1、高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章 集合与简易逻辑专题讲解一 、 集合的概念、运算与不等式1在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言） ，并会用集合语言准确地叙述。2特别要注意在集合中表示关系的两类符号、 与 、 的区别，元素与集合间的从属关系用、 表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用 、 、 、 、=表示.3给定两个集合 A，B，它们的运算意义为：AB= ，AB=Bx且，C SA= .这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧x或 x且,密相连的， “且”表示两条件要同时成立， “或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的
2、基础.集合的运算有时要用关系：Cs(AB)=（C sA）（C sB） ，C s（AB ）= （C sA）（ CsB） ，与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表 19.4集合 M= 的子集个数为 2n，真子集个数为 2n1，非空子集个数为na,22n1，非空真子集个数为 2n2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表 1命题 或 且 否定 蕴涵 等价 集合 并集 交集 补集 C 子集 相等=关键字词或 且 非 若则 当且仅当必须且只须自反性 AA=A AA=A CU(CU)A=A A A 真子集无A=A对称性
3、AB=BA AB=BA CBA=CAB A=A 若 A=B 则B=A传递性 若A B，B C若A=B，B=C ，A=则 A CC结合律 (AB) C=A(BC)(AB) C=A(BC)分配律 (AB) C=(AC)(BC)(AB) C=(AC)(BC)摩根律 CU(AB)=(C UA)(C UB)CU(AB)=(C UA)(C UB)【例 1】 已知集合 M= ，N= ，则 MN=（ Rxy,12Rxy,1）A （0，1） （1，2） B ),(0C Dy或 1y分析 集合 M、N 是用描述法表示的，元素是实数 y 而不是实数对（x，y） ，因此M，N 分别表示函数 y=x2+1（xR） ，y
4、=x+1 （xR）的值域，求 MN 即求两函数值域的交集.解 M= = ，N= = .y,121yRxy,1yMN= = ，故选 D.说明（1）本题求 MN.经常发生解方程组 得 或 从而选 B12xy0y21x错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上 M，N 的元素是数而不是点，因此 M、N 是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分， ， 这三个集合是不同Rxyx,1Rxy,12Rxy,1),(2的.【例 2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）0 ；（2）00 ；（3） ；（4）a ；（
5、5）= ；（6） ；（7） ；（8） ，其中正确的是（ ）A （2） （3） （4） （8） B （1） （2） （4） （5）C （2） （3） （4） （6） D （2） （3） （4） （7）分析 依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解 （1）应为 0 ；（2） （3） （4）正确，排除 B，再看（6） （7） （8）哪个正确，由 是 的子集，因此（8）正确，故选 A.说明 0 与 只有一种关系：0 ；R 与 ； 与 也只有一种关系：00.【例 3】 已知集合 A= ，若 AR +=，则实数 m 的xmx,1)2(2取值范围是_.分析 从方程观点看，集合 A 是关于 x 的实系数
6、一元二次方程 x2+(m+2)x+1=0 的解集，而 x=0 不是方程的解，所以由 AR += 可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于 m 的不等式，并解出 m 的范围.解 由 AR += 又方程 x2+(m+2)x+1=0 无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即 .0)2(4或=(m+2) 240.解得 m0 或4m0，即 m4.说明 此题容易发生的错误是由 AR += 只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为 1，因此方程无零根） ，而把 A= 漏掉，因此要全面正确理解和识别集合语言.【例 4】 已知集合 A= ，B= ，且 AB=A，0232x012ax则
7、 a 值为_.分析 由 AB=A B A 而推出 B 有四种可能，进而求出 a 的值.解 AB=A，B A，A= ，B= 或 B= 或 B= 或 B= .2,112,1若 B=，则令 0 得 a；若 B= ，则令=0 得 a=2，此时 1 是方程的根；若B= ，则令 =0 得 a=2，此时 2 不是方程的根.a ；若 B= ，则令0 得 aR 且 a2，把 x=1 代入方程得 aR，把 x=2,1代入方程得 a=3，综上 a 的值为 2 或 3.说明 本题不能直接写出 B=（） ，因为 a（）可能等于 1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合 B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.
