3, 2时,f(x )=x
16、 2+4x+3,则 y=ff(x )+1 在区间3,3上的零点个数为( )A1 个 B2 个 C4 个 D6 个【解答】解:当 x3, 2时,f(x )=x 2+4x+3=(x+2)211,0;又 f(x)为 R 上的偶函数,当 x2,3时,f(x) 1,0;又 f(x+2)=f(x) ,f(x )为以 2 为周期的函数,由题意,偶函数 f(x )在区间3 ,3上的值域为1,0,由 ff(x)+1=0 得到 ff(x)=1,于是可得 f(x )=0 或2(舍弃) ,由 f(x)=0 可得 x=1,3 ,所以 y=ff(x )+1 在区间 3,3上的零点个数为 4故选:C,第 5 页(共 9 页
17、)12 ( 5 分)已知函数 f(x)=,其中x表示不超过 x 的最大整数,如,35=4,12=1 ,设 nN*,定义函数fn(x)为:f 1(x)=f (x) ,且 fn(x)=ff n1(x )(n2) ,有以下说法:函数 y= 的定义域为x| x 2;设集合 A=0,1 ,2,B=x|f 3(x)=x,x A,则 A=B;f 2015( )+f 2016( )= ;若集合 M=x|f12(x)=x,x 0,2 ,则 M 中至少包含有 8个元素其中说法正确的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解答】解:当 0x1 时,f (x )=2 (1x ) ;当 1x 2 时,f(x
18、)=x1 即有 f(x)= ,画出 y=f(x)在 0,2的图象对于,可得 f(x )x,当 1x2 时,x1x 成立;当 0x 1 时,2(1 x)x,解得 x1,即有定义域为x |x2,故正确;对于,当 x=0 时,f 3(0)=f f2( 0)=f(f(f(0 ) ) )=f(f(2) )=f(1 )=0 成立;当 x=1 时,f 3(1)=f f2(1 )=f (f(f(1 ) ) )=f (f (0) )=f(2)=1 成立;当 x=2 时,f 3(2)=f f2(2 )=f (f(f(2 ) ) )=f (f (1) )=f(0)=2 成立;即有 A=B,故正确;对于,f 1( )
19、=2(1 )= ,f 2( )=f(f( ) )=f( )=2(1 )= ,f3( )=f(f 2( ) )=f ( ) = 1= ,f 4( )=f(f3() )=f( )=2(1 )= ,一般地,f 4k+r( )=f r( ) (k,rN) 即有 f2015( )+ f2016( )=f 3( )+f 4( )= + = ,故正确;对于,由(1)知,f( )= ,f n( )= ,则f12( )= , M由(2)知,对 x=0、1 、2,恒有 f3(x)=x,f 12(x )=x ,则0、1、2M由(3)知,对 x= 、 、 、 ,恒有 f12(x)=x, 、 、 M综上所述 、0、 1
20、、2、 、 、 、 MM 中至少含有 8 个元素故正确故选:D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13 ( 5 分)函数 y= 的定义域是 (1,+) 【解答】解:函数 y= , 0,即 x10 ,解得 x 1;函数 y 的定义域是( 1,+) 故答案为:(1,+) 14 ( 5 分)已知 是第三象限角,tan= ,则 sin= 【解答】解: ,第 6 页(共 9 页)则 1+tan2= =则 cos2= ,则 sin2=1cos2=又 是第三象限角,sin=故答案为: 15 ( 5 分)已知函数 f(x) (对应的曲线连续不断)在区间0,2上的部分对应值如表:x 0
21、 0.88 1.30 1.406 1.431 1.52 1.62 1.701.8752f(x)2 0.963 0.3400.053 0.145 0.6251.9752.5454.055由此可判断:当精确度为 0.1 时,方程 f(x)=0 的一个近似解为 1.41 (精确到 0.01)【解答】解:由所给的函数值的表格可以看出,在 x=1.406 与 x=1.431 这两个数字对应的函数值的符号不同,即 f(1.406)f(1.431)0 ,函数的零点在(1.406,1.431 )上,故当精确度为 0.1 时,方程 f(x) =0 的一个近似解为 1.41故答案为:1.4116 ( 5 分)已知
22、函数 f(x)=tan ,x ( 4,4) ,则满足不等式(a1)log f(a 1)+ 2 的实数 a的取值范围是 1,3 【解答】解:【解法一】设 a1=t,y=f( a1)+ =f(t)+ ,函数 y= f(t)+ 为奇函数,y=t f(t)+ 为奇函数,x( 4,4)时,a1 (4 ,4) ,3a5;综上,实数 a 的取值范围是 1,3【解法二】x ( 4,4) ,a1 (4,4 ) , 3a 5 , x , ,cos 0,f(a 1)+ = += = =tan( + )=tan( ) ,则不等式(a1)log f(a 1)+ 2可化为:(a1) tan 2( *) ;当 a=3 时,
23、tan =tan = +1,a1=2, (*)式成立;当 3a 5 时,tan +1, tan 1 ,且 a22,(*)式左边大于 2, (*)式不成立,3a5 应舍去;当3a3 时,0tan +1, tan 1,且2a12;(*)式左边小于 2,1a 3 时(*)式成立;综上,实数 a 的取值范围是 1,3三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 ( 10 分) ()计算:( ) 1+( ) +lg3lg0.3第 7 页(共 9 页)()已知 tan=2,求 的值【解答】解:() ( ) 1+( )+lg3lg0.3= + +lg10=
