1、1高等数学 A 上册资料第一、二章 函数、极限与连续第三章 导数与微分第四章 微分中值定理与导数应用第五章 不定积分第六章 定积分第七章 无穷级数第一、二章 函数、极限与连续第一讲 函数教学目的和要求：深刻理解一元函数的概念，熟悉函数的几种特性、运算，能熟练作出基本初等函数的图形。知识点：一元函数的定义、函数的特性、函数的运算、基本初等函数、分段函数。重点：一元函数的定义（着重要强调自变量与因变量之间的单值对应关系） ，函数的几种特性，基本初等函数。难点：复合函数、反函数、分段函数教学方式：多媒体，讲授教学思路：本讲实际上是复习中学有关一元函数的内容，通过这一次课，让学生对一元函数 y = f
2、(x)有一个统一、准确的认识，尤其要深刻理解其中 x 与 y 之间的单值对应关系，熟悉函数的特性、运算、图形、强调对分段函数的讲解，为以后讲函数的连续、求导做准备。教学过程：一、函数的概念定义 1 设 A、B 是两个实数集，称映射 f: AB 为一元函数，简称函数，记作:|(),fxyx其中 x 称为自变量，y 称为因变量，f (x)表示函数 f 在 x 处的函数值， A 为 f 的定义域，2记作 D(f)、f(A)=y | y = f(x)、x A 称为 f 的值域，记作 R（f） 。注意：函数的两个基本要素：定义域和对应法则，x 与 y 之间必须是单值对应关系。函数常用的表示方法：列表法、
3、图示法、公式法。例 1 求函数 的定义域。214yx解：必须满足条件：即 得 201x|1x2x函数的定义域为：（1,2） 。例 2 求函数 的定义域。267arcsin1yx解：x 必须满足条件20 1,12 xx由 ，解之得267(32)0xx1(,),)32由，当 ，即 时，变为 ，无解。1x0(xx当 ，即 时，变为 ，解之得：1)1,3 函数的定义域为： ,3x分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式来表示对应法则的函数。例 3 符号函数 1 0sgn= (5xxf fe f求解：略通过分段函数的学习，进一步理解函数的概念，扩大学生认识函数的范围，为以后讲解函数的连续性创造条件。
4、二、函数的图形定义 2 称集合 为函数 f 的图形，记为 G(f)。函数 f 的图形(,)|(),()xyfxDf是坐标平面上一些特定点（x,y）的集合。注意：与 x 轴垂直的直线与函数曲线最多只能有一个交点。三、函数的几种特性1函数的有界性设函数 的定义域为 D，数集 ，如果存在正数 M，使对于任意 都()yfxXxX有 |()|fx则称函数 在集 X 上有界，否则称 在 X 上无界。()yfx2函数的单调性设函数 的定义域为 D，区间 ，若对于任意的 ，当 时，()yfxI12, xI12x有 ，或 ，则分别称 是区间 I 上的单调增加函数或单调减12()fx12()fx()fx少函数。单
5、调增加或单调减少的函数统称为单调函数。3函数的奇偶性设函数 的定义域 D 关于原点对称，如果对于任意 ，都有()yfx xD，则称 为奇函数；如果对于任意 都有 ，则称()fxf ()(ffx为偶函数。奇函数的图形关于原点对称，因为 也在图形上。(,)xf4同理可以说明偶函数的图形关于 轴对称。y4函数的周期性设函数 的定义域为 D，如果存在一个不为零的数 T，使得对于任意 ，()yfx xD有 ，且()xTD()(fxTf则称 为周期函数，T 称为周期。()f若 T 是 的周期，则 也是 的周期，周期中的最小正值称为最小正x()nN()fx周期，通常周期均指最小正周期，如 ， 。siny2T
6、例 8 证明下列函数在所示区间内有界1） ()lg/fx1, 22） , +)证明 1）只要证明 在 上是单调的，则有界。lg()xf1, 2设 ，则21x121212lglgl()xxxff 而 ，有12lg,0x212ll于是 1212()g()xff由于 2120,l0x所以 1212()g()xff即 在 上是单调的或 因而有界。lg()fx, |()|2lgfx2）因 ，则10设 ，则 ，故 。,)xxlg1x所以 或 有界0(1f|()| () ,)(fmfx5例 9 讨论函数 的奇偶性。2()ln1)fxx解：函数 的定义域 ,因 221()ln(1)ln()fxxx2l()()