8、【例 5】 命题甲：方程 x2+mx+1=0 有两个根异负根；命题乙：方程 4x2+4(m2)x+1=0 无实根，这两个命题有且只有一个成立，求 m 的取值范围.分析 使命题甲成立的 m 的集合为 A，使命题乙成立的 m 的集合而为 B，有且只有一个命题成立是求 AC RB 与 CRAB 的并集.解 因使命题甲成立的条件是 1=m240，且m0，所以解得 m2，即集合 A=；因使命题乙成立的条件是 2=16(m2) 2160，所以解得 1m3，即集合2mB= .若命题甲、乙有且只有一个成立，则 mA C RB 或 mC RAB，而31AC RB= = ，C RAB= 31或 2= ，所以综上所
9、求 m 的范围是 .m2 31或说明（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示 m 的满园即准备又简明.二、 一元二次方程实根的分布【例 1】关于 x 的方程 3x25x+a=0，实数 a 在什么范围内，一个根大于2，而小于0，另一个根大于 1，而小于 3？解 由题意，a 应满足条件035)3(10)2()()2(22aff解得12a0.【例 2】关于 x 的方程 2x2+3x5m=0，有两个小于 1 的实根，求实根 m 的取值范围.解 二次函数图像是开口向上的抛物线，对称轴 x= ，在 x=1 的左侧.这样抛物线43与 x 轴有两个交点的横坐标都小于 1，所以应满足
10、的条件是：049532)1(mf解得 m1.【例 3】关于 x 的方程 x22tx+t 21=0 的两个根介于2 和 4 之间，求实数 t 的取值范围.解 由题意可知，t 需满足420)1(58)4(322tabttf解得 1t3.说明 讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论（设方程 f(x)=ax2+bx+c=0（ a0）两实根为 x1，x 2）：（1）若 mx 1npx 2 q，则方程系数应同时满足下列不等式组：0)()(22cbqafpnfc特别地，当方程 f(x)=0 有一正根，一负根，即 x10，x 20，则应用 f(0)=c0；若方程 f(x)=0 有一个根大于 k，一个根小于
11、k，则应有 f(k)0.（2）若二次方程 f(x)=0 的两面根在区间（ m，n）内，则应同时满足nabmf20)(特别地，若 f(x)=0 两根都大于 k 时，则有.2,0)(kabf三、 四种命题与充要条件1所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合事实，我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.2命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题是等价的。3充分条件和必要条件是用来区分命题的条件 A 与结论 B 之间的关系的数学概念，若 A B，则称 A 是 B 成立的充分条件；若
12、B A，则称 A 是 B 成立的必要条件；若 AB 成立的充要条件.4由于互为逆否的两个命题是等价的，因此 A B 与B A 等价，可由B A 得 A 是 B 成立的充分条件；又 B A 与A B 等价，可由A B 得出 A 是B 的成立的必要条件.5充要条件的概念对证明问题的方法综合法、分析法起着指导性作用，综合法的特点是由因导果，即由命题的条件出发，寻找命题结论成立的充分条件；分析法的特点是执果索因，即由命题的结论出发，寻找结论成立的充分条件.6判断充要条件问题时，要按以下步骤进行：（1）明确命题中的条件 A 是什么，结论 B 是什么；（2）由条件 A 推导结论 B；若 A B，则 A 不
13、是 B 成立的充分条件，若 AB， A 是 B 成立的充分条件；（ 3）由结论 B 推条件 A，若 B A，则 A 是 B 成立的必要条件，若 B A，则 A 不是 B 成立的必要条件.7 “有且仅有” ， “当且仅当” ， “须且只须”等用语都是指既有充分性又有必要性的.【例 1】 A 是命题 A 的否命题，如果 B 是A 的必要非充分条件，那么B 是 A 的_条件.分析 此题就是要判断B A 和 A B 是否成立，根据必要条件概念及互为逆否的两个命题等价来处理。解 由 B 的A 的必要条件，则有A B，且 B A，由互为逆否等价，得B A 且 A B，因此B 是 A 的充分而非必要条件.说
