1、一、函数改变量,三、函数的间断点,2.8 函数的连续性,五、在闭区间上连续函数的性质,四、连续函数的运算法则,六、利用函数连续性求函数极限,二、连续函数的概念,一、函数改变量,定义211(函数的改变量)设变量t从它的初值t1改变到终值t2 终值与初值之差t2t1称为变量t的改变量 记作tt2t1 设有函数yf(x) 当自变量x从x0改变到x0x时 函数y相 应的改变量为,yf(x0x)f(x0),定义211(函数的改变量)设变量t从它的初值t1改变到终值t2 终值与初值之差t2t1 称为变量t的改变量 记作tt2t1 设有函数yf(x) 当自变量x从x0改变到x0x时 函数y相应的改变量为,一
2、、函数改变量,例如 正方形的边长x产生一个 x的改变量,y(xx)2x2,2xx(x)2,yf(x0x)f(x0),当边长由2m改变到2.05m,面积改变量为,当边长由2m改变到1.95m,面积改变量为,面积的改变量为,二、连续函数的概念,定义212(函数在一点的连续性),设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 如果当自变量x 在点x0处取得的改变量x趋于0时 函数相应的改变量y也趋 于0 即,则称函数yf(x)在点x0处连续,即,即,二、连续函数的概念,定义212(函数在一点的连续性),设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 如果,则称函数yf(x)在点x0处连续,解,例1 证明函数
3、yx2在给定点x0处连续,当x从x0处产生一个改变量x时 函数yx2的相应改变 量为,y(x0x)2x022x0x(x)2,所以yx2在给定点x0处连续,二、连续函数的概念,定义212(函数在一点的连续性),设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 如果,则称函数yf(x)在点x0处连续,y f (x0x)f (x0)f (x)f (x0),因为,所以,二、连续函数的概念,定义212(函数在一点的连续性),设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 如果,则称函数yf(x)在点x0处连续,定义213(连续性的等价定义),设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 如果,则称函数yf(x)在点
4、x0处连续,例1已证y=x2在x0连续,故有,例2,证,定义214(函数在闭区间上的连续性) 如果函数f(x)在区间a, b上每一点都连续 则称f(x)在a, b 上连续 并称a, b是f(x)的连续区间,说明,证,例3 证明ysin x在(, )内连续,设x0是(, )内任意一点 则有,可见 当x0时 y是有界变量与无穷小量的积 也是无穷小 量 即,所以ysin x在点x0处连续 又因x0是(, )内任意一点 所以 ysin x在(, )内连续,定义214(函数在闭区间上的连续性) 如果函数f(x)在区间a, b上每一点都连续 则称f(x)在a, b上连续 并称a, b是f(x)的连续区间,
5、类似可证y=cosx在(, )内连续,连续函数在求极限中的作用,求连续函数在某点的极限 只须求出函数在该点的函数 值即可,即:对于连续函数 极限符号与函数符号可以交换,如果函数在一点x0处连续 则,例如 因为yx2在点x0处连续 故有,又如 因为ysin x在任意一点连续 所以有,三、函数的间断点,定义215(函数的间断点) 如果函数f(x)在点x0处不满足连续条件 则称函数f(x)在点x0处不连续 或者称函数f(x)在点x0处间断 点x0称为f(x)的间断点,间断点的确定如果函数f(x)在点x0处有下列三种情形之一 则点x0称为 f(x)的间断点 (1)在点x x 0处 f (x) 没有定义
6、,解,如果函数在间断点处的极限为无穷大 则称这种间断点为无穷间断点,4.,上例中,x=0即为函数y=1/x 的无穷间断点.,解,f(x)在点x0处有定义,f(x)在点x0处左右极限不相等,不存在,因此 f(x)在点x0处间断,但是,即极限,f(x)在点x0处的连续性,如果函数在间断点的左、右极限存在但不相等 我们称 这种间断点为跳跃间断点,5.,数f(x)在点x1处的连续性,解,f(x)在点x1处有定义 但,所以 f(x)在点x1处间断,f(1)1,如果函数在间断点的左、右极限存在并相等 只是不等 于该点的函数值 那么我们称这种间断点为可去间断点,6.,因为我们可以重新定义函数在该点的值,使得
