2018届山东省烟台市高三下学期高考诊断性测试数学（理）试题（解析版）.doc

1、山东省烟台市 2018届高三下学期高考诊断性测试理科数学试题一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1. 已知集合 ,则集合 AB=A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由 ，集合 ，所以 ，故选 D.2. 已知复数 (i 是虚数单位),则的虚部为A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由题意 ，所以复数的虚部为 ，故选 C.3. 某产品广告宣传费与销售额的统计数据如右表，根据数据表可得回归直线方程 ,其中 ,据此模型预测广告费用为 9千元时,销售额为A. 17 万元 B. 18 万元 C. 19 万元 D. 20

2、 万元【答案】A【解析】 由题意，根据表中的数据可知 ，且 ，代入 ，则 ，解得 ，即 ，当 时， ，故选 A.4. 已知等差数数列 的前项和为 Sn,若 a3+a7=6,则 S9 等于A. 15 B. 18 C. 27 D. 39【答案】C【解析】 由等差数列的性质可知 ，又 ，故选 C.5. 定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 时, ,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意函数 满足 ，所以函数 为以 为周期的周期函数，. 则 ，由函数 为奇函数且当 时， ，所以 ， 即 ，故选 B.6. 已知 的展开式的各项系数和为 243,则展开式中 x2 的

3、系数为A. 5 B. 40 C. 20 D. 10【答案】B【解析】 由题意，二项式 的展开式中各项的系数和为 ，令 ，则 ，解得 ，所以二项式 的展开式为 ，令 ，则 ，即 的系数为 ，故选 B.7. 设变量 x、y 满足约束条件 ,则 的最最大值为A. -6 B. C. D. 3【答案】C【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数 化简为 ，由图象可知，当目标函数过点 是取得最大值，由 ，解得 ，即 ，所以目标函数的最大值为 ，故选 C.8. 孙子算经是中国古代重要的数学著作 ,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?“该著作中提出了一种解决此问题的方法

4、:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数 n是 8的整数倍时,均可采用此方法求解,右图是解决这类问题的程序框图,若输入 n=24,则输出的结果为A. 23 B. 47 C. 24 D. 48【答案】B【解析】 模拟程序的运行，可得 ，执行循环体， ，不满足条件 ；执行循环体， ，不满足条件 ；执行循环体， ，满足条件 ，输出 ，故选 B.9. 若函数 在 上是增函数,则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由题意，因为所以 示函数含原点的递增区间，又因为函数在 上是增函数，所以 ，即 ，又 ，所以 ，故选 D.10

5、. 双曲线 的左、右焦点分别为为 F1、 F2,过 F2 作倾斜角为 的直线与 y 轴和双曲线的左支分别交于点 A、B,若 ,则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】 由 ，根据向量的运算可知，点 为 的中点，所以 ，则 ，在直角 中，因为 且 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，即 ，又 ，解得 .11. 已知函数 y=f(x)对任意的 满足 (其中 为函数 f(x)的导函数),则下列不等式成立的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 令 ，则 ，因为 ，则 ，所以 ，所以 ，即 ，即 ，故选 B.点睛：本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用函数的单调比较

6、大小关系，其中熟记函数四则运算中商的导数公式，以及构造出相应的函数模型是解答的关键，属于中档试题.12. 已知函数 在 R上是单调递增函数,则 的最小值是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】 由题意的 ，因为函数 在 上单调递增，所以满足 ，可得 ，且所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，故选 A.点睛：本题考查了函数的单调性的应用，以及基本不等式求最值问题，解答中根据函数 在 上单调递增，列出不等式组，求解 ，代入 ，利用基本不等式求最值是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.二、填空题:本大题共有 4个小题,每小题 5分,共 2

7、0分13. 若非零向量、 满足 ,则与 的夹角为_。【答案】【解析】 由题意， ，所以向量与 所成的角为 ，且 ， 所以 .14. 在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若B=60, a=3,b= ,则 c的值为_。【答案】4【解析】 在 中，由余弦定理 ，得 ，即 ，解得 .15. 已知 F(2,0)为椭圆 的右焦点,过 F且垂直于 x 轴的弦的长度为 6,若 A ,点 M为椭圆上任一点,则 的最大值为_。【答案】【解析】 设椭圆的左焦点为 ，由椭圆的焦点为 ，则 ，又过 且垂直于 轴的弦的长度为 ，即 ，则 ，解得 ，所以 ，又由 ，当 三点共线时，取得最大值，此时 ，

