1、第 二 章 函 数 的 概 念 、 基 本 初 等 函 数 ( )及 函 数 的应 用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法( 如图象法、列表法、解析法)表示函数(3)了解简单的分段函数，并能简单应用( 函数分段不超过三段)(4)理解函数的单调性、最大( 小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质2指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点
2、，会画底数为 2，3，10， 的指数函12 13数的图象(4)体会指数函数是一类重要的函数模型3对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10， 的对数函数的图12象(3)体会对数函数是一类重要的函数模型(4)了解指数函数 ya x(a0，且 a1)与对数函数 ylog ax(a0，且 a1)互为反函数4幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数 yx，y x 2，yx 3，yx ，y 的图象，了解它们的变化情况121x5函数与方程结合二
3、次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数6函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用21 函数及其表示1函数的概念一般地，设 A，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有_f(x )和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个_，记作 yf (x)，xA，其中， x 叫做_ ，x
4、的取值范围 A 叫做函数的 _；与 x 的值相对应的 y 值叫做_，其集合f( x)|xA叫做函数的_2函数的表示方法(1)解析法：就是用_表示两个变量之间的对应关系的方法(2)图象法：就是用_表示两个变量之间的对应关系的方法(3)列表法：就是_来表示两个变量之间的对应关系的方法3构成函数的三要素(1)函数的三要素是：_，_，_.(2)两个函数相等：如果两个函数的_相同，并且_ 完全一致，则称这两个函数相等4分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数5映射的概念一般地，设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集
5、合 A 中的_元素 x，在集合 B 中都有_元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射6映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义( 集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_(2)区别：函数是从非空数集 A 到非空数集 B 的映射；对于映射而言， A 和 B 不一定是数集7复合函数一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x) ，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g( x)，其中 yf(u) 叫做复合函数 yf(g(x) 的外层函数，ug(x)叫
6、做yf(g(x)的内层函数自查自纠1唯一确定的数 函数 自变量 定义域 函数值 值域2(1)数学表达式 (2) 图象 (3) 列出表格3(1)定义域 对应关系 值域 (2)定义域 对应关系5任意一个 唯一确定的6(1)映射(2017郑州调研)函数 f(x)ln x 的定义域为( )xx 1 12 A(0，) B(1，)C(0，1) D(0，1) (1，)解：要使函数 f(x)有意义，应满足 解得 x1，故函数 f(x)ln x 的定义域为(1，)故选 B.xx 1 0，x 0，) xx 1 12 (2015陕西)设 f(x) 则 f(f(2)等于( )1 x， x 0，2x， x 0， )A1
7、 B. C. D.14 12 32解：因为20，14所以 f(f(2)f 1 1 .(14) 14 12 12故选 C.(2015全国卷)设函数 f(x) 则 f(2)f(log 212)( )1 log2（2 x）， x1，所以 f(log212)2 (log212)1 2 log266，故 f(2)f(log 212)9.故选 C.(2015全国卷)已知函数 f(x)ax 32x 的图象过点( 1，4)，则 a_.解：由题意知点(1，4)在函数 f(x)ax 32x 的图象上，所以 4a2，则 a2.故填2.(2016浙江 )设函数 f(x)x 33x 21.已知 a0，且 f(x)f(a
8、)( xb)(xa) 2，x R，则实数a_，b_.解：因为 f(x)f(a)x 33x 2a 33a 2，(xb)(xa) 2( xb)(x 22axa 2)x 3(2ab)x 2( a22ab)xa 2b，所以 解得 a2，b1.故填2；1.3 2a b，a2 2ab 0， a3 3a2 a2b，)类型一 求函数的定义域(1)(2015湖北)函数 f(x) lg 的定义域为( )4 |x|x2 5x 6x 3A(2，3) B(2，4C(2，3)(3，4 D(1，3)(3 ，6解：要使函数 f(x)有意义，应满足 所以 则 21 时，y (x1) 2 4，且当 x3，等号成立；4x 1 4当
9、 x0 恒成立，所以函数的定义域为 R.由 y ，得( y2)x 2( y1) xy20.2x2 x 2x2 x 1当 y20，即 y2 时，上式化为 3x00，所以 x0R .当 y20，即 y2 时，因为当 xR 时，方程(y2)x 2( y1)xy20 恒有实根，所以 (y1) 24(y2) 20，所以 1y5 且 y2.故函数的值域为 1，5故填1，5 (4)(2015江西模拟)设 O 为坐标原点，给定一个定点 A(4，3)，点 B(x，0) 在 x 轴的正半轴上移动l(x)表示的长，则函数 y 的值域为_AB xl（x）解：依题意有 x0，l(x) ，（x 4）2 32 x2 8x
10、25所以 y .xl（x） xx2 8x 2511 8x 25x2由于 1 25 ，8x 25x2 (1x 425)2925所以 ，故 0y .1 8x 25x2 35 53即函数 y 的值域是 .故填 .xl（x） (0，53 (0， 53类型三 求函数的解析式(1)已知 f( 1)x2 ，则 f(x)_.x x(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_.(3)已知 f x 2 ，则 f(x)_.(x 1x) 1x2(4)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f 1，则 f(x)_.(1x) x解：(1)( 换元法 )令 1t，则
