1、一、函数的和、差、积、商的求导法则,二、反函数的导数,三、基本初等函数的导数,四、复合函数的导数,3.3 导数的基本公式与运算法则,五、隐函数的导数,六、取对数求导法,八、综合举例,七、由参数方程所确定的函数的导数,一、函数的和、差、积、商的求导法则,如果 u (x)、v (x) 都是 x 的可导函数 则它们的和、差、积、商(分母不为零时)也是 x 的可导函数 并且,u (x) v (x) u (x) v (x),u (x) v (x) u (x) v (x) u (x) v (x),特别地 c u (x) cu (x),公式的推广,(u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u
2、2 unu1u2 un u1u2 un,二、反函数的导数,设函数 y f (x)在点 x 处有不等于0的导数 f (x) 并且其反函数 x f 1(y) 在相应点处连续 则f 1(y)存在 并且,简要证明,这是因为,三、基本初等函数的导数,1 常数的导数,(c)0,这是因为,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,这是因为,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,利用商的导数公式 可以证明幂函数 y xn 当n为负整数时 也有公式 y nxn1 实际上 当n为负整数时 m n 为正整数 于是由,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,解,例1 求函数 y x35的
3、导数,y (x35),3x2,3x20, (x3)(5),解,24x33x24x,例2 求函数 y (12x) (3x32x2) 的导数,y(12x)(3x32x2)(12x)(3x32x2),2(3x32x2)(12x)(9x24x),1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn) nxn1,解,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn) nxn1,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,解,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 指数函数的导数,(ax) ax ln a,(ex) ex,这是因为,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax) ax ln a,(ex)ex,4 对数函数
4、的导数,这是因为,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函数的导数,(sin x) cos x,这是因为,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax) ax ln a,(ex) ex,5 (sinx) cosx (cosx) sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x) sec xtan x (csc x)csc xcot x,解,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,6 反三角函数的导数,这是因为 函数 y arcsinx与 x sin y互为反函数 所以由反函数的求导公式得,
5、5 (sinx) cosx (cosx) sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x) sec xtan x (csc x) csc xcot x,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax) ax ln a,(ex) ex,5 (sinx) cosx (cosx) sinx (tanx) sec2x (cotx)csc2x,(sec x) sec xtan x (csc x) csc xcot x,四、复合函数的导数,设u (x)在点 x 处可导 y f (u)在对应点u处可导 则复合函数 y f (x)的导数为,简要证明,四、复合函数的导数,复合函数求导公式
6、的推广,设 y f (u) u (v) v (x) 则复合函数 y f (x)对 x 的导数是,解,y(u30)u(12x)x,例6 求函数y (12x)30的导数,设y u30 u12x,60(12x)29,60u29,30u292,则由复合函数求导公式得,解,y (cos u)u(nx)x,例8 求函数y cos nx 的导数,设 y cos u u n x 则, n sin nx, sin un,解,设 y ln u u sin x 则,例7 求函数 y ln sin x的导数,解,解,解,解,例12 求函数 y arcsin(3x2) 的导数,解,解,y (ax),例14 求函数 y
7、ax 的导数, ax ln a, ax ln a (x),五、隐函数的导数,设方程 P (x, y) 0确定 y 是 x 的函数 并且可导 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数 y 对 x 的导数,解,例16 求由方程 y2 2px 所确定的隐函数 y f (x)的导数,将方程两边同时对x求导 得,2yy2p,解出y即得,解,将方程两边同时对x求导 得,例17 求由方程 y x ln y所确定的隐函数 y f (x)的导数,解出y即得,解,例18 由方程 x2 xy y2 4 确定 y 是 x 的函数 求其曲线上点 (2, 2) 处的切线方程,将方程两边同时对x求导 得,2x y xy 2
8、yy0,解出y即得,所求切线的斜率为ky|x2,y2 1 于是所求切线为y(2) 1(x2) 即y x4,解,例19 求由方程 e y x y 所确定的隐函数 y 的导数,将方程两边同时对x求导 得,e y y y x y,解出 y 得,六、取对数求导法,将函数 y f (x)两边取对数 化成隐函数求导数 这种方法称之为 “取对数求导法”,解,例20 求函数 y xx 的导数,将y xx 两边取对数,ln y x ln x,两边对x求导数 得,于是得 y y (ln x1) xx(ln x1),幂指函数也可以按下法求导,yexln x (x ln x),y xx exln x,xx(ln x1
9、),exln x(ln x1),解,先在两边取对数 得,上式两边对x求导 得,七、由参数方程所确定的函数的导数,设 x (t)有连续反函数 t 1(x) 又(t)与(t)存在 且(t)0 y与x构成复合函数 y (t) 1(x) 利用反函数与复合函数的求导法则 有,七、综合举例,解,3xln33x20exln x(xln x) 3xln33x2xx(ln x1),例24 y3xx333xx 求y,y(3x)(x 3)(33)(xx),解,当x0时,当0x1时,f (x)1,f (x)2,在x0处f(x)不连续 故f (0) 不存在 在x1处 有,故 f (1)2,当x1时,f (x)2x,例26 已知 f (u)可导 求f (ln x) f (x a)n及f (x a)n,f (xa)n,f (xa)nn(xa)n1(xa),n(xa)n1f (xa)n,f (xa)n(xa)n,f (xa)n,nf (xa)n1f (xa),nf (xa)n1f (xa)(xa),nf (xa)n1f (xa),证,求证 y (a) y(a),所以 y(a) y(a),例29 设球半径R以2厘米/秒的速度等速增加 求当球半径R10厘米时 其体积V增加的速度,答 当R10厘米时 体积V的增加速度为800(厘米)3/秒,
