1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的 观看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 21 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和1、 选 择 题1.(2016天 津 高 考 理 科 T5)设 an是 首 项 为 正 数 的 等 比 数 列 ,公 比 为 q,则 “q0,n N*.(1)若 2a2,a3,a2+2 成 等 差 数 列 ,求 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)设 双 曲 线 x2- =1 的 离 心 率 为 en,且 e2= ,证 明 :e1+e2+en .ny
2、a53n143 【 解 题 指 南 】 (1)在 Sn+1=qSn+1 中 ,用 n-1 代 替 n,将 两 式 相 减 判 断 出 数 列 an为 等 比 数 列 ,再结 合 等 差 中 项 求 出 公 比 ,从 而 求 出 an的 通 项 公 式 .(2)先 求 出 数 列 的 通 项 公 式 ,从 而 求 出 数 列en的 通 项 公 式 ,进 而 证 明 不 等 式 .【 解 析 】 (1)由 题 Sn+1=qSn+1 可 知当 n 2 时 ,Sn=qSn-1+1 ,两 式 相 减 可 得 an+1=qan,即 an从 第 二 项 开 始 为 公 比 是 q 的 等 比 数 列 ,当n
3、=1 时 ,代 入 可 得 a1+a2=qa1+1,所 以 a2=q,即 an为 公 比 是 q 的 等 比 数 列 .根 据 2a2,a3,a2+2 成 等 差 数 列 ,由 等 差 数 列 性 质 可 得 2a2+a2+2=3a2+2=2a3,即 2q2-3q-2=0,求解 可 得 q=2 或 q=- ,由 题 q0 可 知 ,q=2,所 以 an=2n-1,n N*. (2)证 明 :由 双 曲 线 的 性 质 可 知 ,en= ,由 (1)可 得 , an是 首 项 为 1,公 比 为 qn2n1的 等 比 数 列 ,故 e2= ,即 q= ,所 以 an为 首 项 为 1,公 比 为
4、 的 等 比 数 列 ,2251a3443通 项 公 式 为 an= (n N*),所 以 en= ,43 2n2n413e1+e2+en1+ ,原 式 得 证 .n2n1n143435.(2016四 川 高 考 文 科 T19)已 知 数 列 an的 首 项 为 1,Sn 为 数 列 an的 前 n 项 和 ,Sn+1=qSn+1,其中 q0,n N*.(1)若 a2,a3,a2+ a3 成 等 差 数 列 ,求 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)设 双 曲 线 x2- =1 的 离 心 率 为 en,且 e2=2,求 .ny 221en【 解 题 指 南 】 (1)利 用 an=Sn
5、-Sn-1,两 式 相 减 ,得 出 数 列 为 等 比 数 列 ,利 用 数 列 的 通 项 公 式 得 出 结论 .(2)先 利 用 双 曲 线 的 离 心 率 得 到 en 的 表 达 式 ,再 解 出 q 的 值 ,最 后 利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 求解 计 算 .【 解 析 】 (1)由 已 知 ,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两 式 相 减 得 到 an+2=qan+1.又 由 S2=qS1+1 得 到 a2=qa1,故 an+1=qan 对 所 有 n 1 都 成 立 .所 以 ,数 列 是 首 项 为 1,公 比 为 q 的 等 比 数 列
6、.n从 而 an=qn-1.由 a2,a3,a2+a3 成 等 差 数 列 ,可 得 2a3=a2+a2+a3,所 以 a3=2a2,故 q=2.所 以 an=2n-1(n N*).(2)由 (1)可 知 ,an=qn-1.所 以 双 曲 线 x2- =1 的 离 心 率 en= .ny 2n12n1aq由 e2= =2 解 得 q= .所 以 ,32n11 2 e1qn =n22 21nqq= n31.6.(2016江 苏 高 考 T20)(本 题 满 分 16 分 )记 U=1,2,100.对 数 列 an(n N*)和 U 的 子集 T,若 T=,定 义 ST=0;若 T=t1,t2,tk,定 义 ST= ,例 如 :T=1,3,66时 ,12ktttaST=a1+a3+a66,现 设 an(n N*)是 公 比 为 3 的 等 比 数 列 ,且 当 T=2,4时 ,ST=30.(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)对 任 意 正 整 数 k(1 k 100),若 T1,2,k,求 证 :ST2SB.122ma综 上 所 述 ,SA 2SB,因 此 SC+SC D 2SD.关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块
