1、1高一数学主要知识点清单必修一第一章集合1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言(4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N+)；整数集 Z；有理数集 Q；实数集 R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、 空集2集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质子集：对任意的 xA ，都有 xB ，则 (或 )AB真子集：若 AB，且在 B 中至少有一个元素 xB，但 xA，性质：A；AA；A B， BC AC.若 A 含有 n 个元
2、素，则 A 的子集有 2n 个，A 的非空子集有 个12n(2)集合相等 若 AB 且 BA，则 A=B . 3集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：ABx |xA 或 xB；交集： A Bx| xA 且 xB；补集： UAx|x U 且 xAU 为全集，C UA 表示 A 相对于全集 U 的补集C(2)集合的运算性质AB AB A，ABA ；AA A，A ；AA A，A A；AC UA，AC UAU，C U(CUA)A. （3）研究集合的两个工具：韦恩图和实数轴4函数的基本概念(1)函数的定义：设 A、B 是非空 数集 ，如果按照某种确定的对应关系 f，使对与集合 A 中的 任意
3、一个数 x，在集合 B 中都有 唯一 确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y f(x)，x A.(2)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，x A 中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫做 定义域 ，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合f(x )|xA 叫值域值域是集合 B 的子集(3)函数的三要素： 定义域 、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据5函数的三种表示方法(1) 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法(2)关于函数的解析式 .函
4、数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. .(3)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；2已知复合函数 fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x)(4)两个特殊的函数形式分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式
5、并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意： 如：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。复合函数 ：如果函数 y=f(u) (uM),u=g(x) (x A),则函数 y=fg(x)=F(x)（定义域为 ）)(MxgA称为 f、g 的复合函数。（5）复合函数的单调性 两个函数复合而成的复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性之间的关系是：同增异减。注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集. 6映射的概念一般地，设
6、A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于 集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“f：AB” 7函数的单调性(1)单调函数的概念设函数 yf(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意 两个自变量 x1，x 2，当x1x 2 时，都有 ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数)()(2121xffxf或(2)单调区间的概念如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，
7、区间D 叫 f(x)的单调区间8函数的最值设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有 f(x)M( 或 f(x)M) ；存在 x0I，使得 f(x0)M .那么，称 M 是函数 yf(x )的最大值(或最小值)9偶函数、奇函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意 x，都有 f(x) f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数偶函数的图象关于 y 轴 对称一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于 原点 对称10判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严
8、格进行，一般步骤是： (1)考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇(偶) 性的必要非充分条件(2)考查表达式 f(x)是否等于 f(x)或f(x )：若 f(x) f(x) ，则 f(x)为奇函数； 若 f (x) f(x) ，则 f(x)为偶函数；若 f(x) f(x) 且 f(x)f( x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(x) f(x) 且 f(x)f( x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数11周期性3一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值都有 ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函
9、数的周期)(Txf对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期必修一第二章 基本初等函数回顾、总结、升华1根式(1)根式的概念如果一个数的 n 次方等于 a(n1 且，nN *)，那么这个数叫做 a 的 n 次方根也就是，若 ，则 xan叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN *.式子 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数na(2)根式的性质当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号表示当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反
10、数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 表示，na负的 n 次方根用符号 表示正负两个 n 次方根可以合写为 (a0) a- na n . 当 n 为奇数时， ； 负数没有偶次方根(na) nan当 n 为偶数时， |a| .nan 0,2有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ：正分数指数幂 负分数指数幂mnamna10 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质a ras (a r)s ( ab)r (a0，b0，r、s Q)sr3指数函数的图象与性质指数函数 a1 0a1图象 定义域 R值域 .),0(过定点 (0,1) .性质 当 x0 时，y1；x0 时，0