11、x( t1) 2(t1) ，代入原式得 f(t)( t1) 22(t1)t 21，所以 f(x)xx 21( x1) 故填 x21( x 1)(2)(待定系数法)设 f(x)axb(a0) ，则 3f(x1) 2f (x1)ax5ab，所以 ax5ab2x17 对任意实数 x 都成立，所以 解得 所以 f(x)2x7.故填 2x7.a 2，5a b 17) a 2，b 7.)(3)(配凑法 )f x 2 2 2，所以 f(x)x 22(|x|2)(x 1x) 1x2 (x2 2 1x2) (x 1x)2 故填 x22(|x| 2)(4)(消去法 )在 f(x)2f 1 中，将 x 换成 ，则
12、换成 x，得 f 2f (x) 1，(1x) x 1x 1x (1x) 1x由 解得 f(x) .f（x） 2f(1x) x 1，f(1x) 2f（x） 1x 1，) 23x 13故填 .23x 13【点拨】函数解析式的求法：(1)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(2)待定系数法：已知函数的类型( 如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法(3)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x )，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式(4) 消去法(即函数方程法)：已知 f(x)与 f 或 f(x )
13、之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成(1x)方程组，通过解方程组求出 f(x)(1)已知 f lgx，求 f(x)的解析式(2x 1)(2)已知 f(x)是一次函数，并且 f(f(x)4x3，求 f(x)(3)已知 f(2x1)4x 28x3，求 f(x)的解析式(4)(2015湖南模拟)定义在( 1，1) 内的函数 f(x)满足 2f(x)f (x)lg(x1) ，求函数 f(x)的解析式解：(1)令 1t ，由于 x0，所以 t1 且 x ，2x 2t 1所以 f(t)lg ，即 f(x)lg (x1)2t 1 2x 1(2)设 f(x)axb(a0)，则 f(f(
14、x)f(axb)a(axb)ba 2xabb4x 3，所以 解得 或a2 4，ab b 3， ) a 2，b 1) a 2，b 3. )故所求的函数为 f(x)2x1 或 f(x)2x3.(3)设 2x1t，则 x (t1) ，12所以 f(2x1)f(t)4 8 3t 22t ，所以 f(x)x 22x .12（t 1）212（t 1）(4)当 x(1，1)时，有 2f(x)f (x)lg(x1)x( 1，1)，以x 代替 x 得，2f(x)f(x) lg(x1) 由消去 f(x )得，f(x) lg(x1) lg(1x) ，x(1，1) 23 13类型四 分段函数(1)(2015山东)设函
15、数 f(x) 若 f 4，则 b( )3x b， x 1，2x， x 1.) (f(56)A1 B. C. D.78 34 12(2)(2016江南十校)已知函数 f(x) 若 f(a)5，则 a 的取值集合为( )3 log2（x 1）， x 0，x2 x 1， x 0， )A 2，3，5 B2，3C2，5 D3，5(3)(2017南京模拟)已知函数 f(x) 则不等式 f(x)1 的解集是_x2 1， x 0， （x 1）2， x 0， )解：(1)f 3 b b，若 b1，即 b 时，则 f f 3 b4，解得 b ，不合(56) 56 52 52 32 f(56) (52 b) (52
16、 b) 78题意舍去若 b1，即 b ，则 2 4，解得 b ，符合题意故选 D.52 32 52-b 12(2)令 3log 2(a1)5，得 a5，令 a2a15，得 a3(舍)或 a2，故 a 2，5或由 f(2)(2) 2(2)15，f(3) 3log 224，f (5)3log 245，所以排除 A，B，D.故选 C.(3)当 x0 时，由题意得 11，解得4x0.x2当 x0 时，由题意得(x1) 21，解得 01 时，f( a)log 2(a1)3，即 log2(a1)3，解得 a7，此时 f(6a)f(1) 2 2 2 .故选74A.(3)当 x0，解得 x1 或 x 12C.
17、 D.x|x 12且 x 1 x|x 12且 x 1解：由题意得 解得 x 且 x1.故选 D.2x 1 0，2x2 x 1 0，) 123(2017石家庄一模)已知 f(x)为偶函数，且当 x0 ，2)时，f(x)2sinx，当 x2 ，)时，f(x)log 2x，则 f f(4)等于( )( 3)A 2 B13C3 D. 23解：因为 f f 2sin ，f (4)log 242，所以 f f (4) 2.故选 D.( 3) (3) 3 3 ( 3) 34函数 y x 的值域为( )x 1A(，1 B1，)C. D.( ，54 54， )解：令 t0，则 xt 21，y tt 21 ，当
18、t0 时，y .故选 C.x 1 (t 12)2 54 545已知函数 f(x)5 |x|，g( x)ax 2x (aR) 若 f(g(1)1，则 a( )A1 B2 C3 D1解：因为 g(x)ax 2x，所以 g(1)a1.因为 f(x)5 |x|，所以 f(g(1)f (a1)5 |a1| 1，所以|a 1|0，所以 a1.故选 A.6(2016江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1，1)上，f(x) 其x a， 1 x 0，|25 x|， 0 x 1， )中 aR.若 f f ，则 f(5a)的值是( )( 52) (92)A. B. C D.12 14 2
19、5 18解：由题意 f f a，f f ，所以 a ，则 a ，故 f(5a)f(3)f( 1)( 52) ( 12) 12 (92) (12) |25 12| 110 12 110 351 .故选 C.35 257已知函数 f(x)满足 f log 2 ，则 f(x)的解析式是 f(x)_.(2x|x|) x|x|解：令 t 0，则 x|x| ，所以 f(t)log 2 (log22log 2t) (1log 2t)故填 (1log 2x)2x|x| 2t (2t)12 12 12 128函数 f(x) 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_1ax2 x a解：易知 a0 不合题意当 a0 时，必有 14a 20，即 或 31 的 x 的取值范围是_x 1， x 0，2x， x0， ) (x 12)解：当 x 时，恒成立；当 0x 时，恒成立，当 x 0 时， x0，故 x .故填 12 12 14 14 ( 14， )
