1、 课程名称：高等数学试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间： 120 分钟适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学 A（考试性质： 期末统考（A 卷） 一、单选题（共 15分，每小题 3 分）1设函数 在 的两个偏导 ， 都存在，则 ( )(,)fxy0(,)P0(,)xfy0(,)yfxA 在 连续 B 在 可微PC 及 都存在 D 存在0lim,xf0li(,yf0(,),)lim(,xyfy2若 ，则 等于（ ） yzndzll.xln.x
2、ylnln.xxyy l ln.xxyd3设 是圆柱面 及平面 所围成的区域，则 201,z(),(dxyzf） 2100cos.(cs,in,)Adrfrd 2100cos.(cos,in,)Bdrfr2oCz xDzd4 4若 在 处收敛，则此级数在 处（ ） 1()nnax12A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定5曲线 在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）.2yzxA. （-1，3，4） B.（3，-1 ，4） C. （-1 ，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共 15 分，每小题 3 分） 1设 ，则 .20xyz(1,)x题 号（型） 一 二
3、三 四 核分人得 分评卷人总分2交 换 的积分次序后， _ln10(,)exIdfyd I3设 ，则 在点 处的梯度为 .2zyuu)1,2(M4. 已知 ，则 .0!nxexe5. 函数 的极小值点是 .323zy三、解答题（共 54 分，每小题 6-7 分）1.（本小题满分 6 分）设 , 求 , .arctnzxzy2.（本小题满分 6 分）求椭球面 的平行于平面 的切平面方程，并求切点处的2239xyz2310xyz法线方程.3. （本小题满分 7 分）求函数 在点 处沿向量 方向的方向导数。2zxy(1,)132lij4. （本小题满分 7 分）将 展开成 的幂级数，并求收敛域。xf
4、1)(35 （本小题满分 7 分）求由方程 所确定的隐函数 的极值。082zyzx ),(yxz6 （本小题满分 7 分）计算二重积分 及 围成.1,1,)( 22 yxDdyxD由 曲 线2x7.（本小题满分 7 分）利用格林公式计算 ，其中 是圆周 （按逆时针方向）.Lxyxd2L22ayx8.（本小题满分 7 分）计算 ，其中 是由柱面 及平面 所围成且在第一zyxd12yx0,yxz卦限内的区域.四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）1 （本小题满分 8 分）设级数 都收敛，证明级数 收敛。1,nuv21()nuv2 （本小题满分 8 分）设函数 在 内具有一阶连续偏导数，且 ，)
5、,(yxf2R2fx证明曲线积分 与路径无关若对任意的 恒有 2Lxyd t，求 的表达式 (,1) (1,)0 0(,)(,)t txyfdfy ),(xf参考答案及评分标准一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）1.-1 2. 3. 4 5. (2,2)I10(,)yedfx kji 10()!nx三、解答题（共 54 分，每小题 6-7 分）1解： ; (3 分) 2xz= + ( 6 分).yarctny2. 解：记切点 则切平面的法向量为 满足： ，切点为： 或0(,)xz 02(,3)nxyz0023
6、xyz(1,2)(3 分)，切平面： ( 4 分)， 法线方程分别为： 或者(1,2239xyzor 23xyz( 6 分)3xyz3. 解： ( 3 分), ( 7 分)(,),4f(1,)23fl4. 解： = , ( 2 分)1x(x因为 ， ,所以 = ,其中01)(nn)10)3(1)3(1nnxx01)3()(nnx，即 .( 5 分)31x6x当 时，级数为 发散；当 时，级数为 发散,故003nx01)(n= ， ， ( 7 分)x01)()(nx6,(5. 解：由 , 得到 与 , ( 2 分)40128()zxyzyx0zy再代入 ，得到 即 。 02x 872z81,7z
7、由此可知隐函数 的驻点为 与 。 ( 4 分)(,)zxy(,)160,由 ， ， ，可知在驻点 与 有 。( 5 分)2418zx22418zy,26(0,)70H在 点， ，因此 ，所以 为极小值点，极小值为 ；( 6 分)(0,)205x(,)1z在 点， ，因此 ，所以 为极大值点，极大值为 ， ( 7 分)6,77z41z160,786. 解：记 ，则 .（2 分） 故:10: 221 yxDy 1D( 4 分)dydxdxDD 21 )()()( 222（7 分） 3031002rxy7. 解： 所围区域 ： ,由格林公式，可得 = L22ayLxyxyd22= = .(7 分)y
8、xxyDd)()(22Dyxd)(2 40dr8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时， 所以,102,:rz( 4 分) rrzyx dsincodd01201= = . (7 分)rsin23010814)(02四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）1证明：因为 ， （2 分）lim,linnuv故存在 N，当 时， ，因此 收敛。 （8 分）()3nnuvu21()nv2证明：因为 ，且 ，故曲线积分 与路径无关 （4 分）2fxyx 2,LxydfyOx yz 11OOOOO装O订O线OOOO因此设 ，从而)(),(2ygxyf， （5 分） ,1 1122(0) 000(,)()()t tdfxydxtgydtgyd， （6 分） , ()2,t t ty由此得 对任意 成立，于是 ，即 120tgd 0()tgdt 12)(tg （8 分）12)(),( yxxyf一、
