1、第八节第八节连续函数连续函数- 1 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续第八节 连续函数一 函数的连续性二 函数的间断点三 连续函数的运算与初等函数的连续性第八节第八节连续函数连续函数- 2 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续一 函数的连续性1 函数的增量0000() ( ) , ( ),.fx U x x U xxxx x = 设函数 在 内有定义称为 在点变量 的 增量自0() ( ), () .yfx fx fx x = 称为 相应于数 的 增量函xy0 xy00x xx +0)(xfy =x0xxyyxx +0)(xfy =第八节第八节连续函数连续函数- 3 -第一章第一章函数函
2、数极限极限连续连续2 连续的定义定义 1 设函数 )(xf 在 )(0xU内有定义,如果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函数的增量 y 也趋向于零,即 0lim0=yx或 0)()(lim000=+xfxxfx,那末就称函数 )(xf 在点0x连续,0x称为 )(xf 的连续点. 0,x xx=+设),()(0xfxfy =00,xxx 就是00()().y fx fx 就是定义 2 设函数 )(xf 在 )(0xU内有定义,如果函数 )(xf当0xx 时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值 )(0xf ,即 )()(lim00xfxfxx=，那末就称函数 )(xf 在点0x连续. 第
3、八节第八节连续函数连续函数- 4 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续用 函数()fx在0x处连续的定义可叙述为：设函数()fx在0x的某个邻域内有定义， 如果对任意给定的正数,总存在正数 , 使当0|x x 讨论函数 在 处的连续性解)00( f)00( +f),00()00( + ff0.x = 为函数的跳跃间断点o xy)(lim0xfx=,0)(lim0=xx+=0limx,1=)1( +x第八节第八节连续函数连续函数- 10 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续00000(2) ( ) ,lim ( ) ( ),() ().xxfx xfx A fxfx x x fx=如果 在点
4、 处的极限存在 但或 在点 处无定义， 可则称点 为函数 去间断点的例501,2,() 11,1, 1,1.xxfx xxxx =讨论函数在 处的连续性o xy112xy +=1xy 2=第八节第八节连续函数连续函数- 11 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续解,1)1( =f ,2)01( =f ,2)01( =+f2)(lim1=xfx),1(f0.x = 为函数的可去间断点注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.(3) 如果函数()fx在0x某个去心邻域内有定义 ,且当0x x时,()fx左、右极限至少有一个不存在 ,则称0x为()fx第二类间断点 .
5、可去间断点和跳跃间断点统称为 第一类间断点 , 的第一类间断点 , 0x是函数 ()fx00lim (),lim ()xx xxfx fx+都存在 .则若第八节第八节连续函数连续函数- 12 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续oxy例61,0,() 0 .,0,xfx xxxx=讨 论函数 在 处的连续性解,0)00( =f ,)00( +=+f1.x = 为函数的第二类间断点.无穷这种情况 为 间断点称例71() sin 0 .fx xx=讨论函数 在 处的连续性解xy1sin=0,x =在 处没有定义01limsin .xx且 不存在0.x = 为第二类间断点.这种情况称为的 振荡间
6、断点第八节第八节连续函数连续函数- 13 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续例8 ,cos , 0,() 0 .,0,axxfx xax x +在 是单调连续的 ，log ( 0, 1) (0, )ayxaa=+其反函数 在 是单调连续的 .因此第八节第八节连续函数连续函数- 16 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续定理 4 lim ( ) , ( ) ,lim ( ) ( ) lim ( ).xa fu afx faf x=若函数在点连续则有证() ,fu u a= 在点 连续 0, 0, ,ua 所以对于以0x x为例证明 .() () .fu fa =证明() lim()lim(
7、 ( ) lim ( )gx gxfx fx=证() ()ln ()lim( ( ) limgx gx fxfx e=lim( ( )ln ( ) (lim ( )(limln ( )gx fx gx fxee= =lnlim ( ) lnBfx BA Bee= =BA=第八节第八节连续函数连续函数- 18 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续例 11 求极限210lim(cos ) .xxx(1 )型未定式解原式2cos 11cos 10lim(1 (cos 1) )xxxxx=+20cos 11limcos 10(lim(1 (cos 1) )xxxxxx=+12e=000 0() ,