14、明 解本题须掌握命题的四种形式及其关系，即原命题与逆否命题同真同假.逆命题与否命题同真同假.【例 2】若下列三个方程：x 2+4ax4a+3=0，x 2+(a1)x+a 2=0，x 2+2ax2a=0 中至少有一个方程有实根，试求实数 a 的取值范围.分析 若直接求，须分三大类七种情况，其过程不仅繁杂，而且极易出错，故不宜采用.考虑到“三个方程中至少有一个方程有实根”的否命题为“三个方程都无实根”.设原命题的否命题的范围为 A，则原命题所求 a 的范围即为 CRA.解 若三个方程都无实根 1=(4a)24(4a+3)0 a231 2=(a1) 24a 20 a1 或 a 3=(2a)24(2a
15、)0 2a1A=( ，1)CRA= .2,1三个方程中至少一个方程有实根的 a 的范围为 .23,1说明 由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，所以当一个命题正面入手困难的时候，可以考虑其反面，利用等价转化的思想促使命题转化.巩固练习一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）1. 下列命题正确的是( ) A. 实数集 B. 2121|35xC. D. |35x|2在1 0,1,2；10,1,2；0,1,2 0,1,2； 、 0上述四个关系中，错误的个数是（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个3已知全集 ， ，1|xU1
16、2|xA， ，则（ ）0|2x|A、 B、 C、 D、CUBUBACU4已知集合 ， ，若 ，则实数 应该满足的条件1|xM|txPPMt是（ ）A、 B、 C、 D、1tt1t 1t5下列说法正确的是（ ）A、任一集合必有真子集； B、任一集合必有两个子集； C、若 ，则 A、B 之中至少有一个为空集； D、若 ，则 。6已知集合 P= ，Q= ，那么 等于2|,yxR|2,yxRPQA、 （0，2） ， （1，1） B、 （0，2 ） ， （1，1）C、 1，2 D、 |7若 和 同时成立，则 的取值范围是（ ）|x3|xA、 B、 12213C、 或 D3xxx8不等式 的解集是（ ）0
17、|12|3xA、 | 1 B、 |-2 1 xC、 | D、R9方程 至少有一个负根，则（ ）012xmA、 或 B、 0 10mC、 D、 10 “ ”是“ 或 ”的（ ）32xx4A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件11当 时，关于 的不等式 的解集是（ ）0ax0522axA、 或 B、 或 |x5a|axC、 D、 | |x12不等式 的解集为 R，则 的取值范围是（ ）042xaaA、 B、 16 16C、 D、 0二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13已知集合 A= , ,2,B=2, ,2 且， = ，则 =
18、 ab2aAa14已知全集 U = R，不等式 的解集 A，则 03xCU15不等式 的解集是 )(4x16有下列四个命题：、命题“若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；1xyy、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；、命题“若 1，则 有实根”的逆否命题；m02mx、命题“若 = ，则 ”的逆否命题。AB其中是真命题的是 （填上你认为正确命题的序号） 。三、解答题：（本大题共 4 小题， 36 分）17若 ，且 ，求由实数 a 组成的06|,065|2 axBxA AB集合。18用反证法证明：若 、 、 ，且 ， ，abcR12bax12cy，则 、 、 中至少有一个不小于 0。12czxyz1
19、9解下列关于 的不等式：x、 、0|)1( 0)3)(ax20 已知集合 ， ，312|xP 0)1(|2axxM， ，且 ，求实数 的取值范围。xyN|2N21.我校高中部先后举行了数理化三科竞赛，学生中至少参加一科竞赛的有：数学 807 人，物理 739 人，化学 437 人，至少参加其中两科的有：数学与物理 593 人，数学与化学 371人，物理与化学 267 人，三科都参加的有 213 人，试计算参加竞赛的学生总数。参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B D C D D C B D B B C二、填空题： 13、0 或 14、 或