7、f所以， 是 上的奇函数。()fx,例 10 试证 是奇函数23 0() xxf 证明： 设 ，则 ，由于,0)x(0,x()23fx(23,)()f ffx设 ，则 ，由于0,)x,0)x()23fx(23)()f ffx又 ，于是对于任何 ，都有 ，从而 是奇函数。(0)f,x()fx例 11 函数 是否为周期函数，如果是确定其最小正周期。()fx解：对任何 x，存在整数 n，使 ，1,xn则 。()(fTfTTx当 T 为整数时，由于 ，x故 ，于是有xn()(0 ()fTfTZ是周期函数，最小正周期为 1。()f四、函数的运算1函数的四则运算设 f, g 是定义域分别为 的函数，定义
8、f, g 的和、差、积、商如下：(),Dfg() ()xxDf6()() ()fgxfgxDfg且 ()()0x特别地 ， 称为 f 与 的数。(),fxfxDfR2复合函数定义 3 设有两个函数 和 ，如果函数 将集合 映入 ，()u()yfu()uxD()函数 将集合 映入 ，若 ，则得到了一个从 到 的一()yfuff ff个新的函数，也称为由函数 和 复合而成的复合函数，记作 ，()ux()yfu()yx称为中间变量。例 12 设 ， ，求复合函数 。ux()sinf ()fx解：由于 可构成复合函数(0,(,)fD，反之可否构成 ， 不()sin, ,)fxx(fx(,)0,)fD可
9、定义 4 设函数 的定义域为 D，值域为 f(D)，则对于任一 ，必有唯()yf 0()yfD一的 使 ，从而确定了一个新的函数，这个函数称为函数 的反函0xD0()fx x数，记作 1()xfy它的定义域是 f(D)，值域是 D。注意： 是单值对应的，但其反对应关系不一定是单值的，从而不一定能构成yx单值函数。如： ，函数 与 的定义域2,(,)sin,(,)yx()yfx1()fy与值域是互换的，因而在 xoy 面上图形相同，习惯上用 表示 的反函数，1x若点 P（ a, b）在 的图形上，则 Q（b, a）就在其反函数 的图形上，反()yfx 1()yf之亦然。而 P（a, b）与 Q（
10、b, a）是关于直线 y=x 对称的，从而 y = f(x)与其反函数的图形是关于直线 y=x 对称的。1()yfx五、基本初等函数常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数统称为基本初7等函数。1见教材即可注意：对这些函数的定义式、定义域、值域、图形及相关的性质要了如指掌。六、初等函数定义 5 由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。注意：一般地、分段函数不是初等函数 但： 是初等函数2 0| xyx我们所讨论的函数一般都是初等函数，如：， 等2 sin3, ln(si2), xarcyxyxyelnxxye双曲函
11、数：见教材反双曲函数：见教材小结：抽象地讲，一元函数 就是讨论两个变量 x 与 y 之间的一种动态关系，()yfx不过要求 x 与 y 的对应关系是单值的，与其相关的有界性、单调性、奇偶性、周期性都会在这一动态过程中得到体现。推而广之，世界上的万事万物如果可以量化的话，不都可看成以时间为自变量的函数吗？因为它们都是随时间的变化而变化的。第二讲 极限（一）教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解 x 无限增大时函数极限的定义。知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x 无限增大时函数极限的定义。重点：两个定义及数列极限的性质难点：x 无限增大时函数极限的定义教学方式：
12、多媒体，讲授教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义，着重解释如何用精确的数学语言来表达对“无限增大” ， “无限接近”这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到 x 无限增大时函数的极限教学过程：一、数列极限的概念以自然数为自变量的函数 的函数值按自然数的顺序排列起来，就构成一个数()nxf列。，简记为 ，x n 为通项。12,nx 例如 1） :,3, 82） 11:,3nn 3） 2,4 4）1 1()():,3n n 5） 11,nn 将这些数列的若干项表示在数轴上，当 时，观察它们的变化规律，会发现无限增大， 无限接近于 0， 、 无限接近于 1， 变化趋nn1n1()n
