1、2018 届全国四省名校高三第三次大联考理科数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 z满足 iz)1(（ 为虚数单位） ，则 z的虚部为（ ）A 2 B C i21 D i21 2某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为 144 2cm，则 d（ ）A14 cm B13 c C12 cm D11 cm3设集合 2|,20|xRxNxRM，则（ ）A xN, B M, C 0 D x004 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个
2、面包分给 5 个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的 71等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A 35 B 310 C 65 D 65对任意实数 x，有 6210)( xaxaxa ，若 2302a，则（ ）A2 B 2 C 3 D 986双曲线 )0(12byx的一条渐近线截圆 042yx为弧长之比是 1:2 的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A 2 B 3 C2 D37阅读如图所示的程序，若运行结果为 35，则程序中 a的取值范围是（ ）A 7,6( B 7,6 C )7,6 D )7,6(8设 215,ln,23zyx，则（ ）A B xy C yxz D xyz9设函
3、数 )0)(3cos()( f ， (f为 )f的导函数，若函数 )()(xfg的图象关于原点对称，则 （ ）A 21 B 2 C 21 D 2310近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对 S城某大学的 10000名（其中男生 6000 名，女生 4000 名）在校本科生，按性别采用分层抽样的方式抽取了 1000 名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计，通过整理得如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中，月消费金额超过 2000 元的女
4、生有 150 人.根据上述数据和频率分布直方图，判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式： 13057sin,258.01sin,73. 0.A月消费金额超过 2000 元的女生人数少于男生人数 B所调查的同学中月消费金额不超过 500 元的共有 4 人 C样本数据的中位数约为 1750 元 D在犯错的概率不超过 0.1%的情况下认为月消费金额在 2000 元以上的大学生与性别有关11如图，已知抛物线 xyE4:2的焦点为 F，准线 l与 x轴交于 K点，过点 的直线 m与抛物线 E相交于不同两点 BA,，且 3|F，连接 B并延长准线 于 C点，记 AF与 BC的面积为 21,S，则 2
5、1S（ ）A 74 B 5 C 32 D 10712设函数 exf()为自然常数)， xgln)(，有下列命题： (xf有极小值 f1； ),0，使得不等式 002)(xgxf（ )(g为 x的导函数）成立；若关于 x的方程 (tf无解，则 t的取值范围为 ,e；记 )(xgF，若 )(F在 )2,1(x上有三个不同的极值点，则 的取值范围为 )2,(e.其中真命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13若变量 yx,满足约束条件 05231yx， yxz2，则 z的最小值为 14设 na为等比数
6、列， nS为其前 项和，若 36a，则 6S 15已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） 1CBA各顶点都在同一球面上，且 1ACB，012BAC，若此球的表面积等于 20，则 16如图，在 中，已知 DB1， P为 上一点，且满足 AmP94，若 的面积为 3， 3，则 |C的最小值为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17已知函数 )sin3(cos2)(xxf.（1）当 17,4x时，求 )f的值域；（2）在 ABC中，若 ABCsin3si,1(，求 BC的面积.18在如图所示的几何体中， EA平面 D，四边形 为等腰梯形，D/，
7、 2， ， 06， EF/， 21.（1）证明： CFAB；（2）当二面角 DE的余弦值为 10时，求线段 CF的长.192018 年 6 月 14 日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为 31，男球迷选择德国队的概率为 52，记为三人中选择德国队的人数，求 的分布列和数学期望.20.如图，在平面直
8、角坐标系中，已知点 )0,1(F，过直线 l： 2x左侧的动点 P作 lH于点 ，HPF的角平分线交 x轴于点 M，且 |2|PH，记动点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）过点 作直线 m交曲线 于 BA,两点，点 C在 l上，且 /Bx轴，试问：直线 AC是否恒过定点？请说明理由.21设函数 )(1ln)1(Raxxf .（1）当 a时，求 f的单调区间；（2）若 0)(xf对任意 ),x恒成立，求实数 的取值范围；（3）当 2,时，试比较 ln(ta21与 )4t(的大小，并说明理由.22在极坐标系中，曲线 C的极坐标方程化为 sin6，点 P的极坐标为 )4,2(，以极点为坐
