1、53 平面向量的数量积1数量积的概念已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ，记作_，即 ab_，其中 是 a 与 b 的夹角，|a|cos (|b|cos )叫向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的_ab 的几何意义：数量积 ab 等于_2数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律交换律：_；数乘结合律：_；分配律：_(2)常用结论(ab) 2_；(ab)(ab)_ ；a 2b 20_；| |_ .|a| |b| |a| |b|3数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量， 是 a 与 e 的夹角，则ea _.a
2、b_.当 a 与 b 同向时，ab_ ；当 a 与 b 反向时，ab_.特别地，aa_ 或 _.|a| cos _. _.|ab|4数量积的坐标表示设 a(x 1，y 1)， b( x2，y 2)，则ab_； a2_； _.|a|ab_. _.|x1x2 y1y2|自查自纠1. cos ab | a|b|cos 投影 a 的长度 与 b 在 a 的方向上的投影 cos 的乘积|a|b| |a| |b|2(1)abb a (a) b( ab)a( b)(ab)cac bc(2)a 22ab b2 a 2b 2 a0 且 b0 3|a |cos ab0 |a|b| | a|b|a|2 |a|b|a
3、aab|a|b|4x 1x2y 1y2 x y 21 21x 1x2y 1y20 (2016全国卷)已知向量 a(1，m)，b(3，2) ，且(ab) b，则 m( )A8 B6 C6 D8解：向量 ab(4，m2)，由( ab)b 得 43(m2)( 2)0，解得 m8.故选 D.(2016全国卷)已知向量 ， ，则ABC( )BA (12， 32) BC ( 32， 12)A30 B45 C60 D120解：cosABC ，所以ABC 30. 故选 A.BA BC |BA |BC | 32(2015北京)设 a，b 是非零向量， “ab|a|b|”是“a b”的( )A充分而不必要条件B必
4、要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：a b |a|b|cos a， b 若 ab |a|b|， 则 cos a， b 1， 即 a， b 0， 可 得 a b； 若 a b， 则 a， b 0 或 ， 此 时 ab |a|b|或 ab |a|b|.故 “ab |a|b|”是 “a b”的 充 分 而 不 必 要 条 件 故选 A.(2017全国卷)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则| a2b|_.解：|a 2b| 2 .故填 2 .|a|2 4ab 4|b|2 3 3已知 (2，1)，点 C(1，0)，D(4，5)，则向量 在 方向上的投影为_AB AB
5、 CD 解：因为点 C(1，0)，D(4，5) ，所以 (5，5) ，又 (2，1)，所以向量 在 方向上的投影为CD AB AB CD | |cos ， .故填 .AB AB CD AB CD |CD | 1552 322 322类型一 数量积的定义及几何意义(1)若 a，b，c 均为非零向量，则下列说法正确的是_( 填写序号即可)ab ab；|a| |b|abab0；ac bca b；(ab)ca(bc)解：ab cos， 为 a，b 的夹角，则 cos1， 正确；显然正确；错误，如 ab，ac，则|a|b|acbc0，但 ab；错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为 c 的倍数
6、，等式右边为 a 的倍数故填.(2)ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若 2 ，且| | |，则向量 在向量 方向上的投影为( )AB AC AO OA AC BA BC A. B. C3 D32 32 32解：由已知可以知道，ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处，因此ABC 是直角三角形且A ，2又因为| | | |，所以C ，B ，所以 AB ，AC1，故 在 方向上的投影为| |cos .OA CA OC 3 6 3 BA BC BA 6 32故选 A.【点拨】数量积 ab|a|b|cos x 1x2y 1y2(其中两向量夹角为 ，a(x 1，y 1)，b( x2，
7、y 2)其几何意义是：ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos 的乘积在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题(1) (2017北京)设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 mn”是“m n0”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：因为 m，n 是非零向量，所以 mn|m|n|cosm，n0 的充要条件是 cosm，n0.因为 0，则由 mn 可知 m，n 的方向相反， m，n180，所以 cosm，n0，所以“存在负数 ，使得 mn”可推得“mn0” ；而由“m n0” ，可推得“cos m，n0”
