1、,引 言 高等数学 第1章 极限与连续 第2章 导数与微分、中值定理 第3章 定、不定积分 第4章 定积分的应用,复习要点,主要内容,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,多元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,函数,函 数 的定义,反函数,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数的 性 质有界性 单调性 奇偶性 周期性,双曲函数与反双曲函数,（二）函数,四则运算,结构框架,1. 函数的概念,定义:,定义域,值域,图形:,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,其中,2、函数的性质,(1)
2、函数的有界性，,(2) 函数的单调性，,(3) 函数的奇偶性，,(4) 函数的周期性.,3、反函数,4、复合函数,熟练应用,5、基本初等函数,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,6、基本初等函数的：表达式、定义域、图形、简单性质,加强记忆,8、双曲函数与反双曲函数,7、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,了 解,例1：,x | x3 B. x | x-2 C. x |-2 x 1 D. x | x1,典型例题,B,例2:,解:,例3: 设函数,求,解:,例4：已知, 求,解:,例
3、5：设,求,解:,主要内容,（一）极限,（二）连续,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的运算,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,两者的 关系,无穷大,（一）极限,1、极限的定义,定义1,定义2,记为,左极限,右极限,单侧极限,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,2、无穷小与无穷大,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷
4、小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,定理3 有限个无穷小的乘积仍为无穷小.,无穷小的运算性质,定理,推论1,推论2,3、极限的性质,熟练应用,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；,f.利用极限存在的两个准则求极限；g.利用两个重要极限求极限；h.利用等价无穷小代换求极限；i.利用初等函数的连续性求极限.,学以致用,5、判定极限存在的准则,准则 单调有界数列必有极限,(1),(2),
5、6、两个重要极限,重点知识,定义:,7、无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),8、等价无穷小的性质,9、极限的性质,1.唯一性; 2.有界性; 3.保号性; 4.夹逼性; 5.函数极限与数列极限的关系.(数列极限与子列极限的关系）,10、利用等价无穷小量代换求极限,利用等价无穷小量代换定理，可以简化极限的计算。在计算中，常用到下列几组等价无穷小量：当 x 0 时，,左右连续,在区间a,b 上连续,闭区间上连续 函数的性质,初等函数的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算性质,（二）连续,1、连续的定义,定义1,则称函数y =f (x)在点x0连续.,定义2,
6、则称函数y =f (x)在点x0连续.,3、连续的充要条件,2、单侧连续,定理,4、间断点的定义,5、间断点的分类,第一类间断点,第二类间断点,间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,6、闭区间的连续性,7、连续函数的运算性质,定理1,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理3,8、初等函数的连续性,定理4,定理1 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,加强理解,9、闭区间上连续函数的性质,定理1(最值定理) 如果函数在闭区间a，b上连续，则函数在a，b必取得最大值与最小值.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函
7、数一定在该区间上有界.,求,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,例1：,解：,将分子、分母同乘以因子(1-x), 则,典型例题,例2：,解:,例3：,解:,例4：,解,主要内容,（一）导数和微分的概念,（二）导数和微分的求法,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,本章要点,1、导数的定义,定义,2.右导数:,1.左导数:,单侧导数,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,加强记忆,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,加强记忆,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对
8、数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,熟练掌握,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6) 参变量函数的求导法则,了 解,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),5、微分的定义,定义,(微分的实质),6、导数与微分的关系,定理,7、 微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,基本初等函数的微分公式,加强记忆,函数和、差、积、商的微分法则,8、 微分的基本法则,微分形式的不变性,例1：设,存在,求,解:,原式=,典型例题,例2：,解：,例3:,解,例4:设,在,处连续,且,求,解:,设,解:,又
9、,例5:,处的连续性及可导性.,主要内容,（一）微分中值定理及其应用,（二）导数的应用,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,主要内容,1、罗尔中值定理,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式.,3、柯西中值定理,推论,了 解,4、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,注意：洛必达法则的使用条件.,重点知识,6、导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定法,重点知识,定义,(2) 函数的极值及其求法,重点知识,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值
10、统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,（教材P100）,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),（教材P101-102）,加强理解,求极值的步骤:,掌握方法,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值问题,掌握方法,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,(4) 曲线的凹凸与拐点,定义,定理1
11、,方法1:,方法2:,判断曲线拐点的方法,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,(5) 函数图形的描绘,熟练应用,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,（6）导数在经济学中的应用,1、边际函数 边际成本 C(x)、边际收益 R(x)边际成本 L(x)= R(x) C(x),2、弹性函数 弹性、 需求弹性,3、需求弹性与收益,重点掌握,例1：求,解:,注意到,原式,典型例题,例2: 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,解:,原式,例
12、3:,证明:,令,则,从而,即,例4：,解:,例5：求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,例6： 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),例7：设某厂生产某种商品的固定成本为200（百万），每生产一个单位产品，成本增加5（百万），已知需求函数q=1002p（其中p为价格，q为产量），问产量多少时利润最大？并求最大利润.,解:,利润最大，此利润为,主要内容,（一）求不定积分的基本方法,（二）几种特殊类型的积分,预备知识,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算
13、法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),1、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),常用的几种配元形式:,万能凑幂法,2、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,则有换元公式,3、分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,二、几种特殊类型的积分,1. 一
14、般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,例如 ,基本积分表,从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,( k 为常数),或,或,加强记忆,了解知识,不定积分的性质：,推论: 若,则,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,令,(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,2. 常用基本积分公式的补充,教材P133,例1： 求,解:,令,则,想到公式,典型例题,例2：求,解:,原式,解: 原式,例3： 求,例4： 求,解:,例5：若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,例6： 求,解:,本学期数学辅导到此结束！,祝大家：,在期末考试中取得优异成绩！,
