1、2018届四省名校高三第三次大联考文科数学试题（解析版）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数满足 （为虚数单位） ，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得 ，再利用复数的四则运算法则求出 z 的代数形式，再写出虚部。详解：由 有 ，则 z 的虚部为 ，故选 B.点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。 若复数 ，则复数的虚部为 。2. 某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为 144 ，则 （ ）A. 14
2、 B. 13 C. 12 D. 11【答案】CABD【解析】分析：先根据已知的三视图还原得到直观图，再根据几何体的体积，利用体积计算公式，求出侧视图中一直角边的长。详解：根据已知的三视图，作出直观图如下：由已知有 平面 BCD，且 ，且 ，由三棱锥的体积计算公式，求出 ，故选 C.点睛：本题主要考查了三视图成直观图、三棱锥的体积计算公式，属于基础题。解答本题的关键是由三视图还原成直观图。3. 设集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先由不等式 求出 的范围，写成集合即为 N，再得出集合 M，N 之间的关系，最后得到正确的选项。详解：由 有 ，即 ，所以 ，根据全称命题
3、的特点和子集的定义，得出正确选项为 B. . . . . . . . .4. 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100个面包分给 5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的 等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为 ，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。详解：设等差数列 的公差为 ，由已知有 ，解得 ，故最小一份是 ，选 C.点睛：本题主要考查了等差数列的基本量的计算，属于容易题。注意从已知的条件中找出数学等式。5. 双曲线 的一条渐近线截圆 为弧
4、长之比是 1:2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】分析：本题可转化为一条直线 截圆 的弧长之比为 ，再求出 的值，得出双曲线的离心率。详解：在双曲线中， ，一条渐近线方程为 ，圆 的圆心坐标为 ，半径为 2，由已知有直线 截圆 的弧长之比为 ，所以圆心 到直线 的距离为圆半径的一半，为 1，所以有 ，求得 （负值舍去） ，故离心率 ，选 B.点睛：本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及的知识点有双曲线的简单几何性质 ，圆的一般方程化为标准方程，以及点到直线距离公式 ，属于中档题。6. 某校李老师本学期任高一 A班、B 班两个班数学课教学，两个班都是
5、50个学生，下图反映的是两个班在本学期 5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是（ ）A. A 班的数学成绩平均水平好于 B班B. B 班的数学成绩没有 A班稳定C. 下次 B班的数学平均分高于 A班D. 在第一次考试中，A、B 两个班总平均分为 78分【答案】C【解析】分析：根据图表，分别求出 A，B 班的平均分以及方差，再得出四个选项中哪一个是不正确的即可。详解：A 班的 5 次数学测试平均分分别为 81,80,81,80,85，5 次的平均分，B 班的 5 次数学测试平均分分别为 75,80,76,85,80，5 次的平均分为 ，A 班的数学平均分好于 B 班，选
6、项 A 正确；由于 A 班的成绩都在 80 分附近，而 B 班的平均分变化很大，所以 A 班成绩稳定些，选项 B 正确；下次考试 A，B班的平均分不能预料，所以选项 C 错误；在第一次考试中，总平均分为 分，选项 D 正确，故选 C.点睛：本题主要考查了根据图表求平均分等，属于中档题。根据图表求平均数和方差时要细心，不能看错数据和用错公式。7. 已知 为定义在 上周期为 2的奇函数，当 时， ，若 ，则 （ ）A. 6 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】分析：利用已知条件，将函数的自变量变到 内，再求出函数值，由 求出的值。详解：因为 是周期为 2 的奇函数，所以 ，解得 ，选 A.点睛
7、：本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，属于中档题 。在本题中，应用函数的周期性和奇偶性解题是关键。8. 阅读如图所示的程序，若运行结果为 35，则程序中的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先读懂题干中的程序，是直到型循环结构，即直到 时结束循环，输出 S 的值。根据S=35，再求出 a 的范围。详解：本程序是直到型循环结构，第一次运行， ；第二次运行， ；第三次运行， ，此时 ；第四次运行， ，此时满足 ，综上条件，得 ，选 A.点睛：本题主要考查由程序语句的输出结果，判断条件中 a 的范围，属于易错题。错误的原因是没有弄懂程序是直到型还是当型循环结构，直
8、到型循环结构：DO 循环体 LOOP UNTIL 条件，直到型循环结构：WHILE 条件 循环体 WEND。9. 设函数 的图象关于点 对称，点 到该函数图象的对称轴的距离的最小值为 ，则（ ）A. 的周期为B. 的初相C. 在区间 上是单调递减函数D. 将 的图象向左平移 个单位长度后与函数 图象重合【答案】D【解析】分析：由已知条件的对称中心和对称轴，求出函数 的周期，得出 的值，再求出初相 的值。再逐项判断。详解：因为点 到对称轴的距离的最小值为 ，所以 ，选项 A 不正确；函数 ，由 得 ，选项 B 不正确； ，当时， ，而函数 在 上不具备单调性，选项 C 错误；将函数的图象向左平移