13、1()n势不确定。12 n3 14 ()n如果当 n 无限增大时，x n 无限接近某个确定的常数 a，则称x n以 a 为极限，或称x n收敛于 a，记为： 11()lim0,li1,limnnn以（3）为例，当 时， 的各项无限接近于 1，也就是说，随着 n 的增大，数列各项 与 1 之差的绝对值 （即点 与 1 的距离）就可以越来越小，任n1nn意小，要多小有多小，可以小于任意给定的正数 。就是说，对于任意给定的正数 ，不论它有多么小，只要 n 足够大，都可以使 ，换句话说，只要存在正整数 N，1n对于 nN 的所有项都满足不等式 就行了。如：取 ，要使 ，即 ，得 ，取 N=100，当
14、nN0.110.n1|0.n10n时，就一定有 。也就是说该数列从第 101 项开始，后面所有的各项与 1 的.n距离都小于 0.01。再取 0.1, 9定义 1 设有数列 ，若存在一个常数 a，对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，nx 总存在正整数 N，使得当 nN 时，有 成立，则称数列 存在极限，并称 a 为|nxnx的极限记作 或 。nxlimnxa()此时，也称数列 收敛于 a，或 为收敛数列，否则称数列为发散数列。nx上述定义用逻辑符号表述为： ，使得当 nN 时，恒有 ，则0,N|nxa称 a 为数列 的极限。nx注意：定义中，正数 是任意给定的可以充分小，它刻画了 xn 接
15、近于 a 的程度，正整数 N 与 有关，用 nN 刻画 n 足够大，它是保证 成立的条件，对于一个给定的 |nxa，N 不是唯一的。0以 a 为极限的几何意义：对于数轴上的点 a 的任意给定的 邻域 ，nx (,)a总存在自然数 N，使得点列 从第 N+1 项起所有的点： ，都落在nx12,Nnx之内，而在此邻域之外至多只有 的有限项 ，因此可知，数列(,)anx,的收敛性与它的前有限项无关。例 1 用数列极限的定义证明：1()limn证明：分析 利用 N 定义证明 关键是对 ，视 n 为未知数，通过nxa0不易解出 n，可设法将 适当放大为 ，然后由 ，解|nxa|n|()n()出 ，再取
16、，因 ，要使 ，即要()g()g1()|nxa|nxa或 ，所以，对 ，取 ，则当 nN 时，有：1n0N1()n 。1()limnn例 2 用数列极限的定义证明， 31lim2n证明：因 ，而 。315|2()()nxan 52(1)n10所以，要使 ，只要 ，即 ，于是，对 ，取312n5n505N当 nN 时，恒有 成立。1n 。3lim2n例 3 用“ ”语言证明：N21limna证明：因 2|nxa22()nan而 2222,()4na于是 ，要使 ，只要 ，即 22()an21na24an|2an所以，对 ，取 ，当 nN 时，恒有 成立。0|2aN21na 21limn例 4 用
17、“ ”语言证明：Nlim0 (|1)nq证明：当 时，结论显然成立。0q现设 ，因 ，要使 ，取对数得：|1|0|nnnxaq|nqlg|lnq即 （不妨设 ） 。lg|nq0所以， ，取 ，当 nN 时，恒有 。 。lg|Nq|0|nqlim0nq二、数列极限的性质定理 1 （极限的唯一性） ，收敛数列的极限是唯一的11证明： 用反证法，如果 ，且 a N2 时limnxb有 1|()nxba取 ，当 n N 时，上两不等式都成立12a,N于是有 。|nbxa1|()()2nabba矛盾，假设不成立，定理成立。设数列x n，若 ，使得当 恒有 ，则称x n有上界 L。类似可定义 xn有0Ln
18、NnL下界。若x n既有上界，也有下界，则称x n是有界的，否则称 xn无界。定理 2 （收敛数列的有界性） ，如果数列收敛，则数列必有界。证明：设 ，则对于 ，存在正整数 N，当 nN 时，limna1有 ，从而|1x|1|nnxaxa取 ，当 时都有 12ma|,|,|1| nN|nxm 数列x n有界。注意：有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件，也就是说有界数列不一定收敛，如数列 ，有界但不收敛，若数列x n无界，必发散，如数列 无界，因而1() sin发散。子数列的概念：在数列x n中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列x n中的先后次序，这样得到的数列称为原数列x n的子数列（子