20、 41 4|x315、 或 16、|x30x三、解答题： 17 解: 当 a=0 时, 6|axB当 a 0 时,0| a ,且 ，3265|2xAABB A =2 或 =3a6a=3 或 a=3综上述实数 a 组成的集合为0，2，3 。18 证明： 假设 、 、 均小于 0，即：xyz- ； 012bax- ； cy-；2z+得 ，0)1()()1(222cbazyx这与 矛盾，0)1(22cba则假设不成立， 、 、 中至少有一个不小于 0。xyz19解下列关于 的不等式：、 。 0|)1(解： 且 |x、 )3)(a解：原不等式化为： 0)3(x、当 时， 其解集为：0R、当 时， 其解
21、集为：a 3|xa、当 时， 其解集为： 或3|、当 时， 其解集为： 或|x、当 时， 其解集为： aR20解：依题意，集合 ， ，312|xP 0)1(|2axxM， ，yN|P3|y由 知 ，MN实数 的取值范围 J 。a31a21.由公式或如图填数字计算Card(A B C)= Card(A)+ Card(B)+ Card(C)- Card(A B) - Card(A C) - Card(C B)+ Card(A B C)=965化化 化化化化213 54158380第二章 函数专题讲解一 复合函数尽管复合函数在课本上只作了简单的介绍，但是复合函数的概念及性质在历年的高考试题中多有涉及
22、，因此有必要对复合函数进行研究.所谓的复合函数，就是由几个基本函数复合而成的函数，例如 y=loga(3x2+5x2)可看作由函数 u=3x2+5x2 与对数函数 y=logau 复合而成的函数，其中， x 是自变量，y 是函数，而 u 为中间变量.一般地，如果有两个函数，y=f(u)，u= (x)，前者的自变量为 u，函数 y，后者自变量为 x，函数为 u，如果将 u= (x)代入 y=f(u)中就得到 y=f (x)，这个以 x 为自变量，y 为函数的函数称为复合函数，其中 u 为中间变量.【例 1】 设 g(x)= （x 0） ，且 fg(x)=2x43x 2+1，求 f( )的值.21
23、3解法 1 先求出 f(x)，由 fg(x)=2x23x 2+1，g(x)= ，有 f( )=2x43x 2+1.21x2x用换元法，令 =t，则 x2= ，于是 f( )=2x43x+1 变成 f(t)= 21xt12 2)1(t+1.t13所以 f( )= +1=1022)31(解法 2 当 g(x)= 时， = ，x 2=3，213于是 f( )=23233+1=10.说明 解法 1 中应用了换元法 .一般来说，在复合函数中通过换元可使函数表达式化简为需要的形式。解法 2 可看人是构造法. 通过取 g(x)= ，构造出 f( )，进而求出其值.32【例 2】已知 f(3)=3x2，求 f
24、1f(x).解 由已知 y=3x2，解得 x= ，于是 f1(x)= ，从而 f1f(x)= =3yx32)(xf=x.3)(x说明 对于形如 f1f(x)的函数是先求逆（即先求反函数）然后再复合.【例 3】讨论函数 y=loga(3x2+5x2)的单调性.解 先求函数定义域，由 3x2+5x20，得 x 或 x2，则函数定义域31（，2）（ ，+） ，设 u=3x2+5x2=3(x+ )2 ，则 u 在（， ）上31654965是减函数，在（ ，+）上是增函数.65当 a1 时，y 是 u 的增函数，故 y=loga(3x2+5x2) 在（，2）上是减函数，在（ ，+）上是增函数， （为什么
25、不为（， ）等）3 65当 0a1 时，y 是 u 的减函数，故 y=loga(3x2+5x2) 在（，2）上是增函数，在（ ，+）上是减函数.说明 研究复合函数常引进中间变量，例如讨论复合函数单调性时，常考查自变量 x增大时，中间变量 u 怎样变化，进一步考查中间变量 u 增大（或减小）时，函数 y 怎样变化.“同增异减”是其中规律.请你再体会其真谛.【例 4】 求函数 y=log (x26x+17)的值域.1解 此函数是对数函数 y=log u 与二次函数 u=x26x+17=(x3) 2+8 的复合.很明显.21u8，不等式两边取以 为底的对数得 log log 8= 3，故函数 y=l
26、og (x26x+17)的21 1值域为 .3,【例 5】 已知函数 f(x)=x+1， (x)= ，g(x)=2 x，求函数 的定义域.)(1xfg解 应先求出函数 的解析式，然后再求其定义域.)(1xf首先求 g1(x). 由 g(x)=2x 得 g1(x)=log2x，于是 g1f(x)=log2f(x)=log2(x+1)，又 (x)= ，所以 = = 。)(xf)(1xf)1(lo2x函数自变量的取值必须满足 即 得 x00)(lg2故函数 的定义域为 x0.)(1xfg【例 6】 已知函数 f(x)=x2 x+k 满足 log2f(a)=2，f(log 2a)=k（a1，且 a1）
