1、1 页2016-2017 学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （ 5 分）集合 A=x|xa，B= 1，2，AB=，则 a 的取值范围为（ ）A （ ，1 ） B （1，+） C （2，+） D （ ，2）2 （ 5 分）已知复数 （其中 aR，i 为虚数单位）是纯虚数，则 a+i 的模为（ ）A B C D3 （ 5 分）已知变量 x，y 线性负相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）Ay=0.4x +2.4By=2
2、x +2.4 Cy=2x+9.5 Dy=0.3x+4.44 （ 5 分）已知函数 f（x ）= ，若 f（a）=f（1） ，则实数 a 的值等于（ ）A0 B1 C0 或 1 D0 或15 （ 5 分）若 ab0，那么下列不等式成立的是（ ）Aab b2 Ba 2b 2 Clg（ ab）lg（ a2） D2 26 （ 5 分）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D7 （ 5 分）已知非零常数 是函数 y=x+tanx 的一个零点，则（ 2+1） （1+cos2）的值为（ ）A2 B C D8 （ 5 分）函数 y=（x x3）2 |x|在区间3
3、，3上的图象大致是（ ）2 页A B C D9 （ 5 分）阅读如图程序框图，如果输出 k=5，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）AS25 BS 26 CS 25 DS 2410 （ 5 分）如图，位于 A 处前方有两个观察站 B，D，且ABD 为边长等于 3km 的正三角形，当发现目标出现于 C 处时，测得BDC=45，CBD=75，则 AC=（ ）A15 6 kmB15 +6 km C km D km11 （ 5 分）将函数 f（x ）=cos2x 的图象向右平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，若 y=g（x）在上为减函数，则正实数 的最大值为（ ）A B1 C D312 （
4、5 分）已知抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点（A 在第一象限） ，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E，若AFE=60，则AFE 的面积为（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （ 5 分）若单位向量 满足 ，则 在 方向上投影为 14 （ 5 分）实数 x，y 满足 ，若 2xym 恒成立，则实数 m 的取值范围是 15 （ 5 分）在四面体 SABC 中， SA平面 ABC，ABC=90，SA=AC=2，AB=1 ，则该四面体的外接球的表面积为 16 （ 5 分）已知圆 ，经过椭
5、3 页圆 C： =1（ab0）的左、右焦点 F1，F 2，且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 F1，E，A 三点共线，则该椭圆的方程 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17 （ 12 分）已知数列 an是各项均不为 0 的等差数列，S n 为其前 n 项和，且对任意正整数 n 都有an2=S2n1（1 ）求数列a n的通项公式；（2 ）若数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （ 12 分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总
6、体表征教育部考试中心确定了 2017 年普通高考部分学科更注重传统文化考核某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80 名同学的成绩，然后就其成绩分为 A、B、C 、D 、E 五个等级进行数据统计如下：成绩 人数A 9B 12C 31D 22E 6根据以上抽样调查数据，视频率为概率（1 ）若该校高二年级共有 1000 名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为 B 的人数；（2 ）若等级 A、B、C、D、E 分别对应 100 分、80 分、60 分、40 分、20 分，学校要求“平均分达 60 分以上”为 “教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是
7、否达标？（3 ）为更深入了解教学情况，将成绩等级为 A、B 的学生中，按分层抽样抽取 7 人，再从中任意抽取 2 名，求恰好抽到 1 名成绩为 A 的概率19 （ 12 分）如图甲所示， BO 是梯形 ABCD 的高，BAD=45，OB=BC=1，AD=3BC，现将等腰梯形 ABCD沿 OB 折起如图乙所示的四棱锥 POBCD，且 PC= ，点 E 是线段 OP 的中点4 页（1 ）证明：OPCD ；（2 ）在图中作出平面 CDE 与 PB 交点 Q，并求线段 QD 的长度20 （ 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x 2+y2=4 和动直线 l：x=my+1（1 ）证明：不
