1、2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题 2018.3一、填空题：本大题共 14个小题，每小题 5分，共 70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合 ， ，则集合 1,A3,01BAB2.已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 z4ii z3.双曲线 的渐近线方程为 2143xy4.某中学共有 人，其中高二年级的人数为 .现用分层抽样的方法在全校抽取 人，其中高二年级被抽取的8060n人数为 ，则 21n5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字 ， ， ， ）先后抛掷 次，观察其朝下一面的数12342字，则两次数字之和等于 的概率为 66.如图
2、是一个算法的流程图，则输出 的值是 S7.若正四棱锥的底面边长为 ，侧面积为 ，则它的体积为 2cm28c3cm8.设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 nSna24a241S0a9.已知 ， ，且 ，则 的最小值是 0b23b10.设三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，则 ABCCabctan3AcbBosA11.已知函数 （ 是自然对数的底）.若函数 的最小值是 ，则实数 的取值范围为 ,1()4xaef ()yfx4a12.在 中，点 是边 的中点，已知 ， ， ，则 ABCPAB3CP4A23CBPCA13.已知直线 ： 与 轴交于点 ，点 在直线 上，圆 ：
3、上有且仅有一个点 满l20xyxl2()xyB足 ，则点 的横坐标的取值集合为 14.若二次函数 在区间 上有两个不同的零点，则 的取值范围为 2()fxabc(0)1,2 (1)fa二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量 ， .(2sin,1)a(,sin)4b（1）若角 的终边过点 ，求 的值；3,4a（2）若 ，求锐角 的大小./ab16.如图，正三棱柱 的高为 ，其底面边长为 .已知点 ， 分别是棱 ， 的中点，点1ABC62MN1AC是棱 上靠近 的三等分点.D1求证：（1） 平面 ；1/BM1AN
4、（2） 平面 .AD117.已知椭圆 ： 经过点 ， ，点 是椭圆的下顶点.C21xyab(0)1(3,)2(,)A（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 且互相垂直的两直线 ， 与直线 分别相交于 ， 两点，已知 ，求直线 的斜率.A1l2yxEFOEF1l18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 为 ， 是圆心，且 .在 上有一座观赏亭 ，其中AB6OCABOQ.计划在 上再建一座观赏亭 ，记 .23AQCBP(0)2（1）当 时，求 的大小；3OPQ（2）当 越大，游客在观赏亭 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭 处的观赏效果最佳时，角 的正弦P值.19.已知函数 ， .32()fxabx
5、c()lngx（1）若 ， ，且 恒成立，求实数 的取值范围；0ab()fc（2）若 ，且函数 在区间 上是单调递减函数.3yfx(1,)求实数 的值；a当 时，求函数 的值域.2c(),()fxgxh20.已知 是数列 的前 项和， ，且 .nSna13a123nSa*()N（1）求数列 的通项公式；n（2）对于正整数 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列，求正整数 ， 的值；ij()kijja6ik（3）设数列 前 项和是 ，且满足：对任意的正整数 ，都有等式nbnTn12132nnabab13n成立.求满足等式 的所有正整数 .13na2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（
6、一）数学（附加题）21.【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题 10分，共计 20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修 4-1：几何证明选讲如图， 是圆 的直径， 为圆 上一点，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ，且满足 .ABODOABCDAC（1）求证： ；2ABC（2）若 ，求线段 的长.DB. 选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 ， ，列向量 .401A25BaXb（1）求矩阵 ；（2）若 ，求 ， 的值.15BAXabC. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 经过点 ，圆心为直线 与极轴的交点，求圆 的