27、.（1）求 f(log2x)的最小值及相应的 x 值；（2）求 x 的取值范围，使 f(log2x)f(1)，且 log2f(x)=2f(1) 同时成立.解 （1）先求出函数 f(x)的解析式。由 log2f(a)=2 得 f(a)= 4，于是 f(a)=a2a+k=4由 f(log2a)=k，得(log2a)2(log 2a)+k=k由式得 log2a=0 或 log2a=1，故 a=2，a=1（舍去）.将 a=2 代入式中，得42+k= 4，k=2，于是 f(x)=x2x+2.f(log2x)=(log2x)2log 2x+2=(log2x )2+1 . 当 log2x= ，即 x= 时，
28、f(log 2x)的最1431小值为 1 .43（2）由 有)1(log(2fxf2)(logl2x即 从而 解得 0x1.4002或 10或【例 7】 已知 f(x)=x2+c，且 ff(x)=f(x2+1).（1）设 g(x)=ff(x)，求 g(x)的解析式；（2）设 (x)=g(x)f(x) ，求实数 ，使 (x)在（，1）上单调递减，在（1，0）上单调递增.解（1）g(x)=ff(x)=f(x) 2+c=(x2+c)2+c=x45+2cx2+c2+c.又 f(x2+1)=x4+2x2+c+1，由 g(x)=f(x2+1)，有 x4+2cx2+c2+c=x4+2x2+c+1由待定系数法
29、，得 c=1，故 g(x)=x4+2x2+2；（2） (x)=g(x)f(x)=x 4+(2)x 2+2=(x2+ )2+2 .)(当 =1，即 = 4 时， (x)=(x21)3.2x（1，0）时，x 增大，x 21 减小， (x)=(x21) 2 3 递增；x（，1）时， (x)=(x2 1)23 递减.【例 8】 已知函数 f(x23)=log a (a0，且 a1)26x（1）判断函数 f(x)的奇偶性；（2）若 f(x) loga2x，求 x 的范围.（3）求 f1(x)0，求 x 的取值范围 .解（1）先求出 f(x)的解析式，由已知自变量 x 需满足 0，即 0x 26，换元，2
30、6x令 x23=u，则 f(u)=loga （ 3u3，将 u 改写在 x，则 f(x)u3=loga (3x3.于是 f(x)=log a =loga = log a = f(x) ，所以 f(x)为奇函数.xx3（2）若 f(x) loga2x，则 loga log a2x，(0 x3 .当 a1 时， 即 解得 x3 或 0x1；302x0052x2当 0a1 时， 即 解得 1x .x32x（3）由 y=f(x)=loga (3x3解得 x，得 x (3x31)ya于是 f1(x)= (3f 1(x)3).)x若 f1(x) 0，则3( 0，)xa即 3 从而 即 0a x1.)(xa
31、1x01)(3xa所以，当 a1 时，x0，当 0a1 时，x0.二 抽象函数函数部分有一类比较抽象的习题，它给定函数 f(x)的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或者方程，学生很感棘手.其实这些题目的设计，一般都有一个基本函数做“模特” ，如能正确分析估猜这个模特函数，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类难题就可转化为简易问题为处理。【例 1】设 f(x)是定义在（0， +）上的增函数，且 f( )=f(x)f(y).yx（1）求证 f(1)=0；（2）求不等式 f(x+1)=f( )f(7)的解集;51x（3）求证 f(xn)=nf(x).我们先看该题的解题
32、过程.（1）证 令 x=y=1，则 f( )=f(1)f(1)=0，从而 f(1)=0.1（2）解 f( )=f(x)f(y)，yx不等式 f(x+1)f( )f(7)等价于 f(x+1)(x5)f(7).5x又f(x) 是定义在（ 0，+ ）上的增函数. (x+1)(x5)7，x+10，x50.解之，得 x .6（3）证 f(xy)=f( )=f(x)f( )yx1=f(x)f(1)+f(y)=f(x)+f(y)f(x n)=f(xxxx)=nf(x).n 个从以上例题中的条件：f(x)的定义在（0，+）上的增函数，且 f( )=f(x)f(y) ；yx欲证结论 f(1)=0，f(x n)=