8、论 m 为何值时，直线 l 与圆 C 都相交；（2 ）若直线 l 与圆 C 相交于 A，B，点 A 关于轴 x 的对称点为 A1，试探究直线 A1B 与 x 轴是否交于一个定点？请说明理由21 （ 12 分）已知函数 f（x ） =lnx2ax，a R（1 ）若函数 y=f（x）存在与直线 2xy=0 平行的切线，求实数 a 的取值范围；（2 ）已知 a 1 设 g（x ）=f（ x）+ ，若 g（x）有极大值点 x1，求证：x 1lnx1ax12+10 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （ 10 分）在直角坐标系 xO
9、y 中，直线 l1 的方程为 y= x，曲线 C 的参数方程为 （ 是参数，0 ） 以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1 ）分别写出直线 l1 与曲线 C 的极坐标方程；（2 ）若直线 =0，直线 l1 与曲线 C 的交点为 A，直线 l1 与 l2 的交点为 B，求|AB|5 页选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 0 分）23设实数 a， b 满足 a+2b=9（1 ）若|9 2b|+|a+1|3 ，求 a 的取值范围；（2 ）若 a，b 0，且 z=ab2，求 z 的最大值6 页2016-2017 学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解
10、析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）集合 A=x|xa，B=1，2，AB= ，则 a 的取值范围为（ ）A （ ，1 ） B （1，+） C （2，+） D （ ，2）【分析】由已知可得 a1，且 a2 ，进而得到 a 的取值范围【解答】解：集合 A=x|xa，B=1，2，若 AB= ，则 a1，且 a2，综上可得：a（ ，1） ，故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，转化思想，难度不大，属于基础题2 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）已知复数 （其中
11、 aR，i 为虚数单位）是纯虚数，则 a+i 的模为（ ）A B C D【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出【解答】解：复数 = = + i 是纯虚数， =0， 0，a= ，则|a+i| = = = 故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）已知变量 x，y 线性负相关，且由观测数据算得样本平均数 ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能 是（ ）7 页Ay=0.4x +2.4By=2x +2.4 Cy=2x+9.5 Dy=0.3x+
12、4.4【分析】变量 x 与 y 负相关，可以排除 A，B，样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程【解答】解：变量 x 与 y 负相关，可以排除 A，B ；样本平均数 ， ，代入 C 符合，D 不符合，故选：C【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键4 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）已知函数 f（x）= ，若 f（a）=f（1 ） ，则实数 a 的值等于（ ）A0 B1 C0 或 1 D0 或1【分析】利用分段函数列出方程求解即可【解答】解：函数 f（x）= ，若 f（a）=f（1 ） ，当 a0 时，2a1=1，可得 a=1当 a0 时，a+1=2
13、 1，解得 a=0，则实数 a 的值等于 0 或 1故选：C【点评】本题考查分段函数的应用，考查方程的解，是基础题5 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）若 ab0，那么下列不等式成立的是（ ）Aab b2 Ba 2b 2 Clg（ ab）lg（ a2） D2 2【分析】根据题意，对选项中的命题判断正误即可【解答】解：ab0 时，ab b 2，A 错误；a2ab b 2， B 错误；ab 0，负数没有对数，C 错误；由题意 ， ，D 正确8 页故选：D【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，是基础题目6 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，
14、则该几何体的体积为（ ）A B C D【分析】该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由三视图可知：该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥 SABCD，如图所示，则其体积为：VSABCD= = = 故选：B【点评】本题考查该几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养7 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）已知非零常数 是函数 y=x+tanx 的一个零点，则（ 2+1） （1+cos2）的值为（ ）9 页A2 B C D【分析】由题意可得，tan=，利用二倍角公式可得（ 2+1）（cos2+1）=