9、 后，得到 ，选项 D 正确。故选 D.点睛：本题主要考查了三角函数的单调性和对称性，图象的平移等 ，属于中档题。由已知条件求出的值，是解题的关键。10. 设 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由 求出 的表达式，先比较 的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。详解：由 有 ， ，因为 ，所以 ，而 ，所以 ，选 C.点睛：本题主要考查比较实数大小，属于中档题。 比较大小通常采用的方法有 ：（1）同底的指数或对数采用单调性比较；（2）不同底的指数或对数采用中间量进行比较，中间量通常有 0,1， 等。11. 如图，在 中，已知 ， 为 上一点，且满
10、足 ，若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：过 P 点分别作 交 AC 于 M 点， 交 BC 于 N 点，由相似比可以求出 m 的值，根据 的面积为 ， 求出 ,再求 ，根据基本不等式求出最小值。详解：过 P 点分别作 交 AC 于 M 点， 交 BC 于 N 点，则 ,因为，所以求出 ，设 ，则由三角形面积公式有 ，而，则 ，故 的最小值为 ，选 D.点睛：本题主要考查平面向量的数量积的应用以及基本不等式等，属于中档题。 由向量加法的平行四边形法则和相似比求出实数 的值，是解题的关键。12. 设抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于 点，过点 的直
11、线 与抛物线 相交于不同两点 ，且，连接 并延长准线于 点，记 与 的面积为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先由 求出 A 点坐标，由 K,A 点的坐标求出直线 m 的方程，根据直线 m 与抛物线相交，求出 B 点的坐标，再求出过点 B,F 的直线方程，由两直线相交求出 C 点坐标，由 B,C,F 三点坐标，求，求出的值，得出 与 的面积比。详解：抛物线 的准线方程 ， 由 ,求出 ，则直线 ，联立 求得 ,直 线 BF： ，令 ，得出 ，即 ，所以 ， ,所以 ，选 C.点睛：本题主要考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，求直线的方程等，属于中档题。
12、本题计算量大，平时注意解题的速度的训练。第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 若变量 满足约束条件 ， ，则的最小值为_【答案】【解析】分析：由约束条件画出可行域，由 有 ，求的最小值，即求直线 的纵截距的最大值。数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到最小值。详解：由约束条件作出可行域，如下图阴影部分 ，由 有 ，令 是经过原点的直线，将此直线向左上方平移时，当经过 B 点时，直线 的纵截距最大，此时的值最小，由 得 ,求得 .点睛：本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域和简单的线性规划，考查了数形结合的思想方法，属于中档题。14
13、. 设 为等比数列， 为其前 项和，若 ，则 _【答案】3【解析】分析：设等比数列的公比为 ，由 ，求出公比 的值，再根据等比数列的前 项和公式，求出 的值。详解：设等比数列的公比为 ，由 有 ，所以 ， ，所以。点睛：本题主要考查了等比数列中的基本计算，属于基础题 。由已知条件求出等比数列的公比 ，是解题的关键。15. 已知 ，且满足 ，则 _【答案】【解析】分析：由已知条件 求得 的值，再将所求的式子化简，将 的值代入化简后的式子，求出值。详解：因为 ，所以 ， 则，而 。点睛：本题主要考查了三角函数的恒等变换以及化简求值，属于中档题。 注意第三象限的三角函数的符号。16. 如图，已知直二
14、面角 ，点 ，若 ，则三棱锥 的体积的最大值为_【答案】【解析】分析：在 中，由余弦定理求出 BD 的长，再求出 BC 的长，进而求出 的面积，过 A 点作 AE 交 CD 于 E 点，则 AE 平面 BCD，求三棱锥 A-BCD 体积的最大值，即为求 AE 的最大值。详解：在 中， ，所以 ，求出，则 ，满足 ，所以 ， ，以 CD 所在直线为 轴，CD 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，设 ， 由 有，化简得 ，当 时， 有最大值 ，所以 A 点到直线 CD的距离的最大值为 ，即 AE 最大值为 ，此时三棱锥 有最大值为。点睛：本题主要考查了立体几何中棱锥体积的计算等，涉及的知识点有余弦定理
15、和坐标法求长度的最大值。用坐标法求三角形的高是解题的关键。三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知函数 .（1）当 时，求 的值域；（2）在 中，若 ，求 的面积.【答案】(1) ；(2) .详解：（1） ，当 ，即 时， 取得最大值 3；当 ，即 时， 取得最小值 ，故 的值域为 .（2）设 中角 所对的边分别为 ， ，即 ， ，得 .又 ，即 ， ，即 ，由正弦定理得 ，解得 ， ， .点睛：本题主要考查了三角函数的性质，正弦定理， 三角形的面积公式等 ，属于基础题。本题关键是将函数 化成 ，从而求出值域。18. 2018年 6月
16、14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取 100名观众进行统计，得到如下 列联表.（1）将 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取 6人，再从这 6人中随机抽取 2人参加一台访谈节目，求这 2人至少有一位男性的概率.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】分析：读懂题意，补充列联表 ，代入公式求出 的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。详解：（1）补充列联表如下：由列联表知故可以