24、2()已知 tan=2, = = 18 ( 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当x0 时,f(x)= 1()求 f(0 ) ,f(2)的值()用函数单调性的定义证明函数 f(x )在(0,+)上是减函数【解答】解:()f(x )是定义在 R 上的奇函数;f(0)=0 ;x0 时,f(x)= , ; ;()证明:设 x1x 20 ,则:;x 1x 20;x 2x10,x 1x2 0;f(x 1)f (x 2) ;f(x)在(0,+)上为减函数19 ( 12 分)某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是N=N0et,其中 e=2.71828为自然对数的底数, N0
25、, 是正的常数()当 N0=e3, = ,t=4 时,求 lnN 的值()把 t 表示原子数 N 的函数;并求当 N= ,= 时,t的值(结果保留整数)【解答】解:()当 N0=e3,= ,t=4 时,N=N0et=e3e2=e,lnN=lne=1;()N=N 0et, =et,t=ln ,t= ln (或 ln ) ,其中 0NN 0;当 N= ,= 时,t=10ln =10ln2=10 =10 720 ( 12 分)某同学用“五点法”画函数 f(x )=Asin(x+)+B(A0,0 ,| )在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:x x1 x2 x3x+ 0 2Asin(x+
26、)+B 1 4 121()求 x2 的值及函数 f(x)的解析式;()请说明把函数 g(x)=sinx 的图象上所有的点经过怎样的变换可以得到函数 f(x )的图象【解答】解:()由题意根据五点法作图可得 A+B=4,且A+B=2,求得 A=3,B=1再根据 2x2= + ,求得 x2= 又 += , += ,=2 ,= ,f(x)=3sin(2x+ )+1()把函数 g(x)=sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位,可得 y=sin( x+ )的图象;再把所得图象上各点的横坐标变为原来的一半,可得 y=sin(2x+第 8 页(共 9 页)的图象;再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的 3
27、 倍,横坐标不变,可得 y=3sin(2x+ )的图象;再把所得图象向上平移 1 个单位,可得 y=3sin(2x+ )+1 的图象21 ( 12 分)已知函数 f(x)=log a (a0 且 a1)的定义域为x|x2 或 x2 (1)求实数 m 的值;(2)设函数 g( x)=f( ) ,对函数 g(x )定义域内任意的x1,x 2,若 x1+x20 ,求证:g(x 1)+g(x 2)=g( ) ;(3)若函数 f(x)在区间(a4 ,r)上的值域为(1,+) ,求ar 的值【解答】解:(1)m=2 时,解 得,x2,或 x2 ;m=2;(2)证明: , ;g(x 1)+g(x 2)= =
28、 ;= ; ;(3) ;若 a1,f ( x)在(a 4,r)上单调递减; ; ; ; ;若 0a1,f (x)在(a4,r)上单调递增; ; ; ,或 (舍去) ; 22 ( 12 分)已知函数 f(x)=sin (xR ) 任取 tR,若函数 f(x)在区间 t,t+1上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t) ,记 g(t)=M(t)m (t) ()求函数 f(x )的最小正周期及对称轴方程()当 t2,0时,求函数 g(t)的解析式()设函数 h( x)=2 |xk|,H(x)=x|xk|+2k8,其中实数 k 为参数,且满足关于 t 的不等式 k5g(t)0 有解若对任意x14,+
29、) ,存在 x2(,4,使得 h(x 2)=H(x 1)成立,求实数 k 的取值范围参考公式:sincos= sin( )【解答】解:()对于函数 f( x)=sin (x R) ,它的最小正周期为 =4,由 =k+ ,求得 x=2k+1,kZ,可得f(x )的对称轴方程为 x=2k+1,k Z()当 t2,0时,若 t2, ) ,在区间t,t+1上,M(t)=f(t)=sin ,m(t) =f(1)= 1,第 9 页(共 9 页)g(t)=M(t) m(t)=1+sin 若 t , 1) ,在区间t,t+1上,M(t)=f(t+1)=sin (t+1 )=cos t,m(t)=f(1)= 1
30、,g(t)=M(t) m(t)=1+cos 若 t1,0,在区间 t,t+1上,M(t)=f(t+1)=sin (t+1 )=cos t,m(t)=f(t)=sint,g(t)=M(t) m(t)=cos tsin 综上可得,g(t)= ()函数 f(x) =sin 的最小正周期为 4,M (t+4 )=M(t) ,m(t+4)=m(t) 函数 h(x)=2 |xk|,H(x)=x|x k|+2k8,对任意 x14,+) ,存在 x2( ,4 ,使得 h(x 2)=H(x 1)成立,即函数 H(x )=x|x k|+2k8 在4,+)上的值域是 h(x )在4,+)上的值域的子集h(x)= |2|xk|= ,当 k4 时,h(x )在(,k )上单调递减,在k,4上单调递增故 h(x)的最小值为 h(k)=1 ;H(x )在 4,+)上单调递增,故 H(x )的最小值为H(4)=82k由 82k1,求得 k 当 4k5 时,h(x)在( ,4上单调递减,h(x)的最小值为 h(4)=2 k4,H(x )在 4,k上单调递减,在(k ,+)上单调递增,故 H(x )的最小值为 H(k)=2k 8,由 ,求得k=5,综上可得,k 的范围为( , 5