8、 ，但不一定推得“m，n 的方向相反” ，故不能推得“存在负数 ，使得 mn” 综上， “存在负数 ，使得 mn”是“mn0”的充分而不必要条件故选 A.(2)已知向量 a(2，1)，b(1，2) ，若 a，b 在向量 c 上的投影相等，且(ca)(cb) ，则向量 c 的坐标52为_解：设 c(x，y )，由已知有 ，ac|c| bc|c|即(ab)c0，即 3xy0，又因为(ca)(c b) ，52即 x2y 2x 3y 0，52联立解得 x ，y ，即 c .12 32 (12，32)故填 .(12， 32)类型二 数量积的基本运算(1)设向量 a，b 满足| ab| ，|ab| ，则
9、ab( )10 6A1 B2 C3 D5解：由|ab| 得 a2b 22ab10，10由|a b | 得 a2b 22ab6，6得 4ab4，所以 ab1.故选 A.(2)已知 e1，e 2 是夹角为 的两个单位向量，ae 12e 2， bke 1e 2，若 ab0，则实数 k 的值为_23解：因为 ab(e 12e 2)(ke1e 2)k e (1 2k )(e1e2)2e ，且| e1|e 2|1，e 1e2 ，所以21 212k(1 2k) 20，解得 k .故填 .( 12) 54 54(3)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC 60 ，则 ( )BD CD A a2 B a2 C
10、. a2 D. a232 34 34 32解：在菱形 ABCD 中， ， ，所BA CD BD BA BC 以 ( ) a 2aa cos60a 2 a2 a2.故选 D.BD CD BA BC CD BA CD BC CD 12 32【点拨】平面向量数量积的四种运算方法：定义法，要注意两个向量的夹角坐标法，引入直角坐标系，明确向量的坐标进行运算利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量运用平方的技巧(1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120，|a| 3，|ab| ，则|b| 等于( )13A5 B4 C3 D1解：向量 a 与 b 的夹角为 120，| a|3，|ab|
11、 ，则 ab|a|b|cos120 |b|，| ab| 2|a| 22a b| b|2.所1332以 1393|b|b| 2，则| b|1(舍去) 或| b|4.故选 B.(2)已知两个单位向量 e1，e 2 的夹角为 ，若向量 b1e 12e 2，b 23e 14e 2，则 b1b2_.3解：b 1b2(e 1 2e2)(3e14e 2)3e 2e 1e28e 32 11cos 86.故填6.21 23(3)(2015四 川 )设 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， | |6，| |4.若点 M，N 满足 3 ， 2 ，则 ( )AB AD BM MC DN NC AM NM
12、A20 B15 C9 D6解： ， ，所以 (4 3 ) (4 3 ) (16 29AM AB 34AD NM CM CN 14AD 13AB AM NM 14 AB AD 112 AB AD 148 AB 2) (1636916)9.故选 C.AD 148类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)已知向量 a(x 1，2) ，b(2，1) ，则 ab 的充要条件是( )Ax Bx112Cx 5 Dx0解：由向量垂直的充要条件得 2(x1) 20，所以 x0.故选 D.(2)(2017全国卷)设非零向量 a，b 满足|ab| |ab|，则( )Aab B|a| |b|Cab D|a| |
13、b|解：因为|ab |ab|，所以 (ab) 2( ab) 2，整理得 4ab0，所以 ab.故选 A.【点拨】两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0，即：两个非零向量 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 abab0x 1x2y 1y20.(1)在直角三角形 ABC 中，已知 (2 ，3)， (1，k) ，则 k 的值为_AB AC 解：当 A90时，因为 ，所以 0.AB AC AB AC 所以 213k0，解得 k .23当 B90 时，因为 ，AB BC 又 (1 ，k)(2，3)( 1，k 3) ，BC AC AB 所以 2( 1)3(k3)0，解得 k .AB
14、BC 113当 C90时，因为 ，所以 1(1)k(k3)0，即 k23k10.所以 k .AC BC 3 132故填 或 或 .23 113 3132(2)已知 a( 3，2)，b( 1，0) ，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为( )A B. C D.17 17 16 16解：由 条 件 得 a b ( 3 1， 2)， a 2b ( 1， 2)，因 为 a b 与 a 2b 垂 直 ， 所 以 ( 3 1， 2)( 1， 2) 0，即 3140，解得 .故选 A.171平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数2注意
15、平面向量的数量积与数的乘法的区别：在数的乘法中，若 ab0，则 a，b 中至少有一个为 0.但在向量的数量积中，由 ab0 不能推得 a0 或 b0，因为当两个非零向量 a，b 垂直时，也有 ab0.应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(a b)ca(bc) 不一定成立3注意向量 0 与实数 0 的区别：0a00，a(a) 0 0，a000；0 的方向是任意的，并非没有方向4注意两个非零向量 a，b 的夹角与 a，b 所在直线的夹角的区别前者的取值范围是0，后者的取值范围是 .0， 25求向量模的常用方法：利用公式 a 2 即|a| 将模的运算转化为向量的数量积|a|2 a26利用平面向量的