11、y1当 x0 时，0y 1；x0 时，y 1.4在(，)上是增函数 在( ，) 上是减函数4对数的概念(1)对数的定义 如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 ，Nxalog其 中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(2)几种常见对数对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0 且 a1) logaN常用对数 底数为 10 lg N自然对数 底数为 e ln5对数的性质与运算法则(1)对数的性质 ；log aaN N (a0 且 a1)aNlog(2)对数的重要公式换底公式： (a，c 均大于零且不等于 1)；blllog ab ， 推广 logabl
12、ogbclogcdlog ad.1logba(3)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么log a(MN) ；log a ；allMN alogllog aMn ； log amMn .og m6对数函数的图象与性质a1 0a1图象 定义域：(0，)值域：R过点 (1,0) .当 x1 时，y0当 0x 1，y0当 x1 时，y0当 0 x1 时，y0性质是(0，)上的增函数 是(0，)上的减函数7反函数指数函数 ya x与对数函数 ylog ax 互为反函数，它们的图象关于直线 y=x 对称8幂函数的定义：一般地，形如 (R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量， 为常数
13、9幂函数的图象：在同一平面直角坐标系下，幂函数 yx ，yx 2， ， y ， 的图象3211x分别如右图 幂函数的九种图象510幂函数的性质函数 yx yx 2 yx 3 y 21xyx 1定义域 R R R ),0x|xR 且 x0值 域 R 0，) R 0，) y|yR 且 y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 x0，)，增x(，0，减 增 增 x(0，)，减x(，0)，减定点 (1,1)第三章 函数的应用回顾、总结、升华函数图象的作法1描点法作图 描点步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质： 即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势
14、)；(4)描点连线，画出函数的图象2函数图象的变换法(1)平移变换水平平移：yf( xa)(a0) 的图象，可由 yf(x) 的图象向 左 () 或向 右 () 平移 单位而得a到竖直平移：yf( x)b(b0) 的图象，可由 yf(x) 的图象向 上 () 或向下 () 平移 单位而得b到(2)对称变换y f(x)与 y f(x)的图象关于 y 轴对称 yf( x)与 yf(x)的图象关于 x 轴对称y f(x)与 yf(x)的图象关于 原点 对称（3）周期变换如果函数 yf(x)对定义域内的一切 x 值，都满足f(x+T)f(x) ，则函数周期为 T； ，其中 a 是常数，则函数周期为)(
15、)(xfaf6；a2(4)翻折变换作为 yf(x)的图象，将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变得到 y|f(x)|的图象；作为 yf(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分，并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象，即得 yf(| x|)的图象(5)伸缩变换y af(x)(a0)的图象，可将 y f(x)图象上每点的纵坐标伸(a1 时) 缩(a1 时)到原来的 a 倍y f(ax)(a0)的图象，可将 y f(x)的图象上每点的横坐标伸(a 1 时) 缩(a1 时)到原来的 .1a3函数的零点(1)函数零点的定义 对于函数 yf(x )，我们把使 的实数
16、 x 叫做函数 yf( x)的零点0(xf(2)几个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf( x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点(3)函数零点的判定( 零点存在性定理)如果函数 yf( x)在区间a，b上的图象是 连续 不断的一条曲线，并且有 ，那么，0bfa函数 y f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c) 0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根5二分法求方程的近似解(1)二分法的定义： 对于在区间 a，b 上连续不断且 的函数 yf(x) ，通过不断地把函数 ff(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点
17、，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度 ，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b ，验证 f(a)f(b)0，给定精确度 ；求区间(a，b)的中点 c；计算 f(c)；() 若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；() 若 f(a)f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)；() 若 f(c)f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)判断是否达到精确度 .即：若|ab| ，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复.6三种增长型函数模型的图象与性质函数性质 ya x(a1) ylog ax(a1) yx n(n0)在(0，)上的增减性 单调递增 单
18、调递增 单调递增增长速度 爆炸性增长 缓慢增长 相对平稳图象的变化 随 x 增大逐渐表现为与_y轴 _平行 随 x 增大逐渐表现为与_x 轴_平行 随 n 值变化而不同7三种增长型函数之间增长速度的比较在(0，) 上，总会存在一个 x0，使 xx0 时有 logax 0，b 1)；(5)对数函数模型 f(x)mlog axn( m、n、a 为常数，m0，a0 ，a1)；(6)幂函数模型 f(x)ax nb(a、b、n 为常数，a0，n1)必修四第一章三角函数 正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角
19、不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限x 角如：第一象限角的集合为 3603609,kkk终边在 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为x18,90,k3、与角 终边相同的角的集合为 360,kk4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度15、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rl lr6、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 236018057.37、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，为 弧 度 制 rlCSlr， 2Crl21Slr8
20、、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是,xy，则 ， ， 20rxysinyrcosrtan09、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线： ， ， sistA11.同角三角函数间的关系（结合方程思想） （ 切化弦，通常弦化切应用于齐次式，即分子分母同时除以 ） conta cossin2 + cos2 =1 （平方关系，凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条件！） 8（ 知一求二，在实际的计算中往往构造简单的直角三角形来计算，注意符号看象sin,cota限） （2）平方关系结合 变形