19、列） 。如x n中取出 。12,() knx定理 3 （收敛数列与子数列间的关系） ，如果数列 xn收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 a。证明：设数列 是数列x n的任一子数列，kn由于 ，均对于 ， ，当 nN 时limn012恒有 成立。|nxa取 K=N，则当 时，RRKNn于是 成立|knxa 。limk注意：如果子数列 收敛，但原数列x n不一定收敛，如kn 1()n思考题：猎狗的奔跑速度为 10m/s，兔子的奔跑速度为 5m/s，猎狗沿直线追赶兔子，兔子提前一秒钟开始跑，如图，当兔子跑到 B 点时，狗追到 A 点，当兔子跑到 C 点时，猎狗追到 B 点，这样追下去，
20、似乎猎狗永远也追不到兔子，为何？三、自变量 x 无限增大时函数的极限x 无限增大包括三种情况： 。,xx如果在 的过程中，函数值 无限地接近于确定的常数 A，则 A 就叫做函数()f当 时的极限。()f定义 2 设 f: 是一函数，其中 ，若()DR(),)(,)Df,0R存在常数 ，满足关系：A，使得当 时，恒有 。0,X|xX|fxA那么称 A 是 f(x)当 时的极限，记作或lim()xf()f这时，我们说，当 时，f(x)极限存在。当 时，定义中的 改为 就可得 的定义x|Xlim()xfA当 时，定义中 改为 就可得 的定义|xxx定义的几何意义：对 ，总能在 x 轴上找到一点 X，
21、使得函数的图形0在直线 右边的部分与直线 左(),)|(),)(,)GfxyfxX边的部分位于平面带形 内,)(,)XAA定理 4 lim()li()limxxxfff证明：必要性 设 ，由定义可知：x对于 ，当 时， ，即当 或 时0,X|()|fxA(0)xXxX |()|fxAlimlixx13充分性，设 lim()li()xxfAf对于 ，当 时，110,X11|fA对于 ，当 时，22,2x2|()|x取 ，当 时11min,a,X|恒有 成立|()|fxA 。lix例 5 31lim2x证明：因 12|2|xx要使 ，只要 ，即 |()|fxA|11|24x于是对于 ，取 ，当 时
22、，就有 成立0124X|xX31x 3lim2x小结：数列的极限实际上是一元函数当自变量无限增大时极限的一种特殊情形，数列极限是自变量 n“离散地”取正整数无限增大时，函数值 的变化趋势。而一元函()nfx数当自变量无限增大时的极限是自变量 x“连续地”取实数无限增大时，函数值的变化趋势，一个是“离散变量” ，一个是“连续变量” 。()fxy第三讲 极限（二）教学目的和要求：深刻理解函数极限的定义，掌握用定义证明函数极限的方法、熟悉函数极限的性质。知识点： 定义，函数极限的性质重点： 定义难点： 定义，用定义证明函数的极限教学方式：多媒体，讲授教学思路：利用函数极限的几何意义，详细、形象、深刻
23、地讲解 定义，适当地增14加用定义证明函数极限的例题，让学生熟练地掌握用定义证明极限的方法。教学过程：一、自变量趋于有限值时函数的极限x 趋于 有三种情况：x 从 的右侧趋于 ，即为 ；x 从左侧趋于 x0，记为00x0x0；x 从左、右趋于 x0，记作 。如果在 的过程中，对应的函数值 无限接近于确定的数值 A，那么 A 叫做0 )(xf函数 当 时的极限。)(xf在 的过程中， 无限接近于 A，就是 能任意小，要多小有多小，0)(xf |)(|xf可小于任意给定的正数 ，即 ，而 无限接近 A 是在 的过程中| 0x实现的，所以对于任意给定的正数 ，只要充分接近于 的 x 所对应的函数 满
24、足不0 )(f等式 即可。而充分接近 的 x 可表示为 ，其中 是某个正|)(|Axf 0 |0数。适合不等式 的全体 x，就是 的去心 邻域 ， 则体现了 x|00x0(,)Ux与 的接近程度。0x定义 1 设 ： 是一函数，若存在一个常 ，满足关系：f0()UxRRA， ，使得当 时，恒有 |0x|)(|xf则称 A 是 当 时的极限，记作)(xf0或Axf)(lim0 )()0xxf此时，也称当 时， 存在极限。x注意： 在 时的极限只与 在 的去心邻域 的值有关，与)(f0)(xf00()Ux在 处是否有定义或 在 处的值的大小无关。因为极限是考虑 时，函)(xf0)(xf0 0x数的