7、极坐标方C(2,)4Psin()3C程.D. 选修 4-5：不等式选讲已知 ， 都是正数，且 ，求证： .xy1xy22()(1)9xyx【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 垂直于底面 ， ，点 为线PABCDABPDABC2PDABQ段 （不含端点）上一点.PA（1）当 是线段 的中点时，求 与平面 所成角的正弦值；QPACQPBD（2）已知二面角 的正弦值为 ，求 的值.BD23A23.在含有 个元素的集合 中，若这 个元素的一个排列（ ， ， ）满足n1
8、,nAn1a2na，则称这个排列为集合 的一个错位排列（例如：对于集合 ，排列 是(1,2)ia 3,A(2,31)的一个错位排列；排列 不是 的一个错位排列）.记集合 的所有错位排列的个数为 .3A(,32)3 n nD（1）直接写出 ， ， ， 的值；1D234（2）当 时，试用 ， 表示 ，并说明理由；3n2n1nD（3）试用数学归纳法证明： 为奇数.*2()nN2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题参考答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 1532yx633166. 7. 8. 9. 10. 254382311. 12. 13. 14. ae61,53
9、0,1)二、解答题15.解：（1）由题意 ， ，4sin53cos所以 2i()aba2insco4sin4.4535（2）因为 ，所以 ，即 ，所以/ab2sin()14a2sin(cossin)14，sinico1则 ，对锐角 有 ，所以 ，2isin2coscos0tan1所以锐角 .416.证明：（1）连结 ，正三棱柱 中， 且 ，则四边形 是平行四边MN1ABC1/AC11AC形，因为点 、 分别是棱 ， 的中点，所以 且 ，1MNA又正三棱柱 中 且 ，所以 且 ，所以四边形 是平行1ABC1/11/B11MNB四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，/NBA所以 平面 ；1/M1（
10、2）正三棱柱 中， 平面 ，1ABC1ABC平面 ，所以 ，N1N正 中， 是 的中点，所以 ，又 、 平面 ， ，ABBA11AC1A所以 平面 ，又 平面 ，1CD1C所以 ，ADBN由题意， ， ， ， ，所以 ，162A1N63132ANCD又 ，所以 与 相似，则 ，1ANCD1D1所以 ，112AN则 ，又 ， ， 平面 ，1A1BB1A1BN所以 平面 .D117.解：（1）由题意得 ，解得 ，2314ab214ab所以椭圆 的标准方程为 ；C214xy（2）由题意知 ，直线 ， 的斜率存在且不为零，(0,1)A1l2设直线 ： ，与直线 联立方程有 ，得 ，1l1ykxyx1y
11、kx1(,)Ek设直线 ： ，同理 ，2l1k11(,)Fk因为 ，所以 ，OEF11|k ， 无实数解；11k10k ， ， ，解得 ，11k12k10k12k综上可得，直线 的斜率为 .1l218.解：（1）设 ，由题， 中， ， ，OPQRtOAQ3AQOC23所以 ，在 中， ， ，332P6由正弦定理得 ，sinsiOPQ即 ，所以 ，3siin()63sini()65sin()则 ，所以 ，53siicos5sin13cosin23sinco因为 为锐角，所以 ，所以 ，得 ；cs0ta36（2）设 ，在 中， ， ，OPQOP2Q36由正弦定理得 ，即 ，sinsiOQP33si
12、ni()2所以 ，3sii()2si()2cos()csosin从而 ，其中 ， ，(in)cos3in0所以 ，ta3si记 ， ， ；co()sinf213sin()f(0,)令 ， ，存在唯一 使得 ，()0fi30(,)03sin当 时 ， 单调增，当 时 ， 单调减，0(,)(f()f0(,)2(f()f所以当 时， 最大，即 最大，0)ftanOPQ又 为锐角，从而 最大，此时 .OPQ3si答：观赏效果达到最佳时， 的正弦值为 .319.解：（1）函数 的定义域为 .当 ， ， ，()ygx(0,)0a2b3()2fxc 恒成立， 恒成立，即 .()fx32lncx3lnc令 ，
13、则 ，3()lnx21()x31x2(1)x令 ，得 ， 在 上单调递增，()0x1()0,令 ，得 ， 在 上单调递减，x1,)当 时， .1xmax()() .1c（2）当 时， ， .3b32()fxaxc2()3fxa由题意， 对 恒成立，2()0fx(1, ， ，即实数 的值为 .13()faaa0函数 的定义域为 .yhx(0,)当 ， ， 时， .0a3b2c32fx，令 ，得 .2()fx()0f 1(,)1(1,)()fx- 0+f A极小值 A当 时， ，当 时， ，当 时， .(0,1)x()0fx1()0fx(1,)()0fx对于 ，当 时， ，当 时， ，当 时， .
