1、第 29 计 向量开门 数形与共计名释义非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.典例示范【例 1】 , 为锐角，且 sin-sin= , cos-cos= ，求 tan(- )之值.2121【解答】 如图，设 A(cos, sin),B(cos , sin) 为单位圆上两点，由条件知：0 .2那么： OB=（cos- cos , sin- sin）
2、= .21,| |= ，| |=| |=1. 例 1 题解图BA4OABOAB 中,由余弦定理：cos(-)= cos (- ) = .432 sin(-)= , tan(-)= .471697【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.【例 2】 设 a,b,c,dR ，证明：ac+bd 22dcba【解答】 设 m=（a,b） ，n=（c,d） ，则 mn=ac+bd，| m|n|= 22dcba mn=|m|ncos（m,n）|m|n|. ac+bd .2【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量
3、在解析几何中又能起作用吗?【例 3】 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1，且两数学破题 36 计两夹角均为 60，则对角线 AC1 之长为 .【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定 AC1 与平面 ABCD 所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为 60的菱形吗？利用向量岂不更为省事?向量的数量积公式可以保驾护航.对！走向量法解题的道路.【解答】 如图所示， 11CBA 221)(CBAC=21)(21AB=1+1+1
4、+2(cos60+ cos60+ cos60)=6| |= . 例 2 题解图1AC6【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是| |2= 的运用奇妙.1AC 注意： 与 所成角等于 与 所成角，是 60而不是 120.BABD 对应训练1 如图,在棱长为 a 的正方体ABCDA B C D中，E 、 F分别是 AB、 AC 上的动点，满足 AE=BF.()求证： ；F()当三棱锥 B BEF 的体积取得最大值时，求二面角 B EFB 的大小(结果用反三角函数表示). 第 1 题图2 已知 a,bR +，且 a b，求证：(a 3+b3)2(a2+b2)(a4+b4).3 在双曲线
5、 xy=1 上任取不同三点 A,B,C,证明ABC 的垂心也在该双曲线上.参考答案1.(1)如图，以 B 为原点，直线 BC,BA,BB分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，并设=x,则有:A(0,a,a),C(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0), =(x,-a,-a)， =(-|FE AECa,a-x,-a). =(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，C .FAE(2)VB BEF = SEEF | |= (a-x)xa31B312= a(a-x)x a ，6 34)(x当且仅当 a-x=a，即 x= 时,2(VB BEF)max =
6、 ，341a此时 E、 F 分别为 AB,BC 的中点,必 EFBD.设垂足为 M，连 B M,BB平面 ABCD, 第 1 题图由三垂线定理知 B MEF ,BMB是二面角 B EFB 的平面角,设为 ,| |= tan = .aD42|1 24a即 =arctan2 ，则二面角 B EFB 的大小为 arctan2 .22 设 m=(a,b)，n=(a 2,b2), mn|m| |n|.a 3+b3 ，即是( a3+b3)2( a2+b2)(a4+b4).43 如图,设 A(x1, )，B( x2, ),C(x3， )，ABC 的垂心为 H(x0，y 0),则 ,),(1212xAB, 第 3 题解图),(3030yCH , (x0-x3)(x2-x1)+(y0- .AB3021xx 1x 2，x 0-x3 .3210x 0+ (1)210321y同理：x 0+ .320130231 xyxxx 2-x1=y0 .3210312 )(xyxx 1x 2，y 0=-x1x2x3，代入 (1)：x 0- =x3 =0,y213x 0y0=1，即 H(x0，y 0)在双曲线 xy=1 上.