25、变化趋势，与 在 处的状态无关。f0几何意义：对于任意给定的 ，总能找到一个 ，使得函数 f 的图形00(),)() ()GfxyfxUx在宽为 2 的竖直带形内的部分全落在长方形 内. ),(),(0Ax15例 1 证明 （C 为常数）x0lim证明：因 ，对于 ，可任取一正数 （此处 与 无关）0)(Af 0，当 时，能使不等式 成立。|00 )(CAxf Cx0lim 例 2 证明 00lixx证明：因 要使)(Af0)(xxf对于 ，取 ，当 时，就有不等式 |0成立0)(xxf 0lim xx例 3 证明 。42li0x证明：因 ，要使 ，即要2)(xAf Axf)(2x对于 ，即
26、，当 时，就有不等式 成00 42立。42lim 0x分析：用 定义验证 的关键是对于任给 ，在不等式0lim()xfA0中视 为未知数，从 中解出 ，取 即()fxA0fx0()xg()g可。如从不等式 中不易解出 可设法将 适当放大为()fxA0()gfA，再从 中解出 ，再取 即可。()fx()x()g例 4 证明：当 时， 。0x00limx证明：因 00 01()xfAx要使 只要 或 ，且 ，而 可用()fx01x00x得证。0x16对于 ，即 ，当 时，不等式：00min,x|0x成立，x0 lx例 5 证明 21li4x证明：因 ，而 ，可限定 ，则22()4xfA21x，于是
27、得到放大的不等式23x2()41xfA要使 ，只要 ，即 ，于是对于 ，取()fxA21x0，当 时，就有 成立，min1,2|00 214x。21 li4x例 6 证明 1li32x证明：因 ，而 ，可限定 ，即51()()3xxfA1(1)x，则 ，于是得到放大的不等式：20x3151()23xfA要使 ，只要 ，即 。()fxA5x于是对于 ，取 ，当 时0min1, 0|(1)|x就有 ， 。213x12 li3x例 7 证明 。21lix证明：因 ，而 ，可限定 ，221(1)2xx1x103x17则 ， （因 ）43x132015123x于是得到放大的不等式 2 110xxx要使
28、，只要 ，即 ，于是对于 ，取()fxA00，当 时，就有 成立， 。10min, 31x21x21 limx类似可以定义 ， 时函数的极限：00设函数 ： 常数） ，若存在数 ，满足关系：f(,)(xRAR，使得当 时恒有 0, 0,)x()fx则称 A 为 当 的左极限，记作()fx或00)lim()xffA0()fxx同样可定义 当 的右极限，记作f0x或0()li()xf 0()fxx定理 1 0 00lim)limxxxfAA注意： 时， 的极限为 A 的充要条件是 的左、右极限存在并且相等，(f ()fx如果左、右极限有一个不存在，或都存在但不相等，则 不存在。0lix例 8 设
29、， 证明 不存在。21()0xf1lim()xf证明：因为 11lim()li(2)3xxf11li()lixxf故 不存在。1 li()xxfxf思考题：18设 ， 是否存在？与 是否有关系？21()0xf1lim()xf(1)f在函数极限不存在的情况中，有一种比较特别：设 ： 是任一函数，若 ， ，使得f0()UxR0M当 时，恒有 | ()fx则称当 时， 的极限为无穷大，记作0x()fx或0limxf0()fxx类似地，有 和 等。0li()xf0x二、函数极限的性质：定理 2 若 存在，则极限唯一。0lim()xf证明：依照数列极限唯一性的证明方法。定理 3 （局部有界性）若 存在，
30、则 与 ，使得 都0li()xf0M0(,)xU有 。()fxM证明：设 ，由极限定义，对于 ，0lim()xfA10当 时，有,U()1fx从而， 。()()1fxfAM定理 4 （局部保界性）如果 ，且 （或 ） ，则 ，当0limxf0A0时，有 （或 ） 。0(,)xU()0fx()f证明：设 ，取正数 ，由 的定义，对于此 ， ，当AA0li()xfA0时，不等式 即 成立。0(,)x()f()fx故 。0fx类似可证明 的情形。A定理 5 （局部保序性）若 ，当 时， ，且00(,)xU()fxg19， ，那么 。0lim()xfA0li()xgBA证明：反证法，设 ，取1()2则
