1、上海市崇明区 2018 届高三第一次模拟考试数学试卷 2018.12一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 计算： 20lim31n 2. 已知集合 |Ax， 1,023B，则 AB 3. 若复数 z满足 2iz，其中 i为虚数单位，则 z 4. 281()x的展开式中含 7项的系数为 （用数字作答）5. 角 的终边经过点 (4,)Py，且 3sin5，则 tan 6. 在平面直角坐标系 xO中，已知抛物线 24yx上一点 P到焦点的距离为 5，则点 P的横坐标是 7. 圆 240xy的圆心到直线 350的距离等于 8. 设一个圆锥的
2、侧面展开图是半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积等于 9. 若函数 2()log1xaf的反函数的图像经过点 (,7)，则 a 10. 2018 年上海春季高考有 23 所高校招生，如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取，那么不同的录取方法有 种11. 设 ()fx是定义在 R上的以 2 为周期的偶函数，在区间 0,1上单调递减，且满足1f， 2f，则不等式组 1()2xf的解集为 12. 已知数列 na满足： 10；对任意的 n*N，都有 1na成立.函数 ()|si()|nnfx， 1,nxa满足：对于任意的实数 0,)m， (nfxm总有两个不同的根，则 的通项公式是 二. 选择题（
3、本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 若 0ab，则下列不等式恒成立的是（ ）A. 1 B. ab C. 2ab D. 3ab14. “ 2p”是“关于 x的实系数方程 210xp有虚根”的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要15. 已知向量 a、 b、 c满足 0abc，且 22abc，则 ab、 c、 a中最小的值是（ ）A. B. C. D. 不能确定的16. 函数 ()fx， 2()gx，若存在 129,0,nx，使得121 1( )()()(nn nffggxf，则 的最大值是（ ）A. 11 B. 13 C. 14 D.
4、18三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，设长方体 1ABCD中， 2ABC，直线 1与平面 所成的角为 4.（1）求三棱锥 1的体积；（2）求异面直线 AB与 C所成角的大小.18. 已知函数 23()cosincosfxx.（1）求函数 的单调递增区间；（2）在锐角 ABC中，角 、 、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 1()2fA， 3a， 4b，求 的面积.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 25 万元1600 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y（单位：万元）随投资收益 x（单位
5、：万元）的增加而增加，奖金不超过 75 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%.（即：设奖励方案函数模型为 ()yfx时，则公司对函数模型的基本要求是：当 25,160x时， ()f是增函数； 75恒成立； ()5xf恒成立.）（1）判断函数 ()103xf是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数 5ga（ ）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a的取值范围.20. 已知椭圆2:1xyab（ 0a）， 1B、 2分别是椭圆短轴的上下两个端点， 1F是椭圆左焦点， P是椭圆上异于点 、 2的点， F是边长为 4 的等边三角形.（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线 1B的
6、一个方向向量是 (1,)时，求以 1PB为直径的圆的标准方程；（3）设点 R满足： ， 2RB，求证： 2与 12RB面积之比为定值.21. 已知数列 na、 b均为各项都不相等的数列， nS为 a的前 n项和，1nabS（ *N）.（1）若 ， 2n，求 4a的值；（2）若 na是公比为 q（ 1）的等比数列，求证：数列 1nbq为等比数列；（3）若 的各项都不为零， nb是公差为 d的等差数列，求证： 2a、 3、 、 na、 成等差数列的充要条件是 2d.崇明区 2018 学年第一次高考模拟考试数学学科参考答案与评分标准一、填空题1.13； 2. 0,1； 3. 12i； 4. 56；
7、5. 34； 6. ；7.2； 8. ； 9. 6； 10. 8； 11. 2,8； 12. (1)2na.2、选择题13. D； 14. B； 15. ； 16. C3、解答题17. 解：（1）联结 AC，因为 BD平 面 ，所以 1就是直线 1与平面 ABC所成的角，2 分所以 4AC，所以 24 分所以 111433BDABDVS7 分（2）联结 ，因为 1/C，所以 1/C所以 BA就是异面直线 AB与 1所成的角或其补角3 分在 1D中，2221(3)()()cos 3所以 1arBA6 分所以异面直线 与 1C所成角的大小是 2arcos37 分18. 解：（1） 2()cosin
8、3fxx13sin2cosin(2)3xx3 分由 ,kkZ，得： 51212kxk所以函数 ()fx的单调递增区间是 ,Z6 分（2） 1sin2)3A因为 (0,，所以 4(,)3A所以 56， 2 分由22cosbcaA，得： 21c5 分因为 BC 是锐角三角形，所以 6 分所以 的面积是 1sin422ABCSbc8 分19. 解：（1）因为 5()06f，即函数 ()fx不符合条件所以函数 不符合公司奖励方案函数模型的要求5 分（2）因为 1a，所以函数 ()gx满足条件，2 分结合函数 ()gx满足条件，由函数 满足条件，得： 16057a，所以 2a4 分由函数 ()满足条件，
9、得： 5xa对 25,恒成立即 5xa对 2,160恒成立因为 x，当且仅当 5x时等号成立7 分所以 2a8 分综上所述，实数 的取值范围是 1,2a9 分20. 解：（1）2164xy4 分（2）由题意，得：直 线 1PB的 方 程 为 2yx1 分由 2164yx，得：21605,xy3 分故所求圆的圆心为 84(,)5，半径为 8254 分所以所求圆的方程为： 2241()xy5 分（3） 设直线 1PB， 的斜率分别为 ,k，则直线 1PB的方程为 2ykx由 R， 直线 1R的方程为 ()0xy将 2ykx代入264y，得 26kkx，因为 P是 椭 圆 上 异 于 点 12B，
10、的 点 ， 所 以 P2143 分 所以 4Pykxk 4 分由 2RB，所以直线 2RB的方程为 42ykx由 ()04kyx ，得 1x 6 分所以 12 20641PBRkSx 7 分 21.解：（1）由 1,2nab，知 234,6,8aa.4 分（2）因为 1nnS，所以当 时， 1ab，-得，当 2时， 1nnna，所以11nnnbbaq，3 分所以1nnbbqq，5 分又因为0n（否则 n为常数数列与题意不符） ，所以 1nbq 为等比数列。6 分（3）因为 nb为公差为 d的等差数列，所以由得，当 2n时， 1nnnabda,即 1naa，因为 n， b各项均不相等，所以 0,所以当 2n时， 1nd,当 3时，11nba,由-，得当 时111nnnbda,3 分先证充分性：即由 2d证明 23,n 成等差数列,因为1，由得11nna,所以当 3n时，11nn,又 0a，所以 1naa即 23, 成等差数列.5 分再证必要性：即由 23,na 成等差数列证明12d.因为 23,n 成等差数列，所以当 3时， 11nnaa,所以由得，11 11nnn ndaa 所以12d，7 分所以 23,na 成等差数列的充要条件是12d.8 分
