1、山西省大同市与阳泉市 2018 届高三第二次教学质量监测试题数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 20,12log1ABx，则 AB为（ ）A , B , C ,2 D 1,2 2.已知复数 21zi，则 z（ ）A1 B C 3 D23.函数 sin2fx的图象向右平移 6个单位后所得的图象关于原点对称，则 可以是（ ）A 6 B 4 C 3 D 3 4.把一枚质地均匀、半径为 1 的圆形硬币平放在一个边长为 8 的正方形托盘上，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部
2、分在托盘以外)的概率为（ ）A 916 B 716 C 516 D 16 5.执行如图所示的程序框图，若输入 n的值为 8，则输出 s的值为（ ）A16 B8 C4 D26.已知双曲线 210,xyab的离心率为 2，其一条渐近线被圆 240xmy截得的弦长为 2，则实数 m的值为（ ）A3 B1 C 2 D27.设有下面四个命题1:,apb是 a的必要不充分条件； 2:0,1px， 11loglex；3:函数 2xf有两个零点； 4:,， 1l2x.其中真命题是（ ）A 13,p B 14,p C 23,p D 24,p 8.九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”
3、型石材表示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并使每个球的体积最大，则所剩余料体积为（ ）A 284 B 2816 C 283 D 284 9.若二项式 *3nxN中所有项的系数之和为 a，所有项的系数的绝对值之和为 b，则 a的最小值为（ ）A2 B 52 C 136 D 92 10.已知实数 0a且 ，函数 2,14ln,xaf x在 R上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）A 1, B 2, C 2,5 D 1,5 11.已知椭圆 210xyab的左、右焦点分别为 12,F，过 1且与 x轴垂直的直线交椭圆于 ,AB两点，直线 2F与椭圆的另一个交点为 ，若 2
4、3ABCS，则椭圆的离心率为（ ）A 310 B 105 C 3 D 5 12.已知函数 cosfx的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为 ，则2sin（ ）A B 1 C0 D2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 6,3ab， 12a，则向量 a在向量 b方向上的投影是 14.若变量 ,xy满足约束条件,2,xy则 zxy取得最大值时的最优解为 15.若四面体 ABCD的三组对棱分别相等，即 ,ABCDABC，给出下列结论：四面体 每组对棱相互垂直；四面体 每个面的面积相等；从四面体 AB每个顶点出发的三条棱两
5、两夹角之和大 90而小于 18；连接四面体 CD每组对棱中点的线段相互垂直平分.其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号）16.在 AB中， 310,cos5AB，且在边 ,ABC上分别取 ,MN两点，点 A关于线段 MN的对称点 P正好落在边 C上，则线段 M长度的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na为等比数列，其前 n项和为 nS，且 431nnR.（1）求数列 的通项公式；（2）设 21lognnbS，求数列 34nba的前 项和 nT.18.如图，在菱形 ABCD中， ， ED平面 ABC，
6、/EFDB， M是线段 AE的中点，12DEF.（1）证明： /DM平面 CEF；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.19.为了保证食品的安全卫生，食品监督管理部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了 10 个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图(单位:毫克).规定:当食品中的有害微量元素的含量在 0,1时为一等品，在10,2为二等品，20 以上为劣质品.（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取 5 个数据，再分别从这 5 个数据中各选取 2 个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；（2）每生产一件一等
7、品盈利 50 元，二等品盈利 20 元，劣质品亏损 20 元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取 1 件，设这两件食品给该厂带来的盈利为 X，求随机变量 X的分布列和数学期望.20.设抛物线 E的方程为 20ypx，已知直线 :2plyx交抛物线 E于 ,AB两点，且 8.（1）求抛物线 的方程；（2）点 0,5Qxy是抛物线 E上的点，过点 Q作圆 2:4Mxy的两条切线，分别与 x轴交于,AB两点，求 AB面积的最小值.21.已知函数 21xfxe.（1）求 在 ,上的最值；（2）若 x
8、gxfae，当 gx有两个极值点 122,x时，总有 221xegxte，求此时实数 t的值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，圆 1C的参数方程为 1cosinxty( 为参数)，圆 2C与圆 1外切于原点 O，且两圆圆心的距离 123，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 和圆 的极坐标方程；（2）过点 O的直线 12,l与圆 2C异于点 O的交点分别为点 ,AD，与圆 1C异于点 O的交点分别为点 ,CB，且12l，求四边形 ABD面积的最大值.23.选修 4-5：不