31、 ，当 时，有0(,)xU有 1()2fAB1()2fxBA有 矛盾。()gx)g小结：极限的作用就是描述因变量 y 随自变量 x 在一定的变化过程中的终极状态（或变化趋势） ，它是分析数学中最基本的概念之一，是研究若干数学问题最基本的方法之一，极限概念的理解对后面学习函数的连续性、导数、微分、积分都是至关重要的。第四讲 极限的运算法则教学目的和要求：熟练掌握极限的运算法则，以及极限存在的两个准则，进一步熟练用定义证明极限存在的方法。知识点：函数及数列极限的运算法则，极限存在的两个准则。重点：函数极限的运算法则，极限存在的两个准则。难点：极限的运算。教学方式：多媒体、讲授教学思路：通过对极限四
32、则运算法则的证明进一步熟悉用“ 定义”证明极限存在，通过一些典型例题的计算尽可能多地掌握函数极限的计算方法以及两个准则的运用。教学过程：定理 1 （四则运算法则）设 ， ，则0lim()xfA0li()xfB1） 0 00lim()xxxfgg2） 0 00,li()li()xxxf3） 00 ()lili()xxfAgB()此定理对于 等情形也成立。证明：2）因 ()()fxgAxgABf20由 ，对于正数 ，存在 ，当 时，0lim()xfA(0)2M101(,)xU有 又 ，对于正数 M，及 ，存在 ，当 时0li()xgB2A201(,)x有 。()()x取 ，当 时，上述三个不等式同
33、时成立12min,0(,)U () 2fxgABMA于是 。0li()xfx3）因 对于正数 ，存在 ，当 时，有0limxgB|2B0(,)Ux0(,)x，()2 () 2Bxgg即 ， 在 内有界。1()gxB1()0,)设 ，对于正数 ，当 时，有()M0(,)xU，从而 Bgx1()()gBMxx再由（2）可知， 00limlixxf Afg定理 2 （复合运算法则）设函数 ，当 时的极限存在且等于 ，又()gx0x0，则复合函数 ，当 时的极限也存在，且0lim()xfA()fx0。00li()xgf证明：因为 ，所以0A， ，使得当 时，恒有 0()U()fA又由于 ，故对于上式的
34、 ，00lim()xg1021使得当 时，恒有 01(,)xU0()gx设在 的的心领域 内， ，取 ，则当 时00,x01min,0(,)xU恒有 ，即 ，从而有0(,)U()fgxA。0 0lim()li)xfgAg定理表明：求 可通过变量代换求 ，化为求 的极限问题。0li(xf ()gx0li()f例 1 求 。1li(32)x解：原式 1mlixx例 2 求23lix解：原式23()3li 4xx一般地对于多项式 ，则 。10()nnPaa 00lim()xPx有理函数： ()FxQx有 000lim()x如果 ，则不能用法则。0lix例 3 求213li4x解：当 时，分子、分母的
35、极限为零，不能用运算法则，对这类极限通常是将函数式作适当变形，消去分子、分母中趋于零的因式后，再用运算法则。原式 11()2limli45xx例 4 求328lix解：（略）以上两例中的极限式称为 型的未定式。0例 5 求321lim8xx解：当 时，分子、分母的极限都是 ，不可用运算法则，以 除分子、分母就3x可以了。22原式 。231lim8xx例 6 求 li(1)x解：（略）例 7 求 32lim8xx解：原式 。322 41lilixx此例中的极限式称为 型未定式，可化为 型未定式。0例 8 求 23limxe解：由极限的复合运算法则，设 23x22lili(3)xx2 3limli
36、xxee关于数列，也有类似的极限运算法则。定理 3 设 ， ，则limnAlinyB1） li()nxy2） n3） limnxAyB(0)例 9 求 。1li2nn解： 。()(1)(2)lim2 li()nnnn原 式极限的运算法则提供了求极限的方法，但前提是极限存在，而且需要利用一些已知极限的结果。极限存在的两个准则：准则 I（夹逼原理）如果数列 、 及 满足下列条件：nxynz1） (1,23)nnyxz 232） ，limnyalinz那么数列 的极限存在，且 。xlimnxa证明：因为 ， ，由数列极限的定义有linyanz， ，当 时，有01N1nya当 时，有 ，取 ，则当 时
37、，有2nnza12mx,NnN， 同时成立。又 ，yannyz当 时，有 ，即 。 nNnayxzanxa于是 。limnx上述准则对函数也成立。准则 I（夹逼原理）如果1）当 时，有 成立0(,)xUr()()gxfhx2） ，0limxgA0lixh那么： 存在，且等于 A。0()xf准则 （单调有界准则）单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。单调增加数列 ： n1231nxx 单调减少数列 ： 单调增加、单调减少的数列统称为单调数列。我们知道：收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则数列的极限存在，也就是说数列一定收敛。例 10 计算下列