15、（1+tan 2） （2cos 2） ，化简可求【解答】解：由题意非零常数 是函数 y=x+tanx 的一个零点，可得，tan=，可得（ 2+1）（1+cos2）=（1+tan 2） （2cos 2）=2（ cos2 ）（ +1）=2 故选：A【点评】本题主要考查了三角函数的化简公式及二倍角公式的应用，属于基础试题8 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）函数 y=（xx 3）2 |x|在区间3，3 上的图象大致是（ ）A B C D【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图形即可【解答】解：函数 y=（x x3）2 |x|在区间 3，3上是奇函数，排除：C，又 x= 时，
16、y= （ ） = 0 即（ ， ）在函数的图象上，排除 B，D，故选：A【点评】本题考查函数的图象的判断，注意函数的奇偶性以及特殊点的位置的判断与应用9 （ 5 分） （2016 秋赣州期末）阅读如图程序框图，如果输出 k=5，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）AS25 BS 26 CS 25 DS 2410 页【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量 k 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，k=1 ，不满足输出的条件，k=2 ； 第二 次执行循环体后，S=0，k=2 ，不满足输出的条件，k=3 ； 第三次执行循环体后，S=3，k
17、=3，不满足输出的条件，k=4； 第四次执行循环体后，S=10 ，k=4 ，不满足输出的条件，k=5； 第五次执行循环体后，S=25 ，k=5 ，满足输出的条件，比较四个答案，可得条件为 S 24 满足题意，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答10 （ 5 分） （2016 秋 赣州期末）如图，位于 A 处前方有两个观察站 B，D，且ABD 为边长等于 3km 的正三角形，当发现目标出现于 C 处时，测得BDC=45，CBD=75 ，则 AC=（ ）A15 6 kmB15 +6 km C km D km【分析】先利用正弦定理，求出
18、 DC，再用余弦定理，求出 AC【解答】解：由题意，BCD=60， = ，DC= （3 + ） ，CDA=105，AC= = ，故选 C【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题11 （ 5 分） （2016 秋 赣州期末）将函数 f（x ）=cos2x 的图象向右平移 个单位，得到函数 y=g（x ）的11 页图象，若 y=g（x）在 上为减函数，则正实数 的最大值为（ ）A B1 C D3【分析】利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，再利用诱导公式，正弦函数的单调性，求得实数 的最大值【解答】解：将函数 f（x）=cos2x 的图象
19、向右平移 个单位，得到函数 y=g（x）=cos2 （x ）=cos（2x ）= sin2x 的图象，若 y=g（x）在 上为减函数，则 sin2x 在 上为增函数，2（ ） ，且 2 ，求得 1，故正实数 的最大值为 1，故选：B【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题12 （ 5 分） （2016 秋 赣州期末）已知抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线交抛物线于A，B 两点（A 在第一象限） ，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E，若AFE=60，则AFE 的面积为（ ）A B C D【分析】根
20、据抛物线的性质，利用夹角公式，求出 A 的坐标，即可计算三角形的面积【解答】解：抛物线的焦点为 F（1 ，0） ，准线方程为 x=1设 E（1，2a） ，则 A（a 2，2a） ，k AF= ，k EF=a，tan60= ，a= ，A（3 ，2 ） ，AFE 的面积为 =4故选：A【点评】本题考查了抛物线的性质，三角形的面积计算，属于中档题12 页二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （ 5 分） （2016 秋 赣州期末）若单位向量 满足 ，则 在 方向上投影为 1 【分析】对 两边平方，并进行数量积的运算即可求出 的值，从而可求出 在 方向上的投影【解答】解：
21、 ； ；即 ； ； ； 在 方向上的投影为 故答案为：1【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，向量投影的定义及计算公式14 （ 5 分） （2016 秋 赣州期末）实数 x，y 满足 ，若 2xym 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （， 【分析】首先画出可行域，由 2xym 恒成立，即求 2xy 的最小值，设 z=2xy，利用其几何意义求最小值【解答】解：x，y 满足的平面区域如图：设 z=2xy，则 y=2xz，当经过图中的 A 时 z 最小，由 ，得 A（ ） 所以 z 的最小值为 2 =所以实数 m 的取值范围是13 页（ ， ；故答案为：（， 【点评】本题考查了简单