9、标原点，极轴为 x轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线 的直角坐标方程和点 P的直角坐标；（2）过点 P的直线 l与曲线 相交于 BA,两点，若 |2|B，求 |A的值.23.已知函数 |12|)(xaxf , 156)(xg.（1）当 3a时，解不等式 )(f；（2）若对任意 25,1x，都存在 Rx2，使得 )(21f成立，求实数 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BCBAB 6-10：CACDD 11、12：CC二、填空题13 3 143 152 16 34三、解答题17解：（1） )12(cossin2)( xxf162sin( 7,4x， 3当 26x，即 6x时， )(
10、xf取得最大值 3；当 34，即 127时， f取得最小值 1，故 )(xf的值域为 3,1.（2）设 ABC中角 ,所对的边分别为 cba, ,1)(f 6sin， B0，即 62B， 23，得 .又 C，即 a， Asin3si，即 ab3， 3b由正弦定理得 BbAsini，解得 21si 30， 6， C 43213si21abSABC .18.解：(1)由题知 E平面 ABD，平面 ,过点 A作 H于 点，在 HRt中， 06AB， 21H，得 AB，在 BC中， 3cos22CBA 2 A且 E， B平面 CF又 平面 .（2）以 为坐标原点， AB,分别为 zyx,轴，建立空间直
11、角坐标系，设 )0(aAE，则 ,1B， ,， ),230(aF， )0,231(D， ),0(aE， ),1(B， ),(aE， ),021(aDF设 ,zyxn为平面 EF的一个法向量，则 023azyxB，令 ax得 )1,0(n，同理可求得平面 DEF的一个法向量 ),2(m，10|41|,cos| 22anm，化简得 01542a解得 或二面角 DEFB为锐二面角，经验证 21a舍去， 1a.作 ACM于 点，则 为 AC中点， 272.19.解：（1）设恰好有两支球队被人选择为事件 ，由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支，有34种不同选择，每种选择可能性相等，故恰好有两支球队被
12、人选择有 243C种不同选择，所以 1694)(32CAP.由题知 ,0，且 256)3()0(P， 18523)5()1(12，47)(12CP, 754)3(1)(2P 的分布列为 157431522560)( E.20、 （1）设 ),yxP，由题可知 |PFM，所以 2|HF，即 |)1(2xy，化简整理得 12yx，即曲线 的方程为 12.（2）由已知可得直线 m的斜率不为 0，可设直线 的方程为 nyx，联立方程组 12消去得 0)(2ny， 恒成立，记 ),(,21xBA，则 ),(2yC，则 1,112 nyxny ，直线 的斜率为 21xyk，直线 A的方程为 )2(12xy
13、，即 )2(211yxxy，又 21)(2)()(22121 ynyny，直线 AC的方程为 )3(121 xx，直线 过定点 )0,23(N.21.解：（1）当 a时， )(ln)(xxf ，xfln)(，设 )0(,g则 21)(x，当 ,0时， )(单调递减，当 ),1(x时， )(xg单调递增， 01)()(mingx， )(f， f在区间 ),0(上单调递增，无单调递减区间.（2） axgax1ln ，由（1）可知 )(x在区间 ),上单调递增，则 )(gx，即 )(f在区间 ),上单调递增，且 af21当 a时， 0， 在区间 上单调递增， )1(fx满足条件；当 2时，设 )1(
14、lnxaxh，则 21)( xxh， )(xh在区间 ),上单调递增，且 02， 0aae 10ae使得 0(x当 ),x时， )h， )(f单调递减，即 ),1(0x时， )1(f，不满足题意.综合上述，实数 a的取值范围为 2,.（3）由（2）可知，取 ，当 1x时， 0)1(ln)1(xxf ，即 1lnx，当 10x时， ， 12lnln2xx，又 tan)4ta(，当 0时， )4tan()l(t2,10；当 4时， tlta,ta；当 2时， 1tn，)4a()ln(t1.22、 （1） si6，即 sin62，由 ,coyx，有 2，曲线 C的直角坐标方程为 9)3(22yx，P
15、点的直角坐标为 )1,(.（2）设直线 l的倾斜角为 )0，则直线 l的参数方程是 sin1cotyx（ t为参数） ，将其代入 x62，可得 04)si(co2tt，记 21,为方程的两根，由 0，得 ),， 21t |PBA， 或 1t，当 21t时， ,21t或 2,t 3| ，当 12t时，同理 23|AB， 3|AB.23.解：（1）当 a时， |12|)(xxf ，621)3(6)( xxxf或 63x或 612)3(x解得 2即不等式解集为 |.（2） |1|2|12|)( axxaxf ，当且仅当 0)时，取等号， )(xf的值域为 |,|又 1256g23x在区间 25,1上单调递增， )()(fx，即 )(g的值域为 ，要满足条件，必有 |,|,a， 1|a，解得 02 的取值范围为 ,.
