1、第 17 计 化归开门 江山一统计名释义整数乘法有口诀：23=6，57=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀，那么分数在怎样作乘法呢？ ，原来是在进行“转化” ，变成了分子分母上的整35672数乘法.化归思想，连小学生都在用，有一老师问学生：前 100 个偶数的和为多少？一学生回答：10100.老师问怎么来的？学生回答：由前 100 个自然数的和来的：2+4+200=2（1+2+100）=25050=10100.这就是数学解题中的“化归法” ，复杂向简单化归，陌生向熟悉化归，未知向已知化归.典例示范【例 1】 已知数列a n中，a 1=1，a n+1 =2an+1.求数列的通项公式及前
2、n 项和 Sn.【分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数 1 去掉，则变成等比数列，把系数 2 换成 1 则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换.【解答】 在递推式 an+1=2an+1 两边加 1，化为(a n+1+1)=2(an+1)，数列a n+1为等比数列，公比 q=2. 所以 an+1=2n-1 (a1+1)，即 an=2n-1，且 Sn=2n-n-1.【插语】 本数列的一般形式为：a n+1=kan+b(k0、1，b0)，有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例，分别是 k
3、=1，或 b=0 时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得：设 an+1+c=k(an+c)=kan+kc an+1=kan+kc-c kc-c=b，c=.k对于上题，b=1，k=2，因此解得 c=1.【点评】 化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是 an+1+c=bn+1=kbn.说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差） ”化归，还有什么别的出路呢？【例 2】 已知三条抛物线 y=x2+4ax-4a+3，y =x2+(a-1)x+a2，y=x 2+2ax-2a 中至少有一条抛物线与 x
4、轴有交点，求实数 a 的取值范围.【解答】 解答本题如果从正面入手，将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x 轴有交点的三类七种情况加以讨论，过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考，即考虑三条抛物线都不与 x 轴相交，则只要解下列不等式组： .1230213,084)1(,)3623221 aaa 从 而 可 得或解 得数学破题 36 计所以使得原命题成立的实数 a 的取值范围是 a .123或【点评】 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.【例 3】 已知
5、 a， b， c 均为正整数，且 a2+b2+c2+480)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p，q，则 等于 （ ）1 A.2a B. C.4a D. a2 a43.函数 f (x)满足:对任意实数 x,y 都有 f (x)+f (y)= ，且当 x0.)1求证： .2)3)152fnfff 参考答案1.解析 若在三维空间考虑该问题，就显得千头万绪. 如右图所示，过直线 b 上任意一点 A 作直线aa，a与 b 确定平面 a，把点 P 移动到 A 点，问题便转化为过 A 点作一条直线 c与直线 a，b所成的角均为 ，求 的取值范围.易知当直线
6、 c在平面 a 内时， 第 1 题解图直线 c与 a，b 所成的角最小为 ，当 ca 时，直线 c与 a，b 所成的角最大为6，故选 D .22.解析 一般解法是先求出焦点 F 坐标为（0， )，然后由直线 PQ 的方程与抛物线的a41方程联立，求出 p， q 的值,运算过程繁杂，容易出错.若把一般性的 PQ 的直线方程转化为特殊性的方程，即取 PQ 与 x 轴平行的方程 y= ，a41很快就能选出正确答案 C.应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果.3.证明 易证 f (x)为奇函数 ,且当 x0 时都有 f (x)0.先从 入手，向题设132nf条件转化:由于 ,211)2(132 nnn故有 =2f .ff再整体处理不等式左端数列的和有 .21 21413152 nffnffffff nfff 依题意 ，恒有 ，则00f .2121fnff故原不等式成立.点评 本题融函数、数列、不等式为一体，正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化.
