1、全国名校大联考20172018 学年度高三第三次联考数学（理科）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 数字 2.5 和 6.4 的等比中项是（ ）A. 16 B. C. 4 D. 【答案】D【解析】设等比中项为 ，则 ，所以数字 的等比中项是 ， 故选 D.3. 不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由不等式 ，得 ，即 ，解得 解集为 ，故选 C.4. 设 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，故
2、选 B.5. 已知数列 ，“ 为等差数列”是“ ， ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 “ 为等差数列” ，公差不一定是 ， 不一定成立，即充分性不成立；“ ，”，则 ，则 为等差数列，必要性成立，所以数列 ，“ 为等差数列”是“ ，”的必要而不充分条件， 故选 B.6. 若 ，则下列不等式中一定不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ， 不正确； 正确； 正确；时， 成立，故选 A.7. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ， ，曲线 在点 处的
3、切线方程为 化为，故选 B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ）；（2）由点斜式求得切线方程 .8. 若数列 满足 ， ，则数列 的前 32 项和为（ ）A. 64 B. 32 C. 16 D. 128【答案】A【解析】根据题意，由 ，得 ，因 ，得 ，则数列前 项和 ，故选 A.9. 设 满足约束条件 ，则目标函数 取最小值时的最优解是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出 表示的可行域 ，如图三角形 内部及边界即
4、为所作可行域，由图知平移 至 点处达到最小值，联立 ，解得 ，即 ，目标函数 取最小值时的最优解是 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10. 已知 是等差数列， ，记数列 的第 项到第 项的和为 ，则 取得最小值时的 的值为（ ）A. 6 B. 8 C. 6 或 7 D. 7 或 8【答案】C【解析】
5、是等差数列， ， ， 数列的第 项到第 项的和为连续 项的和 ， 取得最小值时 的值为 或 ，故选 C.11. 定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，所以,又因为 ， , ,故选 D.12. 设函数 是定义在 上的单调函数，且对于任意正数 有 ，已知 ，若一个各项均为正数的数列 满足 ，其中 是数列 的前 项和，则数列中第 18 项 （ ）A. B. 9 C. 18 D. 36【答案】C【解析】 对任意的正数 均有 且 ，又 且，又 是定义在 上的单调增函数， ，当 时， ， ，当 时，-可得 ，
6、，为等差数列 ， ， ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前 项和之间的关系以及公式的应用，属于难题 .已知 求 的一般步骤：（1）当 时，由 求 的值；（2）当时，由 ，求得 的表达式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示 ；（4）写出 的完整表达式.二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13. 不等式 的解集为_【答案】-16【解析】 ，因为 ， ,不等式的解集为 ，故答案为.14. 等比数列 中， ， ，则 的值为_ 【答案】【解析】因为 ， ，所以 ，故答案为 .15. 设 为平行四边形 对
7、角线的交点， 为平行四边形 所在平面内任意一点，则 _【答案】4【解析】， ，故答案为 .16. 若不等式 在 上恒成立， 则的取值范围是_【答案】时取得最小值为 ，所以实数的取值范围是 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查利用单调性求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合(图象在 上方即可 )； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知函数 ，求函数 的单调区间与极值 【答案】 在 上为减函数， 在 上为增函
8、数 ，在 时取得极小值【解析】试题分析：求出 ，在定义域内，令 求得 的范围，可得函数 增区间，求得 的范围，可得函数 的减区间 ，根据函数的单调性可得函数 在 时取得极小值试题解析：知 ，则 令 ，解得 或 因为 不在 的定义域 内，故舍去当 时， ，故 在 上为减函数；当 时， ，故 在 上为增函数由此知函数 在 时取得极小值 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题. 求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在
9、处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.18. 某市垃圾处理站每月的垃圾处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 （元）与月垃圾处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨垃圾得到可利用的资源值为100 元（1）该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？（2）该站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要市财政补贴，至少补贴多少元才能使该站不亏损？【答案】 （1）该站垃圾月处理量为 400 吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为 200 元；（
10、2）该站每月不获利，需要市财政每月至少补贴 40000 元才能不亏损.【解析】试题分析：（1）观察月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系式，则可得每吨的平均处理成本为 ；再由 ，利用基本不等式求解；（2）设该单位每月获利 元，则，根据二次函数的性质利用配方法即可解答.试题解析：（1）由题意可知，每吨垃圾的平均处理成本为当且仅当 ，即 时等号成立，故该站垃圾月处理量为 400 吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为 200 元（2）不获利设该站每月获利为 元，因为 ，所以 故该站每月不获利，需要市财政每月至少补贴 40000 元才能不亏损19. 已知首项为 1 的等差数列
11、 前 项和为 （1）若数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，求数列 的前 项和 ；（2）若 ，求 的最小值【答案】 （1） ；（2）当 时， .【解析】试题分析：（1）由 可得 ，结合 可得 ，从而求出数列的公比，再根据等比数列的求和公式可得结果；（2）由（ 1）知 ，化简 ，根据二次函数的性质，利用配方法求解即可.试题解析：（1）设数列 的公差为 ，则由题意知 ， ，又 ，即 ， ， （2）由（1）知 ， ， ，当 时， 20. 已知 ，在 中， 分别为内角 所对的边，且对 满足 （1）求角 的值；（2）若 ，求 面积的最大值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）逆用两角和
12、的正弦公式可得 ，结合特殊角的三角函数，解简单的三角方程即可求角 的值；（2）利用（1）的结论，由余弦定理可得 ，利用基本不等式求得，结合三角形面积公式从而可得 面积的最大值 .试题解析：（1） ， ， ，又 ，得到 （2）由（1）知 ， ， ，即 故 21. 已知函数 （1）若 ，且 ，求 的最大值；（2）当 时， 恒成立，且 ，求 的取值范围【答案】 （1） ；（ 2） .【解析】试题分析：（1）由 可得 ，利用基本不等式即可求得 的最大值；（2）当 时，恒成立等价于 ，利用线性规划求解，画出可行域，要求 的范围，先根据可行域以及经过两点的斜率公式求经过两点 与 的直线的斜率的取值范围是
13、，从而可得结果.试题解析：（1） ， ， ，即 ， ， ， ， ， ，当且仅当 时等号成立，即 （2）当 时， 恒成立，且 ， ，且 ，即 ，满足此不等式组的点 构成图中的阴影部分，由图可得，经过两点 与 的直线的斜率的取值范围是 ， 的取值范围是 22. 数列 是首项与公比均为的等比数列（ ，且 ） ，数列 满足 （1）求数列 的前 项和 ；（2）若对一切 都有 ，求的取值范围【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】试题分析：（1）先求出数列 的通项公式，从而可得 ，利用错位相减法求解即可；（2）由 得 ，讨论 时， 时两种情况，分别分离参数，求出的最值，即可求的取值范围.试题解析：（1）
14、数列 是首项为，公比为的等比数列 从而 ， 设 ，则 ， ， ， （2）由 得 当 时， ，可得 ， ， ， 对一切 都成立，此时的解为 ；当 时 ， ，可得 ， ， ， 对一切 都成立时 由，可知，对一切 都有 的的取值范围是 或 【易错点晴】本题主要考察等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、 “错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 .