17、在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取 6 人，其中男性有 人，女性有 人.记男性观众分别为 ，女性观众分别为 ，随机抽取 2 人，基本事件有共 15 种记至少有一位男性观众为事件 ，则事件 包含 共9 个基本事件由古典概型，知点睛：本题主要考查了独立性检验的应用以及古典概型，属于中档题。解决独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）计算 的值；（3）查值比较 的值与临界值的大小关系，作出判断。19. 在如图所示的几何体中， 平面 ，四边形 为等腰梯形， ， ， ， ， .（1）证明： ；（2）若
18、多面体 的体积为 ，求线段 的长.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】分析：（1）通过证明 AB 平面 ACFE 得到 ；（2）作 于点 G，设 ，分别计算出四棱锥 的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形 CFG中求出 CF的值。详解：(1) 平面 ，作 于点 ，在 中， ， ，得 ，在 中， 且 ， 平面又 平面 .（2）设 ，作 于点 ，则 平面 ，且 ，又 ， ，得连接 ，则 ， .点睛：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理、余弦定理、勾股定理、体积计算公式等，属于中档题。20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，过直线： 左侧的动点 作 于点 ， 的角平分线交
19、轴于点 ，且 ，记动点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）过点 作直线交曲线 于 两点，设 ，若 ，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：（1）设 ，由已知有 ，所以 ，由两点间距离公式，化简整理得；（2）设直线： ， ，联立 得 ，由韦达定理求出 的值，由 得 ，根据的范围， 求出 的范围，再求出 的范围。详解：（1）设 ，由题可知 ，所以 ，即 ，化简整理得 ，即曲线 的方程为 .（2）由题意，直线的斜率 ，设直线的方程为 ，由 得 ，设 ，所以 恒成立，且 ，又因为 ，所以 ，联立，消去 ，得因为 ，所以 ，解得 .又 ，因为 ，所以 .所以 的取值范围是
20、.点睛：本题主要考查了求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系等，考查推理论证能力、运算求解能力，方程与函数思想，数形结合思想等，属于中档题。21. 已知函数 .（1）当 时，判断函数 的单调性；（2）若 有两个极值点 .求实数的取值范围；证明： .【答案】(1) 在 上单调递减；(2). ；.证明见解析.【解析】分析：（1） 时， ，所以 ，记 ，则 ，求出 的最大值 ，所以 ，故 ，得出函数 的单调性；（2）由已知有 是方程 的两根，设 ，讨论函数 的单调性，经分析知 ，求出的范围；（2）由 求出的范围，由 求出 a的表达式，再求出 的表达式。详解：（1）当 时， ，记 ，则 ，由 ，得 ，由 ，
21、得 ， 即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. .对 ， ， 在 上单调递减.（2） 有两个极值点，关于 的方程 有两个根 ，设 ，则 ，当 时， ，即 在 上单调递减， 最多有一根，不合题意当 时，由 ，得 ，由 ，得 ， 即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.且当 时， ，当 时， ，要使 有两个不同的根，必有 ，解得实数的取值范围是 . ，又 ， ，令 ，则 ， 在区间 上单调递减， .又 ， ， .点睛：本题主要考查了函数的单调性和最值与导函数的关系，求函数的导数，构造函数是解决本题的关键。22. 在极坐标系中，曲线 的极坐标方程化为 ，点 的极坐标为 ，以极点为坐标原点，
22、极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线 的直角坐标方程和点 的直角坐标；（2）过点 的直线与曲线 相交于 两点，若 ，求 的值.【答案】(1) ， ；(2) .【解析】分析：（1）由 ，将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程及点 P的 直角坐标；（2）设过点 P的直线的参数方程 ，将其代入 中， 得 ，设 A，B 两点对应的参数分别为 ，则 ，在求出 的值。详解：（1） ，得 ，又 ， ，即曲线 的直角坐标方程为 ，点的直角坐标为 .（2）设过点 的直线的参数方程是 （为参数） ，将其代入 ，得 ，设 两点对应的参数分别为 ， ， 或 .点睛：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程和直角
23、坐标方程，参数方程的互化，直线的参数方程的几何意义等，属于中档题。23. 已知函数 , .（1）当 时，解不等式 ；（2）若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：（1）当 时， ，解不等式求出 的范围；（2）由绝对值三角不等式求出函数 的最小值，求出 的值域，再求出 的值域，由题意得出 的值域是 的值域的子集，再求出的范围。详解：（1）当 时， ，或 或解得即不等式解集为 .（2） ，当且仅当 时取等号， 的值域为又 在 上单调递增， 的值域为 ，要满足条件，必有 ， ，解得实数的取值范围为 .点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等，考查了分类讨论思想，化归与转化思想，属于中档题。