8、所以 的最大值为 .点睛：本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，其中解答中根据题意求得 的值，再利用椭圆的定义转化为当 三点共线时， 取得最大值是解答的关键 .着重考查了分析问题和解答问题的能力.16. 如图,一张矩形白纸 ABCD,AB=10,AD= ,E,F分别为 AD,BC的中点,现分别将ABE,CDF 沿 BE,DF折起,且 A、C 在平面 BFDE同侧,下列命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)当平面 ABE平面 CDF时,AC平面 BFDE当平面 ABE平面 CDF时,AECD当 A、C 重合于点 P时,PGPD当 A、C 重合于点 P时,三棱锥 P-DEF的外接球的表面积为

9、 150【答案】【解析】 在 中， ，在 中， ，所以 ，由题意，将 沿 折起,且 在平面 同侧，此时 四点在同一平面内，平面 平面 ，平面 平面 ，当平面 平面 时，得到 ,显然 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ,进而得到 平面 ，所以正确的；由于折叠后，直线 与直线 为异面直线，所以 与 不平行，所以错误的；折叠后，可得 , ，其中 ,ZE ，所以 和 不垂直，所以不正确；当 重合于点 时,在三棱锥 中， 和 均为直角三角形，所以 为外接球的直径，即 ,则三棱锥 的外接球的表面积为 ，所以是正确，综上正确命题的序号为.点睛：本题考查了命题的真假判定，空间直线与平面平行、垂直的位置关系的综

10、合应用，以及球的组合体问题，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。17. 已知各项均为正数的等比数列 ,满足 ,且(1)求等比数列 的通项公式;(2)若数列 满足 ,求数列 的前 n 项和为 Tn【答案】 （1） ；（2 ）【解

11、析】试题分析：（1）由已知 ，求得 ，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得 ，进而得 ，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和 .试题解析：（1 ） 由已知 得： ， 或 （舍去）. （2 ） ， , 两式相减得： .18. 如图,在三棱柱 ABC-DEF中,AE 与 BD相交于点 O,C在平面 ABED内的射影为 O,G为 CF的中点(1)求证平由 ABED平面 GED(2)若 AB=BD=BE=EF=2,求二面角 A-CE-B的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取 中点 ，证得 ，又因为 在平面 内的射影为 ，所以 平面 .利用面面垂直的判定定理，即可证明平面

12、 平面 ； （2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，求得平面 和平面 的一个法向量利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.试题解析：（1）取 中点 ，在三角形 中， ， .又因为 为 中点，所以 ， . 四边形 为平行四边形. 因为 在平面 内的射影为 ，所以 平面 .所以 平面 . 又因为 ，所以平面 平面 .（2 ） 面 ， ， 又 四边形 为菱形， ，以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，于是 ， ， ， ，向量 ，向量 ， 设面 的一个法向量为 ， ，即 ，不妨令 时，则 ， ，取 . 又 为面 的一个法向量.设二面角 大小为，显

13、然为锐角，于是 ，故二面角 的余弦值为 19. 某高中学校对全体学生进行体育达标测试,每人测试 A、B 两个项目,每个项目满分均为 60分.从全体学生中随机抽取了 100人,分别统计他们 A、B 两个项目的测试成绩,得到 A项目测试成绩的频率分布直方图和 B项目测试成绩的频数分布表如下:将学生的成绩划分为三个等级如右表:(1)在抽取的 100人中,求 A项目等级为优秀的人数(2)已知 A项目等级为优秀的学生中女生有 14人,A 项目等级为一般或良好的学生中女生有 34人,试完成下列 22列联表,并分析是否有 95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关?参考数据:0.10 0.050

14、0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.828参考公式 其中(3)将样本的率作为总体的概率,并假设 A项目和 B项目测试成绩互不影响,现从该校学生中随机抽取 1人进行调查,试估计其 A项目等级比 B项目等级高的概率,【答案】 （1）40；（2）有 95%以上的把握认为“ 项目等级为优秀”与性别有关；（3 ）0.3【解析】试题分析：（1）由 项目测试成绩的频率分布直方图，即可求解 项目等级为优秀的频率及优秀的人数；（2）由（1）知：作出 列联表，利用公式求解 的值，即可得到结论；（3）设“ 项目等级比 项目等级高”为事件 ，记“ 项目等级为良好”为

