1、高等数学总复习,知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；,知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；,/,/,解,解,知识点2：平面及其方程（三种形式）,平面的点法式方程:,平面的一般方程:,平面的截距式方程:,两平面夹角余弦公式:,/,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,所求平面方程为,知识点3：空间直线及其方程,空间直线的一般方程:,直线的参数方程:,直线的对称式方程:,两直线的夹角公式,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,直线:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,知识点3：空间直线及面线间的关系方程,例. 求直线,与
2、平面,的交点 .,提示: 化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解, 所求直线方程,方法2:设,练习: 设有直线,与,则L1与L2的夹角为,注 L1和L2的方向向量分别为 和,知识点4：二元函数的定义域与极限,例6 求 的定义域,解,所求定义域为,例7 求极限,解,其中,求极限:,知识点5：二元函数求偏导数；,多元复合函数链式法则:,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,例,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例.,设F( x , y)具有连续偏导数,解 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,机动 目录 上
3、页 下页 返回 结束,故,多元函数连续、可导、可微的关系,（A）充分条件而非必要条件,（B）必要条件而非充分条件,（C）充分必要条件,（D）既非充分条件又非必要条件,(A) 连续、偏导数存在,（B）连续、偏导数不存在,(C) 不连续、偏导数存在,（D）不连续、偏导数不存在,偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时,随着k的不同，该极限值也不同，所以极限 不存在， f(x，y)在（0，0）不连续。,解,解,解,令,记,同理有,于是,解,令,练习:设,求,解,令,则,知识点6：多元函数微分学的几何应用,1.曲线切线方程:,2.曲线的法平面：,3.切平面方程:,4.曲面的法线方程为:,
4、解,切平面方程为,法线方程为,5.方向导数与梯度,（归纳）：求曲线的切线及法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数的方向导数和梯度,一、方向导数,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记为,取P(x0tcos y0tcos)U(P0) 如果极限,方向导数,一、方向导数,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的
5、某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),方向导数,方向导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率,一、方向导数,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),方向导数,如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el(cos cos)的方向导数都存在, 且有,定理(方向导数的计算),讨论 函数f(x, y)在点P沿x轴
6、正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何?,提示,函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数,例 求f(x y z)xy2z3xyz在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60,解,与l同向的单位向量为,因为函数可微分 且,所以,fx(1 1 2)(y2-yz)|(1 1 2)-1,fy(1 1 2)(2xy-xz)|(1 1 2)0,fz(1 1 2)(3z2-xy)|(1 1 2)11,二、梯度,梯度的定义,函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度: gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,梯度
7、与方向导数,如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则,gradf(x0 y0)el |gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el),函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.,二、梯度,梯度的定义,函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度: gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,梯度与方向导数,|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el),如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 e
8、l(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则,例 求 grad ,解 这里 f (x，y) ,因为,，,，,所以 grad,例 设 f (x，y，z) x3xy2z ， 求grad f (1,1,0),解 grad f (fx，fy，fz ) ( 3x2y2, 2xy, 1 )， 于是 grad f (1，1，0) (2, 2,1),函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值为3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数在此点沿方向(-2,2,1)减少率最大,其值为-3.,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,但驻点不一定是极值
9、点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,知识点7：多元函数的极值及其求法,例.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,则, 2x=3y, y=2z,知识点8：二重积分的性质与计算,性质,当 为常数时，,性质,性质,对区域具有可加
10、性,性质4,若在D上,则有,性质5,性质6,二重积分的计算,1. 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,先确定积分次序(先看被积函数,再看被积区域D) 先积后定限,限内画条线,先交为下限,后交上限写.,解,积分区域如图,则,2.极坐标系情形: 若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,例 . 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分的计
11、算方法,方法1. “先一后二” (投影法),方法2. “先二后一” (截面法),方法3. “三次积分”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.直角坐标情形:,2.不同坐标系的三重积分,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,变量可分离.,围成 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,其中,其中为由,例. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,知识点9：重积分的应用,（1）平面区域的面积,（2）曲面的面积,例. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .,机动 目录 上页 下
12、页 返回 结束,知识点10：两类曲线积分及格林公式,例16,解,例17,解,第二类曲线积分几种特殊情形的计算:,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两类曲线积分之间的联系：,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径
13、无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理证明采用 ,解,例. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知,
14、存在函数 u (x , y) 使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,知识点11：两类曲面积分及高斯公式,则,则,则,两类曲面积分之间的联系,知识点:常数项级数的收敛与发散 条件收敛与绝对收敛,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,比较判别法:,可作为参考的级数: 几何级数, P-级数(包括调和级数).,比值判别法:,根式判别法:,例 求下列幂级数的收敛域:,2.和函数的运算性质:,幂级数求和与函数展开成幂级数,求和,2. 映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,1. 初等变换法: 先求部分和极限,再分解(裂项相消法
15、),最后套用收敛的等比级数的求和公式等方法;,（在收敛区间内）,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 直接展开法, 间接展开法, 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,3. 函数的幂级数展开法,例. 求幂级数,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,收敛 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此由和函数的连续性得:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式中令x =1,即得,例 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,补充知识点,计算时应注意以下两点,一投,二代,三定号,例19,1: x=0 2: y=0 3: z=0 4: x+y+z=1,解:,
