1、2018 届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断测试数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得： ，结合交集的定义可得： .本题选择 D 选项.2. 复数 的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ，则其共轭复数为： .本题选择 D 选项.3. 下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的函数是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】逐一考查所给函数的
2、性质：A. 是偶函数，在 上单调递增，不合题意；B. 是非奇非偶函数， 在 上单调递增，不合题意；C. 是偶函数，在 上单调递减，符合题意；D. 是偶函数，在 上不具有单调性，不合题意；本题选择 C 选项.4. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是( )A. 0 B. 2 C. 5 D. 6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点 处取得最大值： .本题选择 C 选项.点睛：求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行
3、域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.5. 一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为( )A. B. C. D. 4【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其底面积为一个高为 ，边长为 的正三角形，高为 ，则其底面积 ，该几何体的体积为： .本题选择 B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解6. 函数 ，则不等式 的解
4、集为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分类讨论：当 时，不等式为： ，此时 ；当 时，不等式为： ，此时不等式无解； . . . . . . .综上可得，不等式的解集为： ，表示为区间形式即： .本题选择 A 选项.7. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为( )A. 4097 B. 9217 C. 9729 D. 20481【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：，则 ，以上两式作差可得： ，则： .本题选择 B 选项.8. 甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖” ，乙说：“甲、丙都未获奖” ，丙说：
5、“我获奖了” ，丁说：“是乙获奖了” 。若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是( )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】C【解析】由题意可知，说话正确的两人只能是甲丙，则丙获奖，本题选择 C 选项.9. 已知函数 (其中 为常数，且 ， ， )的部分图象如图所示，若 ，则 的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由函数图象可知： ，函数的最小正周期： ，则 ，当 时， ，令 可得 ，函数的解析式： .由 可得： ，则：.本题选择 B 选项.10. 过球面上一点 作球的互相垂直的三条弦 ，已知 ， ，则球的半径为( )A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析
6、】由题意可得，该外接球是长宽高分别为 的长方体的外接球，设球的半径为 ，由题意可知： .本题选择 D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11. 已知抛物线 与圆 ，过点 作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点 ，则下列关于 的值的说法中，正确的是 ( )A. 等于 1 B. 等于 16 C. 最小值为 4 D. 最大值为 4【答案】A【解析】圆
7、 的标准方程即： ，则其圆心 为抛物线的焦点，半径 ，由题意结合抛物线的定义可得： ， ，则 .本题选择 A 选项.12. 设函数 ，若不等式 有正实数解，则实数的最小值为( )A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】原问题等价于 ，令 ，则 ，而 ，由 可得： ，由 可得： ，据此可知，函数 在区间 上的最小值为综上可得：实数的最小值为 e.本题选择 D 选项.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 四名学生按任意次序站成一排，则 或 在边上的概率为_.【答案】【解析】四人排队，所有可能的排列方法有： 种，其中不满足 或 在边上的的排列方法有： 种，结
8、合古典概型计算公式可得， 或 在边上的概率 .14. 两条渐近线所成的锐角为 ，且经过点 的双曲线的标准方程为_.【答案】 或【解析】分类讨论：当双曲线的焦点位于 轴时，其标准方程为 ，其渐近线方程为： ，则： ，解得： ，双曲线的方程为 ；当双曲线的焦点位于 轴时，其标准方程为 ，其渐近线方程为： ，则： ，解得： ，双曲线的方程为 ；综上可得，双曲线方程为： 或 .点睛：求解双曲线的标准方程的关键就是找出双曲线中 a，b 的关系对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题15. 在 中， ， ， 是 的外心，若 ，则_.【