22、线性规划问题；正确画出可行域，将恒成立问题求参数范围问题，转化为求 4xy的最小值，属于基础题15 （ 5 分） （2016 秋 赣州期末）在四面体 SABC 中，SA平面 ABC，ABC=90 ，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为 8 【分析】由题意，SC 的中点为球心，计算三棱锥 SABC 的外接球的半径，由此可求三棱锥 SABC 的外接球的表面积【解答】解：由题意，SC 的中点为球心，SA平面 ABC，SA=AC=2 ，SC=2 ，球的半径为 ，该四面体的外接球的表面积为 42=8故答案为：8【点评】本题考查球的表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题16
23、 （ 5 分） （2016 秋 赣州期末）已知圆 ，经过椭圆 C： =1（ab0 ）的左、右焦点 F1，F 2，且与椭圆 C 在第一象限的交点为14 页A，且 F1，E ， A 三点共线，则该椭圆的方程 + =1 【分析】F 1，E，A 三点共线，AF 2x 轴，|F 1A|= =2a把 x=c 代入椭圆方程解得 A 由 O为线段 F1F2 的中点，利用中位线定理可得|AF 2|=2|OE|， =2， =2a2，a 2=b2+c2，解出即可得出【解答】解：F 1，E，A 三点共线，AF 2x 轴，|F 1A|= 把 x=c 代入椭圆方程可得： =1，解得 y= ，A O 为线段 F1F2 的中
24、点，|AF 2|=2|OE|， =2， =2a2，a 2=b2+c2，解得 a= ，b 2=5该椭圆的方程为： + =1故答案为： + =1【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形中位线定理、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17 （ 12 分） （ 2016 秋赣州期末）已知数列a n是各项均不为 0 的等差数列，S n 为其前 n 项和，且对任意正整数 n 都有 an2=S2n1（1 ）求数列a n的通项公式；（2 ）若数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列
25、b n的前 n 项和 Tn【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，a n0 对任意正整数 n 都有 an2=S2n1，可得 =a1，15 页=S3= ，解得 a1，d，即可得出（2 ） =3n1，可得 bn=（ 2n3）3 n1，利用“ 错位相减法” 与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列 an的公差为 d，a n0 对任意正整数 n 都有 an2=S2n1， =a1， =S3= ，解得 a1=1，d=2 ，或 1（舍去） a n=1+2（n1）=2n 1（2 ） =3n1，b n=（2n 3）3 n1，数列b n的前 n 项和 Tn=1+3+332+（2n3）3 n1
26、，3T n=3+32+333+（2n 5）3 n1+（2n3）3 n，2T n=1+2（3+3 2+3n1）+（2n3 ）3 n=1+2 （2n 3）3 n，T n=2+（n2）3 n【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （ 12 分） （ 2016 秋赣州期末）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征教育部考试中心确定了 2017 年普通高考部分学科更注重传统文化考核某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶
27、段检测，并从中随机抽取 80 名同学的成绩，然后就其成绩分为 A、B、C、D 、E 五个等级进行数据统计如下：成绩 人数A 9B 12C 31D 22E 6根据以上抽样调查数据，视频率为概率（1 ）若该校高二年级共有 1000 名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为 B 的人数；16 页（2 ）若等级 A、B、C、D、E 分别对应 100 分、80 分、60 分、40 分、20 分，学校要求“平均分达 60 分以上”为 “教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3 ）为更深入了解教学情况，将成绩等级为 A、B 的学生中，按分层抽样抽取 7 人，再从中任意抽取 2 名，求恰好抽到 1