8、()() , ().ux x yfuux yfxx= =设函数 在点 连续 而函数在点 处连续 则复合函数 在点也连续定理 5注意 定理5是定理4的特殊情况.由于幂函数(R)yx= 在区间(0, )+可以表示成ln,xye=而 lnux=在区间 (0, )+上是连续的 ,uy e=第八节第八节连续函数连续函数- 19 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续在(,)+上是连续的 , 所以y x=在 (0, )+ 是连续的 . 可以证明(R)yx= 在其定义域 (与指数有关 )上是连续的 .3 初等函数的连续性有前面的讨论可得： 一切基本初等函数在定义域内是连续的 . 从而 , 根据连续函数的四则
9、运算与复合函数连续性可知 : 一切初等函数在定义区间内是连续的 .注意定义区间内是指包含在定义域内的区间 .求初等函数在连续点处的极限可以用 代入法 .即00lim ( ) ( )xxf xfx=这里0x为初等函数()fx的连续点 .第八节第八节连续函数连续函数- 20 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续例121limsin 1.xxe求1sin 1e= 原式.1sin = e例132011lim .xxx+ 求解解2220( 1 1)( 1 1)lim(1 1)xxxxx+ +=+原式11lim20+=xxx20= .0=例 14 求函数1()1xxxfxe=的间断点 ,并指出间断的类型
10、 .第八节第八节连续函数连续函数- 21 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续解函数()fx为初等函数，函数的定义域为(,0)(0,1)(1,), +因此 0, 1xx= = 为函数()fx的间断点，由于001lim ( ) lim1xxxxxfxe=0lim 11xxxx= =所以 0x = 是函数 ()fx的可去间断点 . 由于11lim ( ) 1, lim ( ) 0xxfx fx+= =所以 1x = 是函数()fx的跳跃间断点 .连续的。因此在定义区间内是第八节第八节连续函数连续函数- 22 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续定义 40000(),() ( )() ( )()
11、() () .IfxxI xIfx fx fx fxfx fx I对于在区间 上有定义的函数 如果有使得对于任一 都有则称 是函数 在区间 大上 最小值的4 闭区间上连续函数的性质定理 6(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.ab2x1x xyo)(xfy =1212() ,() () ().fx Cabxx abxabfx fx fx即若则使得有1()fx2()fx第八节第八节连续函数连续函数- 23 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续注意 :1.若区间是开区间,定理不一定成立;xyo)(xfy =211xyo1)(xfy =2.若区间内有间断点 ,定理不一定
12、成立 .推论 (有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 .定理 7(零点定理)那末在开区间( )ba,内至少有函数)(xf的一个零点,)(xf在闭区间 ba,上连续，设函数)(af与)(bf异号(即() () 0),f afb 又,02)1( =设函数 在区间 上连续 且证明 使得证() () ,F xfxx= 令() , ,Fx ab则 在 上连续() ()F afaa= 而 ,0() .f =即第八节第八节连续函数连续函数- 26 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续定理 8(介值定理) 设函数)(xf在闭区间 ba,连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf =)(及()
13、f bB= ，那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数C，在开区间( )ba,内至少有一点，使得() .fC =上BCAabxyo() () ,x证f xC = 设() , ,xab则在 上连续且() ()afaC = ,CA=Cbfb = )()( ,CB=,0)()( ba 由零点定理,(,), () 0,ab =使)(xfy=123第八节第八节连续函数连续函数- 27 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续() () 0,fC =即.)( Cf = Mm推论 在闭区间上连续的与最小值之间的任何值 .函数必取得介于最大值例 17 设函数 ()fx在区间 ,ab上连续 ,12,nx xxnu
14、ll为 ,ab上 n 个定点 , 证明 : 在 ,ab 上至少存在一点 , 使得12() () ()() .nfx fx fxfn+ +=nullMCmabxyo)(xfy=123第八节第八节连续函数连续函数- 28 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续证由于 ()fx在区间,ab上连续 ,上取到它的最大值 ,M最小值所以()fx在,ab,m又因为,( 1,2, ,),kx ab k n = null所以() ( 1,)kmfx Mk n =null12() () ()nnm fx fx fx nM +null12() () ()nfx fx fxmMn+ + null,ab根据定理 8的推论可得 , 在区间 至少存在一点,使得12() () ()() .nfx fx fxfn+ +=null