7、函数在该点 连续.例如本例中可重新定义f(1)=2.,函数f(x)在点x0处没有定义 所以f(x)在点x0处间断,解,本例中的间断点x0称 为振荡间断点,定义216(间断点的类型) 如果函数f(x)在点xx0处的 左、右极限都存在 但不全等 于f(x0) 则称点x0为f(x)的第一类间断点 如果函数f(x)在点xx0 处的左右极限至少有一个不存在 则称点xx0为f(x)的第二类 间断点,7.,解,在x0处 f(x)无定义,所以点x0是f(x)的第二类间断点 且为无穷间断点,且,8.,在x1处 f(1)1,但,所以点x1是f(x)的第一类间断点 且为跳跃间断点,解,8.,在x2处 f(x)无定义
8、,所以点x2是f(x)的第一类间断点且为可去间断点 补充函数 在x2处的定义 即令f(2)4 则函数f(x)在x2处连续,解,8.,四、连续函数的运算法则,定理213,证,因为f(x)与g(x)在点x0处连续 所以有,因此 根据极限运算法则有,所以 f(x)g(x)在点x0处连续,其他情形可类似地证明,如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续 则函数,在点x0处也连续,四、连续函数的运算法则,定理213,如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续 则函数,在点x0处也连续,结论 可以证明基本初等函数在其定义域内都是连续函数 一切初等函数在其定义区间内都是连续的,利用此定理可证:,(1)多项式函数
9、 y=a0xn+a1xn-1+an-1x+an在R内连续;,(2)分式函数,在定义域内连续;,(3)已证函数y=sinx在R内连续,类似可证 y=cosx在R内连续;,从而函数 y=tanx, y=cotx在定义域内连续.,五、在闭区间上连续函数的性质,定理214(有界性定理)如果函数yf(x)在闭区间a, b上连续 则f(x)在这个区间 上有界,定理215(最大值与最小值定理) 如果函数yf(x)在闭区间a, b上连续 则它在这个区间上 一定有最大值与最小值,定理216(介值定理)如果函数yf(x)在闭区间a, b上连续 m与M分别为f(x)在 a, b上的最大值与最小值 则对介于m与M之间
10、的任一实数 c(即mcM) 至少存在一点(a, b) 使得f()c,推论 如果函数yf(x)在闭区间a, b上连续 且f(a)与f(b)异号则至少存在一点(a, b) 使得f()0,证,例9 利用介值定理证明方程x33x2x30在区间(2, 0)(0, 2) (2, 4)内各有一个实根,根据介值定理推论可知存在1(2, 0) 2(0, 2) 3(2, 4),设f(x) x33x2x3 可计算出,f(2)=150 f(0)=30 f(2)=90 f(4)=150,由于三次方程只能有三个根 所以在各区间内只存在一 个实根,这表明1 2 3为给定方程的实根,使f(1)0 f(2)0 f(3)0,六、
11、利用函数连续性求函数极限,sin(x24)lg(x8)为初等函数 在x2处连续 所以,解,sin0lg101,10.,11,求出初等函数的极限.,即极限号与函数号可交换顺序:,所以可以得出 ln(1x)x (x0),令ex1y 即xln(1y),解,当x0时 y0,于是,所以可以得出 ex1x (x0),12.,13.,ex1x (x0),ln(1x)x (x0),下面证明几个等价无穷小,即,例14,证,常用的等价无穷小量,例15 证明当x0时 sinsin xln(1x),证,因为sin xx (x0) 故有,sinsin xsin x (x0),又 ln(1x)x (x0),因此有 sinsin xln(1x) (x0),作业: p.94 (口头作业) 30;(笔头作业) 31; 34(1); 37(1)(3); 38; 41,arctan xx (x0),tan xx (x0),sin xx (x0),ex1x (x0),ln(1x)x (x0),arcsin xx (x0),