38、极限1） 2）1lim(3)nn22211lim()()n n解：1）因 11()3nn而 23n24有 11233nnn又 ，1lim()n1lin由夹逼原理 。(23)n2）因 2 2322211114)()()() nnn 而 ，21lim04n1li0。222 li()()n n例 11 证明数列 收敛，并求其极限。12 1,2nnxx 证明：先证明其单调性（数学归纳法）当 时，有 ，n21设当 时，有 ，k1kkxx则 ，kk即当 时，有 。1n21kx所以，对一切自然数 ， ，故数列是单调增加的，再证其有界（数学归纳法）nn当 时， ，设 ， 则 。1n12x2kx122kkx所以
39、，对一切自然数 n，都有 ，故数列有上界 2。n根据单调有界准则， 存在。limnx设 ，由 ，linxa12n21nx当 时，两边求极限得 a解之得： ， 显然 ， 不能为负。 。20n lim2nx思考题：251）求 2）10limxli!n小结：直接用运算法则和准则求极限一般较容易，难点在于对函数式的变形，为了达到好的学习效果，务必要有针对性地做适量的练习，通过练习归纳、总结行之有效的方法，熟练法则、准则的运用。第五讲 两个重要极限教学目的和要求：深刻理解两个重要极限的意义，能熟练运用两个重要极限的结果，求解与之相关的极限问题。知识点：两个重要极限。重点：两个重要极限。难点： 的证明。e
40、xx)1(lim教学方式：多媒体、讲授。教学思路：通过两个重要极限的证明，加深对它们的理解。在与之相关的例题与练习之中，进一步熟练运算法则、准则的运用，解题力争做到简洁、明了。教学过程：一、 1sinlm0x证明：设 ，作单位圆，由图可知：2的面积 扇形 AOB 面积 的面积AOBAOD所以： 。即： ，除 就有11sintanxxsitanxxsicoi或 。以 代 都不变，上述不等式在（ ）内的一切1sxxxsi,co0,2也是成立的。从而有： )2(sin2sin0 x由夹逼原理得： 0)i1(lim0xx因而由上面的证明还可知 ，即 。)cos(lix1coslim0xx由此结果，可得
41、：圆周上任一弦与其对应弧的长度之比当弧长超于 0 时的极限为 126事实上，弧 弦 。ABx2sinx。0002sinlimllim1ABxx例 1 求 。xtali0解：原式= 00sn1sin1()llcocosxx例 2 求 20limx解：原式=2020sin1lsinl xxx220sinlmx令例 3 求 1liarcixx解：原式 。rsin001llisnitttt令例 4 求 xx1sinlm解：原式 0il1令例 5 求 2cosli2x解：原式 0sinlm1txtt令例 6 求 2li, cocos (0)2 n nx 解：因 nn2sii27= 。nnn2si2sis
42、ico2cos1不随 n 变化，且 。00limn= 。siliml2nnx sin2ilsi2isli nnn例 7 求 。21silxx解：原式 。)(sinlimxx 2)sin(lmli2xx例 8 求 。0ecolix解：原式 。0cosinlcs1li2020 xxx例 9 求 。20olimx解：原式 。20(sini)lxx2sin2limsi2li 2020 xxx或先将 化积，再变形。cos此类极限问题关键是要将极限式化为 的形式，再用 的结)(sinl0)(xfxf1sinlm0x果。二、 exx)1(lim0先考虑 x 取正整数趋于 的情形，设 ，可以证明 是单调增加，并nnx)1(nx且有上界。由二项公式，有28231(1)(1)2()!() 11121()()()2!3! nn nnx nn )1()12)(1()!1()21)(n! 2!31)(1 nnnnxn 比较 与 的展开式，每一项均为正数，除前两项外， 的每一项都小于 的对x1 xx应项，且 还多一项，于是 ，即数列 是单调增加的。n 1nxnx又 3211212!3nnnnx 这说明数列 有上界，根据单调有界准则， 存在，设极限为 ，从而得：nx nxlimeen)1(li为无理数， 的每一项是有理数，而极限是无理数。enx再考虑 x 为