28、 名成绩为 A 的概率【分析】 （1）由于这 80 人中，有 12 名学生成绩等级为 B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为 B 的概率为 ，即可得出该校高二年级学生获得成绩为 B 的人数（2 ）由于这 80 名学生成绩的平均分为： （9 100+1280+3160+2240+620） （3 ）成绩为 A、B 的同学分别有 9 人，12 人，所以按分层抽样抽取 7 人中成绩为 A 的有 3 人，成绩为 B的有 4 人由题意可得：P（X=k）= ，k=0，1，2，3【解答】解：（1）由于这 80 人中，有 12 名学生成绩等级为 B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为 B 的概率为 （2 分）则
29、该校高二年级学生获得成绩为 B 的人数约有 1000 =150（3 分）（2 ）由于这 80 名学生成绩的平均分为：（9100+1280+31 60+2240+620）=59（4 分）且 59 60，因此该校高二年级此阶段教学未达标（6 分）（3 ）成绩为 A、B 的同学分别有 9 人，12 人，所以按分层抽样抽取 7 人中成绩为 A 的有 3 人，成绩为 B 的有 4 人（7 分）则由题意可得：P （X=k ）= ，k=0 ，1，2，3 P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= .10 分）所以 EX=0+1 +2 +3 = .10 分）【点评】本题考查了平均数、
30、分层抽样、超几何分布列概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19 （ 12 分） （ 2016 秋赣州期末）如图甲所示，BO 是梯形 ABCD 的高，BAD=45，OB=BC=1，AD=3BC，现将等腰梯形 ABCD 沿 OB 折起如图乙所示的四棱锥 POBCD，且 PC= ，点 E 是线段 OP 的中点17 页（1 ）证明：OPCD ；（2 ）在图中作出平面 CDE 与 PB 交点 Q，并求线段 QD 的长度【分析】 （1）推导出 OPOC，OBOP，从而 OP平面 OPD，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出 DE 和 SC 不可能垂直（2 ）作出
31、Q 点，利用坐标系求出 Q 的坐标，利用空间距离公式求解即可【解答】证明：（1）如图甲所示，因为 BO 是梯形 ABCD 的高，BAD=45，所以 AO=OB， （1 分）因为 BC=1，OD=2OA ，得 OD=3，OC= ，（2 分）如图乙所示，OP=OA=1，OC= ，PC= ，所以有 OP2+OC2=PC2，所以 OPOC，（3 分）而 OBOP，OBOC=O ，所以 OP平面 OPD，（4 分）又 OBOD，所以 OB、OD、 OP 两两垂直故以 O 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则 P（0，0 ，1） ，C（1，1 ，0） ，D （0，3，0 ）（5 分）=（0，0 ，1） ，
32、 =（1， 2，0） ，所以 =0，18 页所以 OPCD （6 分）解：（2）延长 OB，DC，交于点 M，连结 EM，因为 OD=3，BC=1 ，OB=1，所以 BM= ，（7 分）EMPE=Q，则 Q 即为平面 CDE 与 PB 交点，如图：在平面 xoz 坐标系中，BP 的方程为：x+z=1，ME 的方程为：2x+6z=3（9 分） ，由 ，解得 x= ，z= ，在空间直角坐标系中，Q（ ，0， ） 连结 DQ，| |= = （12 分）【点评】本题考查空间向量的应用，直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，空间距离公式的求法，考查转化思想以及计算能力20 （ 12 分） （ 2016
33、秋赣州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x 2+y2=4 和动直线 l：x=my+1 （1 ）证明：不论 m 为何值时，直线 l 与圆 C 都相交；（2 ）若直线 l 与圆 C 相交于 A，B，点 A 关于轴 x 的对称点为 A1，试探究直线 A1B 与 x 轴是否交于一个定点？请说明理由【分析】 （1）圆 C：x 2+y2=4 和动直线 l：x=my +1 联立方程组，利用判别式进行判断即可（2 ）直线 l 与圆 C 相交于 A，B，设出 A，B 坐标，利用韦达定理建立关系，求解直线 A1B 方程，令 y=0 求解 x 的值 s 是一个定值即可【解答】证明：（1）由题意，圆 C
34、：x 2+y2=4 和动直线 l：x=my +1 联立方程组，消去 x，可得：（m 2+1）y2+2my3=0，由判别式=4m 2+12（m 2+1）=16m 2+120不论 m 为何值时，直线 l 与圆 C 都相交；解：（2）直线 l 与圆 C 相交于 A，B，设 A 坐标为（x 1，y 1） ，B 坐标为（x 2，y 2） ，点 A 关于轴 x 的对称点为 A1，A的坐标为（x 1， y1）19 页直线 A1B 方程为：y+y 2= （x x2）由（1）可得：（m 2+1）y 2+2my3=0，那么： ，同理，消去 y，可得：（m 2+1）x 22x+14m2=0那么： ， ，令直线 A1
35、B 方程：y+y 2= （x x2）中的 y=0，解得：x= 是一个定值常数故得直线 A1B 与 x 轴交于一个定点为（ ，0 ） 【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生的计算能力，属于中档题21 （ 12 分） （ 2016 秋赣州期末）已知函数 f（x）=lnx 2ax，aR（1 ）若函数 y=f（x）存在与直线 2xy=0 平行的切线，求实数 a 的取值范围；（2 ）已知 a 1 设 g（x ）=f（ x）+ ，若 g（x）有极大值点 x1，求证：x 1lnx1ax12+10 【分析】 （1）求出函数的导数，问题转化为 2+2a= 在（0，+）上有解