14、lng,g0gx1,()0gx当 时， ，当 时， ，当 时， .(0,1)x()0hxf1x()h(,)()h故函数 的值域为 .y,)20.解：（1）由 得 ，两式作差得 ，即123nSa*(N123nSa121nna213na.*()nN， ，所以 ， ，则 ，所以数列 是首项为 公13a2139S13na*()0na13n*()Nna3比为 的等比数列，所以 ；3na*()N（2）由题意 ，即 ，26jkiaa3263jki所以 ，其中 ， ，31jiki 1jii所以 ， ，ji39ki，所以 ， ， ；12312jiki1ji2ki1（3）由 得，12132nnabab13n，12
15、31nn21n 2(1)3n，1121(nnabab121)nnba 2，13)n3(3所以 ，即 ，21(1nb1)n163nb所以 ，1n*)N又因为 ，得 ，所以 ，133ab1b21n*()N从而 ， ，5(2)nTn 2*()2*()3nTa当 时 ；当 时 ；当 时 ；13a249Ta3n1下面证明：对任意正整数 都有 ，n13n，1nTa12()3n12n 12()3n2(1)当 时， ，即 ，3221()nn()010nTa所以当 时， 递减，所以对任意正整数 都有 ；3nnTa3n31nTa综上可得，满足等式 的正整数 的值为 和 .13n12017-2018学年度苏锡常镇四
16、市高三教学情况调研（一）数学（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修 4-1：几何证明选讲证明：（1）连接 ， .因为 是圆 的直径，所以 ， .ODBAO90ADB2OB因为 是圆 的切线，所以 ，C90C又因为 ，所以 ，AA于是 ，得到 ，DBOB所以 ，从而 .C2C（2）解：由 及 得到 ， .由切割线定理， ，所以2ABC1B3A213CDBA.3CDB. 选修 4-2：矩阵与变换解：（1） ；40124850AB（2）由 ，解得 ，又因为 ，所以 ， .1X1AB5281aXb285bC. 选修 4-4：坐标系与参数方程解：在 中，令 ，得 ，sin()302所以圆 的圆心的
17、极坐标为 .C(2,)因为圆 的半径 ，P2()2cos24于是圆 过极点，所以圆的极坐标方程为 .CD. 选修 4-5：不等式选讲证明：因为 ， 都是正数，xy所以 ， ，2231022310yx，又因为 ，22()()9xyx所以 .221【必做题】22.解：（1）以 为原点， ， ， 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设 ，则 ，DACDPABt(0,)D， ， ， ， ；(2,0)At(,0)Bt(,)t(0,2)t(,0)Qt所以 ， ， ，(,)CQt(2,)t(,)t设平面 的法向量 ，则 ，PBD1(,)nxyz10DBnP即 ，解得 ，所以平面 的一个法向量 ，20txy
18、z20z 1(,20)n，11cos,nCQ35t1则 与平面 所成角的正弦值为 .PBD（2）由（1）知平面 的一个法向量为 ，设 ，则 ，PBD1(,20)n(01)PQAPQA， ，设平面 的法向量DQ(0,2)(,0)tt,t2,DBtBD，则 ，即 ，解得 ，所以平面 的一个法向2(,)nxyz2nB()xzty()0xzy量 ，21,)由题意得 ，212()cos,3n12n2225(1)()所以 ，即 ，25(1)9605()03因为 ，所以 ，则 .32PQA23. 解：（1） ， ，10D2，32，49（2） ，12()nnD理由如下：对 的元素的一个错位排列（ ， ， ）
19、，若 ，分以下两类：nA1a2na1()k若 ，这种排列是 个元素的错位排列，共有 个；1kan2nD若 ，这种错位排列就是将 ， ， ， ， 排列到第 到第 个位置上， 不在第 个位置，k121k2n1k其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于 个元素的错位排列，共有 个；n1D根据 的不同的取值，由加法原理得到 ；k 12()nnD（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论， 均为自然数；n当 ，且 为奇数时， 为偶数，从而 为偶数，3n1n12()nnD又 也是偶数，10D故对任意正奇数 ，有 均为偶数.nnD下面用数学归纳法证明 （其中 ）为奇数.2n*N当 时， 为奇数；1n2假设当 时，结论成立，即 是奇数，则当 时， ，注意到 为偶k2kD1nk2(1)21)()kkkDD21k数，又 是奇数，所以 为奇数，又 为奇数，所以 ，即结论对2kD12() 2也成立；1n根据前面所述，对任意 ，都有 为奇数。*nN2nD