33、nf(x)可猜测 f(x)的模特函数是对对函数 y=logax（a1）.至少可以说，对数函数 y=logax（a1）具有这些基本性质，函数 f(x)是 y=logax（a1）是这些性质存在的充分条件，而回忆对数函数的性质 logaxn=nlogax 是作为 loga(xy)=logax+logay 这一性质为推论而得出的，因此这题的难点，证 f(xn)=nf(x)(nN) 可由证 f(xy)=f(x)+f(y)起步，从而化解了这题的难点.【例 2】定义在实数集 R 上的函数 f(x)，对任意 x，yR，都有 f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)，且 f(0)0.（1）求证：f(0)=1
34、 ；（2）求证 y=f(x)是偶函数；*（3）若顾虑在正常数 c，使 f( )=02求证：对任意 xR，有 f(x+c)=f(x) 成立.试问函数 f(x)是否为周期函数？如果是，指出它的一个周期；如果不是，说明理由.分析 该题的难点在（3）.但从题给条件 x，yR 总有 f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y) 看似像三角函数的和化为积。不规则由同种函数之和化成同种函数之积。故可猜 f(x)=cosx.而f(0)=1 及 f(x)为偶函数又坚信了 f(x)的模特是 cosx，那么 f( )=0 中 c=，cosx 的周期 22c正是欲证题中常数 2c，既然探出周期 2c，证题的思路就豁然
35、了.证 （1 ）令 x=y=0， （旨在得 f(0)代入 f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)，得 2f(0)=2f2(0)，f(0)0，f(0)=1.（2）令 x=0， （旨在得 f(x)）得 f(y)+f(y)=2f(0)f(y)=2f(yf(y)=f(y) 它是偶函数.*（3） f( )=0.（旨在得 f(x0+c)）令 x=x0+ ，y=2c2c则 f(x0+c)+f(x0+ ). （为什么？）解 令 x=x0+c，y=c（佛旨在得 f(x0+2c)）得 f(x0+2c)+f(x0)=2f(x0+c)f(c)=2f(x 0)f(c)f(x 0+2c)=f(x 0)2f(c)+1
36、又令 x=y= 得 f(c)+f(0)=2f( )f( )=0.2c2cf(c)=f(0)= 1.这样（*）式变为 f(x0+2c)=f(x 0)(1)=f(x 0).因此 f(x)是周期函数， 2c 是它的一个周期.从以上两个例子可以看出，利用“模特函数”解起，可以先从题设条件及欲证结论多方面猜想函数 f(x)的模特，以此模特函数为桥梁，联想这模特函数推证出欲证性质的过程，找出证明抽象函数 f(x)其他性质的方法，这种解题方法是在不允许用具体函数代替的基础上将具体函数高度抽象化后的结晶，因此解这类题要求学生的思维性灵活而深刻，要求学生善于透过表象和外部联系，揭露事物的本质和规律，深入地思考问
37、题，系统地、一般地理解问题、预见事物发展的过程，因此“模特函数”解题法是培养学生思维灵活性和深刻性的良好教材.说明 三角函数及周期函数的概念将在高一下册中学习，本例第（3）问暂不作要求.【例 3】函数 y=f(x)定义在 R 上，当 x0 时，f(x)1，对任意 m、nR，有 f(m+n)=f(m+n)=f(m)f(n)，当 m n 时，f(m) f(n).（1）证明 f(x)在 R 上是增函数.（2）若 f(2)=9，解方程f(x) 2+ f(x+3)1=f(1).91分析 根据题给条件可猜测 f(x)的模特函数是 y=ax（a1） ，从而 f(0)=1，又由 f(2)=9，可见 a=3，即
38、 f(x)之一为 3x，欲解（ 2）的方程时，需求出 f(3)及 f(1)，从而易得如下解法.解 （1）为证 f(x)在 R 上是增函数，先设 m=n=0 代入 f(m+n)=f(m)f(n)，得 f(0)=f2(0).f(0)=0 或 f(0)=1.但由题意知 f(0)0 ，否则 f(x+0)=f(x)f(0)=0，f(x)0.其次 f(x)=f( + )=f2( )0，f(x)0.x设 nm，则 f(m)=f(nn+m)=f(n)f(mn) ，mn0，f(m n) 1. =f(mn)1，)(ff(m)f(n)，故为增函数.（2） f(2)=9.f(1+14)=f(1)f(1)=9.f(1)