36、，求出 a 的范围即可；（2 ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，问题转化为证明 x1lnx1+1a ，令 h（x）= x+xlnx+1，x （0，1） ，根据函数的单调性证明即可【解答】 （1）解：因为 f（x）= 2a，x 0，因为函数 y=f（x ）存在与直线 2xy=0 平行的切线，所以 f（x）=2 在（0，+上有解，即 2a=2 在（ 0，+）上有解，也即 2+2a= 在（0，+）上有解，所以 2+2a0，得 a1，故所求实数 a 的取值范围是（1 ，+） ；20 页（2 ）证明：因为 g（x）= x2+lnx2ax，因为 g（ x）= ，当1a1 时，g（x）单调递增无极值点
37、，不符合题意，当 a1 或 a1 时，令 g（ x）=0，设 x22ax+1=0 的两根为 x1 和 x2，因为 x1 为函数 g（x）的极大值点，所以 0x 1x 2，又 x1x2=1，x 1+x2=2a0，所以 a1，0 x 11 ，所以 g（ x1）= 2ax1+ =0，则 a= ，要证明 + a，只需要证明 x1lnx1+1a ，因为 x1lnx1+1a =x1lnx1 +1= x1+x1lnx1+1，0x 11，令 h（x）= x+xlnx+1，x（0 ，1） ，所以 h（x）= +lnx，记 p（x）= +lnx，x （0，1） ，则 p（x）=3x+ = ，当 0x 时， p（x
38、）0，当 x 1 时，p（x）0 ，所以 p（x） max=p（ ）= 1+ln 0 ，所以 h（x）0，所以 h（x）在（0，1）上单调递减，所以 h（x）h（1）=0，原题得证【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，是一道综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （ 10 分） （ 2016 秋赣州期末）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的方程为 y= x，曲线 C 的参数方程为（ 是参数， 0） 以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1 ）分别写
39、出直线 l1 与曲线 C 的极坐标方程；（2 ）若直线 =0，直21 页线 l1 与曲线 C 的交点为 A，直线 l1 与 l2 的交点为 B，求|AB|【分析】 （1）根据 tan= 可得直线 l1 极坐标利用 x=cos，y=sin 带入可得曲线 C 的极坐标方程（2 ）由题意，设 A（ 1， 1） ，联立方程组求解，同理，设利用直线的极坐标的几何意义求解即可【解答】解：（1）直线 l1 的方程为 y= x，可得：tan= = ，直线 l1 的极坐标方程为 曲线 C 的普通方程为（x 1） 2+y2=3，又x=cos， y=sin，所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos2=0（0）（2 ）
40、由题意，设 A（ 1， 1） ，则有 ，解得：设 B（ 2， 2） ，则有 ，解得：故得|AB|=| 12|=5【点评】本题主要考查了参数方程，极坐标方程的转换，以及利用极坐标的几何意义求解长度问题属于基础题选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 0 分）23 （ 2016 秋赣州期末）设实数 a，b 满足 a+2b=9（1 ）若|9 2b|+|a+1|3 ，求 a 的取值范围；（2 ）若 a，b 0，且 z=ab2，求 z 的最大值【分析】 （1）由条件原不等式变为 |a|+|a+1|3，对 a 讨论，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；（2 ）方法一、由 a，b 0，且 z=ab2
41、=abb，运用三元基本不等式，即可得到得到最大值；方法二、由条件可得 a=92b，求得 b 的范围，求出 z 关于 b 的函数，求出导数，单调区间，可得极大值，且为最大值【解答】解：（1）由 a+2b=9 得 a=92b，即|a|=|9 2b|，若|92b|+|a+1|3，则|a |+|a+1|3，22 页即有 或 或 ，解得 0a 1 或 2a 1 或1 a0，解得2a1 ，所以 a 的取值范围为（ 2，1） ；（2 ）方法一、由 a，b 0，且 z=ab2=abb（ ） 3=（ ） 3=33=27，当且仅当 a=b=3 时，等号成立故 z 的最大值为 27方法二、a+2b=9，可得 a=92b，由 a0，可得 0b ，z=ab2=（92b） b2=9b22b3，z 的导数为 z=18b6b2=6b（3b） ，可得 0b 3，导数 z0，函数 z 递增；3 b 时，导数 z0，函数 z 递减则 b=3 处函数 z 取得极大值，且为最大值 27【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查基本不等式的运用，注意变形、运用三元不等式，同时考查导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题