21、有：2sinco21sics21sincosinco（ 即和、差、积知一求二）no,si,i12、函数的诱导公式：， ， 1si2inkcos2cosktan2tankk， ， ns， ， 3siicstata， ， 4soconn， ，5sinc2ssi26sicos2cosi口诀：函数名称不变，符号看象限口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当 时，2xk；当 may2时， kin1当 时， 2xk；当may时， kin1既无最大值也无最小值函 数性 质9周期性 22奇偶性
22、奇函数 偶函数 奇函数单调性在 ,k上是增函数；在32,2k上是减函数在上2,kk是增函数；在上,kk是减函数在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02k对称轴 xk对称中心 ,02k无对称轴14、将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图sinyxsinyx象；15、函数 的性质：si0,kA振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相： 212fx函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大值为sinyxk1xminy2，则 ， ， maxmain12yAmaxiny21xx研究函数 的性质方法：把 当成整体借助正余弦函数，或运用五点法
23、six16. 0，A0）的图象：n(),(yk T五点法作图： x0 2320x04T0x04T0xsin()0 1 0 1 0yk Ak k A+k k快速作图如：1017.解三角方程18.解三角不等式19. 0，A0）的性质：sin(),(yAxk2T性质： 1R,yK单调性：令 ， 得到增区间；022kx2kZ令 ， 得到减区间。3对称性：令 ， 得对称轴方程；03x2k令 ， （ ）为对称中心。Z0,x图像变换： 第一种方案：函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的sinyxsinyx倍（纵坐标不变）
24、 ，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有1sinyx点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 的图象AA11第二种方案：函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到sinyx 1函数 的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到sisinyx函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到inyxi原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 的图象AsnyxA例如： 得 的图像。3sin2yx6图 像 向 右 平 移 个 单 位 )y=3sin(2x-20、正余型函数的奇偶性：(1) 是奇函数 ；(2) 是偶函数s
25、i()A()kZsi()A；2kZ(3) 是奇函数 ；(4) 是偶函数cos()yx()2kcos()yx；k(5) 是奇函数tan()yAx()kZ.21.常见三角不等式：（1）若 ，则 .(0,)2sitanx(2) 若 ，则 . (3) .x1cos2|sin|cos|1x必修四第二章平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为 的向量0单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连
26、平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： abab运算性质：交换律： ；结合律： ； cc0ab a C AaC12坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,bxy12,abxy3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，则 1,xy2,xy12,xy设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 A1, 12A4、向量数乘运算：实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a a ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，000a运算律： ； ； aaab坐标运算：设 ，则 ,xy ,xy5、向量共线定理：向量 与 共线
27、，当且仅当有唯一一个实数 ，使 0b设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、1,axy2,bxy1210xya共线0b6、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量1e2，有且只有一对实数 、 ，使 （不共线的向量 、 作为这一平面内所有向a12ae1e2量的一组基底）7、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当12121,xy2,时，点 的坐标是 （当12 ,xy时 ， 就 为 中 点 公 式 。 ）8、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量，则 ab当 与
28、 同向时， ； 当 与 反向时， ；ab或 2aa13 ab运算律： ； ； ababacbc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,xy2,xy12xy若 ，则 ，或 ,axy22设 ， ，若 12,bxy120abxy设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则1,ab221cosxyab9、设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC,ABC,abc 为 的外心 .22O 为 的重心 .0 为 的垂心 .OAABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的重心的坐标是1A(x,y)2B3C(xy).123123(,xyG10、 “按向量平移”的几个结论点 按向量 a
29、= 平移后得到点 .,)P(,)hk(,)Pxhyk函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为yfxC,).(11、对于平面上任意一点 ，存在 ，使 ，则 三点共线O,abaOAbB1,aABC.12、在 中，(1) 是菱形；ABCD()()0ABDC(2) 是矩形；C(3)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(222baba13、 夹角为锐角,ab0(0)ab且 .14、 夹角为钝角 且数学重要的思想方法：1数形结合的思想2.函数与方程的思想：函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题；143.分类讨论的思想 在求解数学问题中，遇到下
30、列情形常常要进行分类讨论涉及的数学概念是分类定义的；运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；由运算的限制条件引起的分类由实际问题的实际意义引起的分类数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的由图形的不确定性引起分类4转化与化归的思想在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力