39、=3. f(3)+f(2)f(1)=93=27.原方程变f(x) 2+ f(3)f(x)1=3，f 2(x)+3f(x)4=0 ，91f(x)=1 或 f(x)=4（舍去）由 f(x)=1，得解为 x=0.【例 4】设函数 f(x)是奇函数，对任意 x，yR ，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=2.且当x0 时，f(x) 0.求 f(x)在 3，上的最大值与最小值.分析 模特函数是 f(x)=2x，欲求函数 f(x)在 3，3上的最值，只要证明函数 f(x)在R 上递减即可.解 设 x1x 20，f(x 1)=f(x2+x1x 2)=f(x2)+f(x1x 2)，f(x 1)
40、f(x2)=f(x1x 2)，x 1x 20，f(x 1x 2)0.因而 f(x1)f(x 2)，即是说 f(x)在（0，+）上为减函数.由于 R 上的奇函数必过原点，又根据奇函数的对称性， f(x)在（，0）上也是减函数. f(x)在 R 上减函数，当然在 3，3上为减函数.而 f(3)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(3)=6.故最小值为6，最大值为 6。三 分类讨论在研究函数问题中的运用分类讨论是中学数学中应用十分广泛的数学思想方法，其实质是一种选择划分的思想。从思维策略上看，它是把要解决的数学问题，分解成可能的各个部分，分解时要保证不重、不漏，通过对各个部分的解决而使问题得到解决
41、的一种求解思路.在运用分类讨论时，应该认真体会为什么要讨论，讨论什么和怎么讨论这三个基本问题.在函数问题研究中，分类讨论思想的运用主要体现在以下两个方面：（1）表示函数关系的解析式中含有参数时，对这种函数性质的研究；（2）对含字母系数的指数方程或对数方程求解时.【例 1】求函数 f(x)= (a0，a1) 的定义域.xa1log2分析 在确定函数 f(x)的定义域时，必须涉及 x 的不等式 logax21 的求解，也要涉及函数 g(x)=logax 的增减性.讨论 g(x)的增减性，应把 a 的取值范围分两部分： a1；0a 1.解 要使函数有意义，x 需满足01log2axa1log2当 a
42、1 时，得 即 x .2x当 0a1 时，得 ， 即 x0.02xa f(x)的定义域当 0a 1 时，为 ；0,当 a1 时，为 ,说明 这里确定函数 g(x)=logax 的增减性是分类讨论的原因，应讨论 a，把 a 的取值范围分成两类（0，1） ， （1，+）.【例 2】 已知函数 f(x)=x2 2ax+3a21 （a0，0x1） ，（1）求函数 f(x)的最大值或最小值；（2）若 f(x)的最小值是 ，求其最大值.87分析 若由 f(x)=(xa) 2+2a21 就认为 f(x)的最小值是 2a21，最大值不存在，是不正确的，因为这里的函数的定义域是0，1 ，而不是（ ，+） ，而且
43、这里的二次函数 f(x)图象的对称轴(x=a)的位置是可变的. 因此，应该讨论直线 x=a 相对于区间0，1 的可能变化.解 （1）f(x)=x 22ax+3a 21=(xa) 2+2a2+1， a0，当 a1 时，由于 f(x)在0 ，1上是减函数，故 f(x)的最大值为 f(0)=3a21，f(x)的最小值为 f(1)=3a22a；当 0a1 时，f(x)的最小值为 f(a)=2a21，f(x) 的最大值为 f(0)，f(1)中的较大者.下面讨论 f(0 )， f(1)的大小关系：若 f(1) f(0)，则 3a22a3a 21，即 a ， 当 0a 时，f(x)的最大值为 f(1)=3a
44、23a；1当 a1，f(x)的最大值为 f(0)=3a21.2（2）由 或873287102a解得 a= .41由于 0 ，故此时 f(x)的最大值为 f( )=3( )2 2( )=2414165说明 （1）对中对 a 作了二次划分，其层次是a0 120a前者以 1 为标准，后者以( )为标准，这种分类讨论的方法叫二级分类，每一级都要求不重、不漏，且两级还不能混淆.当然，若事先作点分析也事以一次分三类作讨论.0a ， a 1，a 1.2【例 3】 已知 f(x)是函数 y=0.32x+3 的反函数，且 f(a)，f(2a)都有意义，试比较 f(2a)与 2f(a)的大小，并说明理由 .分析 不难得到 f(x)=log0.09(x3) ，故 f(2a)=log0.09(2a3)，2f(a)=2log 0.09(a3). 比较（2a3）与(a3) 2 的大小，必须对 a 作出分类讨论，而 a 的取值范围由