9、答案】【解析】由题意可得： ，则：，如图所示，作 ,则 ，综上有： ，求解方程组可得： ，故 .16. 设正项等比数列 的前 项和为 ，则以 ， ， 为前三项的等差数列的第 8 项与第 4 项之比为_.【答案】【解析】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由题意可得：，即： ，整理变形可得： 结合数列为正项等比数列可知： ，据此可知： ，则等差数列的第 8 项为 ，等差数列的第 4 项为 ，第八项与第四项之比为： .点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公式时，应该要分类讨论
10、，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 所对的边分别是 ，且 .(1)求 的值；(2)若 ，求 的面积.【答案】(1) ； (2)1.【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理边化角可得 ，整理计算有 .(2)结合已知条件计算可得 ，则 ，三角形的面积 .试题解析：(1) ，由正弦定理得 ， .(2)由 ，得 ， ， .18. 在直三棱柱 中， ， ， 是棱 的中点.(1)求证： ；(2)求点 到平面 的距离.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：(1)取 中点 ，
11、联结 ， ， ，由题意结合几何概型可证得 ， ，则 面 ，从而有 ；(2)由题意可求得三棱锥 的体积为 ，设 到平面 的距离为 ，转化顶点，结合 ，可得.试题解析：(1)取 中点 ，联结 ， ， ， 是直三棱柱， ， ，又 是 的中点， ， ，又 ， ， ， 面 ， ；(2) ，设 到平面 的距离为 ，则 ，由已知得 ， ， .点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积19. “双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的
12、方法抽取了 100 人，其消费金额 (百元)的频率分布直方图如图所示：(1)求网民消费金额的平均值和中位数 ；(2)把下表中空格里的数填上，能否有 的把握认为网购消费与性别有关；男 女 合计30合计 45附表：.【答案】(1)平均值为 11.5，中位数为 10；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额，计算可得平均值为 ，由中位数满足小长方形面积之和为 0.5列方程可得中位数 .(2)完善列联表，计算观测值可得 .则没有 的把握认为网购消费与性别有关.试题解析：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额的平均值，直方图中第一组，第二组的频率之和为
13、，的中位数 .(2)男 女25 25 5020 30 5045 55 100.没有 的把握认为网购消费与性别有关.20. 椭圆 的右焦点是 ， ， ，点 是平行四边形 的一个顶点，轴.(1)求椭圆 的离心率；(2)过 作直线交椭圆 于 两点， ，求直线的斜率.【答案】(1) ； (2) 或 .【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系有 ，则椭圆的离心率 .(2)由题意可得椭圆方程为 ，联立直线方程与椭圆方程有 ，则， ， ， ，满足题意时 ，据此整理变形有： ，解方程可得 或 .试题解析：(1)四边形 是平行四边形， 且 ，又 轴， ， ，则 .(2)由(1)得 ， ，椭圆方程为 ，设直线
14、，代入椭圆方程，得： ，设 ， ，则 ， ，由于 ， ， ， ，根据题意得 ，且 ，代入点坐标得：，即，化简得 ，解得 或 .点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知函数 .(1)证明：当 ， 时， ；(2)若关于 的方程 有两个不相等的实根，求的取值范围 .【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：(1)函数的解析式 ， ， ，据此讨论可得 在定义域内单调递增，则；(2)否则函数 ，原问题等价
15、于 有两个零点，且 ，据此分类讨论：若 ， 单调递减， 至多有一个零点，若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，则 时， 在 上必有一个零点，结合(1)的结论 在 上必有一个零点，综上， 时，关于 的方程 有两个不相等的实根 .试题解析：(1) ， ， ， ， ， 在定义域内单调递增， ， 在定义域内单调递增， ；(2)设 ，即 有两个零点， ，若 ， ，得 单调递减， 至多有一个零点，若 ， ，得 ， ，得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，即 ， ，此时 ，即 ，当 时， ， 在 上必有一个零点，由(1)知当 时， ，即 ，而 ，得 ， ，故 在 上必有一个零点，综上， 时，
16、关于 的方程 有两个不相等的实根 .22. 已知曲线 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是： .(1)求曲线 的直角坐标方程；(2) 是 上的点， 是 上的点，求 的最小值.【答案】(1) ； (2) .【解析】试题分析：(1)将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后整理变形可得 ；(2)联立圆的方程与椭圆方程可得 ，满足题意时判别式等于零，据此可得 时圆与椭圆相切，则 .试题解析：(1)曲线 的直角坐标方程为 ，即 ；(2)设与 同圆心的圆的方程为 ，联立 ，得 ，当 时，即 时圆与椭圆相切， .23. 已知函数 .(1)当 ， 时，求不等式 的解集；(2)若 ， ， 的最小值为 1，求 的最小值.【答案】(1) ；(2)4.【解析】试题分析：(1)题中的不等式即 ，求解绝对值不等式可得不等式的解集为 ；(2)结合函数的解析式零点分段有 ，则 ，即 ，结合均值不等式的结论可得 的最小值是 4.试题解析：(1)当 时， ，即 ， 的解集为 ；(2)当 ， 时， ， ，根据图象当 时， ，即 ， ， .