15、事件 ；“ 项目等级为优秀”为事件 ；“ 项目等级为一般” 为事件 ；“ 项目等级为良好”为事件 ，利用概率的加法公式，即可求解概率.试题解析：（1 ）由 项目测试成绩的频率分布直方图，得项目等级为优秀的频率为 ， 所以， 项目等级为优秀的人数为 （2 ）由（1 ）知： 项目等级为优秀的学生中，女生数为 人，男生数为 人. 项目等级为一般或良好的学生中，女生数为 人，男生数为 人.作出 列联表：优秀 一般或良好 合计男生数女生数合计计算 ， 由于 ，所以有 95%以上的把握认为“ 项目等级为优秀”与性别有关（3）设“ 项目等级比 项目等级高”为事件 记“ 项目等级为良好”为事件 ；“ 项目等级

16、为优秀” 为事件 ；“ 项目等级为一般”为事件 ；“ 项目等级为良好”为事件 于是 ， ，由频率估计概率得： ， . 因为事件 与 相互独立，其中 所以 所以随机抽取一名学生其 项目等级比 项目等级高的概率为 20. 已知抛物线 x2=2Py(p0)和圆 x2+y2=r2(r0)的公共弦过抛物线的焦点 F,且弦长为 4(1)求抛物线和圆的方程:(2)过点 F的直线与抛物线相交于 A、B 两点,抛物线在点 A处的切线与 x 轴的交点为 M,求ABM 面积的最小值【答案】 （1） ， ；（2 ）【解析】试题分析：（1）由题意可知，求得 的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程. （2）设直线的方程

17、为： ，联立方程组，求的 及 ，利用导数求得切线方程，得到 ，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，研究函数的单调性和最值，即可得到结论.试题解析：（1）由题意可知， ，所以 ，故抛物线的方程为 . 又 ，所以 ， 所以圆的方程为 . （2）设直线的方程为： ，并设 ，联立 ，消 可得， .所以 ； . ，所以过 点的切线的斜率为 ，切线为 ，令 ，可得， ， 所以点 到直线 的距离 ，故 ，分又 ，代入上式并整理可得：，令 ，可得 为偶函数，当 时， ，令 ，可得 ，当 ， ，当 ， ，所以 时， 取得最小值 ，故 的最小值为 .点睛：本题主要考查抛物线的方程与性质

18、、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，利用题设条件确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数” 的解析式，利用函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 已知 有两个零点(1)求 a 的取值范围(2)设 x1、x 2 是 f(x)的两个零点 ,求证证:x 1+x2【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）求的函数的导数，根据函数有两个零点，分类讨论，即可求解实数的取值范围；（2）不妨设 ，

19、由（1）知，构造函数 ，得到 ，得到 ，得到函数的单调性和最值，即可得到证明.试题解析：（1） ，当 时， ，此时 在 单调递增， 至多有一个零点 .当 时，令 ，解得 ，当 时， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增，故当 时函数取最小值当 时， ，即 ，所以 至多有一个零点 .当 时， ，即因为 ，所以 在 有一个零点； 因为 ，所以 ，由于 ，所以 在 有一个零点.综上，的取值范围是 . （2）不妨设 ，由（1）知， ， .构造函数 ， 则因为 ，所以 ， 在 单调递减.所以当 时，恒有 ，即 因为 ，所以于是又 ，且 在 单调递增，所以 ，即点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的

20、证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值 (极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.22. 已知直线 l 的参数方程为 为参数） ， 椭圆 C的参数方程为 为参数） 。在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 A的极坐标为(2, (1)求椭圆 C的直角坐标方程和

21、点 A在直角坐标系下的坐标(2)直线 l 与椭圆 C交于 P,Q两点,求APQ 的面积【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：(1)消去参数，即可得到椭圆的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解点 的直角坐标；（2）将直线的参数方程代入椭圆的方程，得到 , ，即可求得 ，再求得点到直线的距离，即可求解面积.试题解析：(1)由 得 . 因为 的极坐标为 ,所以 ， .在直角坐标系下的坐标为 . （2）将 代入 ，化简得 ,设此方程两根为 ,则 , . . 因为直线的一般方程为 ,所以点 到直线的距离 . 的面积为 .23. 已知函数 .(1)当 a=0时,求不等式 f(x)1 的解集(2)若 f(x)的的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 ,求 a 的取值范围【答案】 （1） ；（ 2）【解析】试题分析：（1）代入 时，不等式 化为 ，分类讨论，即可求得不等式的解集；（2）由题设可得 的解析式，求解三角形顶点坐标，得到三角形的面积 ，列出不是，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1 ） 当 时， 化为 .当 时，不等式化为 ，无解； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 综上， 的解集为 . （2）由题设可得 所以 的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， ，该三角形的面积为由题设 ，且 ，解得所以的取值范围是 .