9、等式选讲设函数 23,fxxmR.（1）当 m时，求不等式 fx的解集；（2） ,0x，都有 2f恒成立，求 m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBCAB 6-10: DDCBC 11、12：DA二、填空题13. 4 14. 4,2 15. 16. 409 三、解答题17. 解：（1）由 31nnS，得 11432nnS， 114na，当 时， a， 1n， a是以 为首项，4 为公比的等比数列. 21， 12. 134nna.当 时， 13a，符合上式. 2.（2）由（1）得 221loglog412nnnbS n. 1344nnba. 232114n nT ，144. -，得 13
10、44nnnT 134n. 1639439nnnn 269n.18.解：（1）设 AC与 BD的交点为 O，连接 M.因为 /,DOEF平面 CEF，所以 /DO平面 EF.因为 M是线段 的中点，所以 是 ACE的中位线，所以 /.又 平面 ，所以 /平面 F.又 ，所以，平面 /DO平面 CE， DM平面 O，故 /M平面 F. （2）取 AB的中点为 G,连接 ,则 GC.以 为坐标原点，分别以 E为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系， 设 2BD,则31310,3,10,22AEMF,所以 ,EF.设平面 D的法向量 ,nxyz，则 0,nEF即 3102zxyz解得 3zyx可取
11、法向量 ,n，又 1,2DM.则35cos,2DMn，故直线 与平面 EF所成角的正弦值为 15.19.解：（1)从甲中抽取的 5 个数据中，一等品有 420个，非一等品有 3 个；从乙中抽取 5 个数据中，一等品有 6310个，非一等品有 2 个，设“从甲中抽取 5 个数据中任取 2 个，一等品的个数为 i”为事件 0,12iA，则 23051CPA, 1235CPA, 2510CPA.设“从乙中抽取 5 个数据中任取 2 个，一等品的个数为 i”为事件 0,12iB，则2051CPB, 1235CPB, 23510CPB.甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率为： 21032110505AA
12、.（2）由题意，设“从甲中任取一件为一等品”为事件 1C，则 14P设“从甲中任取一件为二等品”为事件 2,则 2405P设“从甲中任取一件为劣质品”为事件 3,则 31 设“从乙中任取一件为一等品”为事件 1D，则 16305P设“从乙中任取一件为二等品”为事件 2，则 2 设“从乙中任取一件为劣质品”为事件 3，则 3105.X可取 40,3,710.352PCD,2313052,131X,24052PCD,1138752,36052X.的分布列为1186430470154252E.20.解 :（1)联立 2,pyx消去 y得 234px，设 12,AxyB，则 12x. 48Fp， 2p
13、，抛物线 E的方程为 2yx.（2）设切线方程为 00yk，令 ，得 0yxk.圆心 ,0到切线的距离 21yxd，整理得 22000440xkk.设两条切线的斜率分别为 12,，则00124xyk， 0124ykx. QAB面积 00122yySxxkk211221004kyy220002220441xxyy22000024164412xxxx201x.设 04,t，则 2Sft在 4,上单调递增，且 254f， 5ft，即 QAB面积的最小值为 25.21.解：（1） 21xfxe， ,2x， 0， 0f， f在 ,1上单调递增，当 2x时， 12min31442fxee当 1时， iff
14、（2） 21xgxae，则 21xgxae根据题意，方程 0有两个不同的实根 122,，所以 0,即 2a,且 1212,xx.由 21xegxte，可得 222exete，又 221,a，所以上式化为 22210xxt对任意的 2x恒成立.（）当 20x时，不等式 22210xxet恒成立， tR；（）当 1,时， 22xxt恒成立，即21xet.令函数222 1xxehe，显然， 2hx是 R上的增函数，所以当 21,0x时， 20h，所以 te.（）当 ,时， 221xxet恒成立，即21xet.由（）得，当 20,x时， 20he，所以 .综上所述 te.22.解：（1）由 1C的参数
15、方程 1cosinxty（ 为参数)，得 21xy， 11,0r，又因为圆 2与圆 1C外切于原点 O,且两圆圆心的距离 123, 22,0Cr，则圆 的方程为 24xy，由 cos,inxy得圆 1C的极坐标方程为 cos，圆 2C的极坐标方程 4cos.（2）由已知设 1,A，则由 12l可得2343,BD.由（1）得 12344cos,2sin,sco3co4si,2四边形 1324118sinco9sin2ABCDS四 边 形 ，当 sin2，即 4时， ABCDS四 边 形 有最大值 9.23.解：（1）当 2m时， 41032252xfxxx.由 0413x解得 12x；当 2时， 恒成立；由 ,453x解得 32x，不等式的解集为 1,.（2） 430232xmfxxx当 ,0x时， 302234mxfxx当 32x 时， fxm；当 2x， 3fx单调递减， f的最小值为 3，设 0g，当 0x时， 2x，当且仅当 x时，“ ”成立， 2x.即当 时， g取得最大值 2.要使 2fx恒成立，只需 3m， 3m.
