1、3.5 微 分,一、微分的定义,二、微分的几何意义,三、微分法则,四、微分在近似计算中的应用,一、微分的定义,2xDx,设有一个边长为 x 的正方形 其面积为S 显然 S x2 如果边长 x 取得一个改变量 x 则面积 S 也取得改变量 S(xx)2(x)22xx(x)2,当x0时 (x)2是比x高阶的无穷小量 即(x)2o(x) 2xx是x的线性函数 当x很小时 可以用2xx近似地代替S 其误差S2xx是一个比x高阶的无穷小量 我们把2xx叫作正方形面积S的微分 记作 dS 2xx,定义33(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量x 如果函数 y f (x) 的相应改变量 y 可以表示为
2、y A x o (x) (x0) 其中A与x无关 则称函数 y f (x)在点 x处可微 并称 A x为函数 y f (x)在点 x 处的微分 记作 d y或 d f(x) 即 dy d f (x) A x,微分是自变量的改变量x的线性函数 通常称为函数改变量y的线性主部 当x0时 微分与函数的改变量y的差是一个比x高阶的无穷小量o (x),说明,函数可微的条件函数 f (x) 在点x处可微的充分必要条件是函数 f (x) 在点 x 处可导 且当函数 f (x) 在点 x 处可微时 其微分一定是 dy f (x) x,简要证明,一方面,另一方面,自变量的微分 如果将自变量x当作自已的函数 y
3、x 则得 dy x x x 因此 dx x,即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之乘积,dy f (x) dx,于是函数 y f (x) 的微分又可记作,函数可微的条件函数 f (x)在点 x 处可微的充分必要条件是函数 f (x)在点x处可导 且当函数 f (x) 在点 x 处可微时 其微分一定是 dy f (x) x,解,例1 求函数 y x 2当 x 由1改变到101时的微分,函数的微分为,dy(x2)dx,当 x1 dx 001时,dy 21001002,2xdx,例2 求函数 y ln x 的微分,二、微分的几何意义,在曲线 y f (x)上取一点 M (x y) 过M点作曲线的
4、切线 则此切线的斜率为 f (x) tan ,易知MN x NM1y 且 NT MN tan f (x) x dy 因此 函数 y f (x) 的微分 dy 就是过点 M (x y) 的切线的纵坐标的改变量,图中线段TM1是 y 与 dy 之差 它是 x 的高阶 无穷小量,相应于自变量的改变量x 有曲线上另外一点M1(x x y y),三、微分法则,1 基本初等函数的微分公式,导数公式,微分公式,2 函数和、差、积、商的微分法则,公式d (u v) v du u dv 的证明 因为 d (uv) (uv uv) dx uv dx uv dx 而 udx du vdx dv 所以 d(uv) v
5、du udv,复合函数的微分法则设 y f (u) 及 u (x) 都可导 则复合函数 y f (x)的微分为 dy f (u) du 或 dy yu du,所以 复合函数 y f (x) 的微分公式也可以写成,dy yx dx,证,而,(x) dx du, f (u) (x) dx,dy f (u) du 或 dy yu du,微分形式不变性 由复合函数的微分法则可见 无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数 微分形式 dy f (u) du 保持不变 这一性质称为微分形式不变性 这性质表示 当变换自变量时 微分形式 dy f (u) du并不改变,解,利用 dy y dx得,解,例4 y
6、 sin(2x1) 求 dy,把 2x1 看成中间变量u 则,dy d (sin u),cos(2x1)2dx, cos(2x1)d(2x1), cos u du,2cos(2x1)dx,四、微分在近似计算中的应用,如果函数 y f (x) 在点 x 处导数 f (x)0 那么当 x0时 函数微分dy为函数改变量y的线性主部 因此 当|x|很小时 忽略高阶无穷小量 可用 dy 作为 y 的近似值 即y dy f (x) x 因为 y f (x x) f (x) 所以 f (x x) f (x) f (x) x 也就是 f (x x) f (x) f (x) x,近似公式,y f (x x) f (x) dy f (x) x,f (x x) f (x) f (x) x,近似公式,解,试求球壳体积的近似值,半径为r的球体积为,球壳体积为V 用dV作为其近似值,所求球壳体积|V|的近似值|dV|为1963立方厘米,y f (x x) f (x) dy f (x) x,f (x x) f (x) f (x) x,近似公式,解,值的近似值问题,令x1 x002 便有,