16、数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷1若向量 a，b，c 满足 ab 且 ac，则 c(a2b)( )A4 B3 C2 D0解：由 ab 及 ac，得 bc，则 c(a2b)ca2cb0.故选 D.2若向量 a，b 满足|a| |b| 2，a 与 b 的夹角为 60，则| ab|等于( )A2 B2 C4 D122 3 3解：|a b|2|a| 2| b|22|a|b|cos6044222 12，|ab| 2 .故选 B.12 33已知|a| 1， b(0 ，2)，且 ab1，则向
17、量 a 与 b 夹角的大小为( )A. B. C. D.6 4 3 2解：cosa，b ，向量 a 与 b 的夹角在区间0，内，所以向量 a 与 b 夹角的大小为 .故选ab|a|b| 112 12 3C.4设向量 a(1，2)，b(m，1)，如果向量 a2b 与 2ab 平行，那么 a 与 b 的数量积等于( )A B C. D.72 12 32 52解：a2b(12m，4)，2ab( 2m ，3) ，由题意得 3(12m) 4(2m)0，解得 m ，所以12ab1 21 .故选 D.( 12) 525(2015陕西)对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A|ab|a|b| B|
18、ab|a|b|C(ab) 2| ab| 2D(ab)(ab)a 2b 2解：根据数量积的定义 ab |a|b|cosa，b ，所以|a b|a| b|cosa，b| |a|b|，选项 A 中的关系式一定成立；如果选项 B 中的关系式成立，则 |ab| 2|a|b| 2，可得 ab|a|b|，此式不恒成立；根据向量的运算法则可知选项 C，D 中的关系式是恒成立的故选 B.6(2017全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 ( )的最小值是( )PA PB PC A2 B C D132 43解：如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，
19、以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， )，B(1，0)，C(1，0)，设 P(x，y) ，则 (x， y )， (1x，y )， (1x，y)，3 PA 3 PB PC 所以 ( )(x ， y)(2x ，2y)2x 22 ，当 x0，y 时， ( )取得最小PA PB PC 3 (y 32)2 32 32 PA PB PC 值，最小值为 .故选 B.327已知|a| 1， |b|2，a 与 b 的夹角为 60，则 ab 在 a 方向上的投影为_解：由题意知 ab 在 a 方向上的投影为 2.故填 2.（a b）a|a| a2 |a|b|cos60|a|8若向量 a
20、(k，3)，b(1，4)，c(2，1) ，已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是_解：因为 2a3b 与 c 的夹角为钝角，所以(2a3b)c0，即(2k 3，6)(2，1) 0，所以 4k660，所以 k3.又若(2a3b) c ，则 2k312，即 k .92当 k 时，2a3b( 12，6) 6c ，92即 2a3b 与 c 反向综上，k 的取值范围为 .( ， 92) ( 92，3)故填 .( ， 92) ( 92， 3)9已知平面向量 a，b 满足|a| 4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120.(1)计算：|ab|，|4 a2 b|；(2)当 k 为何值时，(
21、a2b)(kab)解：由已知得，ab48 16.( 12)(1)因为|ab| 2a 22abb 2162(16) 6448，所以| ab|4 .3因为|4a2b |216a 216ab4b 2161616(16)464768，所以|4a2b|16 .3(2)因为(a2b)(kab)，所以 (a2b)(k ab) 0，所以 ka2(2 k1)a b2b 20，即 16k16(2 k1)2640，解得 k7.即 k7 时，a2b 与 kab 垂直10已知 (2，1)， (1，7) ， (5，1)，设 C 是直线 OP 上的一点(其中 O 为坐标原点) OP OA OB (1)求使 取到最小值时的
22、；CA CB OC (2)对(1)中求出的点 C，求 cosACB .解：(1)因为点 C 是直线 OP 上一点，所以可设 t .OC OP 所以 t(2，1)(2t，t) 所以 (1 2t ，7t)，OC CA OA OC (5，1)(2 t， t)(52t ，1t)CB OB OC 所以 (12t)(5 2t) (7t )(1t )CA CB 5t 220t125(t2) 28.当 t2 时， 取到最小值此时， (2 t，t)(4， 2)CA CB OC (2)当 (4 ， 2)时， (3，5)， (1，1) ，OC CA CB 所以| | ，| | ，由(1) 知 8，CA 34 CB
23、2 CA CB 所以 cosACB .CA CB |CA |CB | 834 2 41717在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为 2，1，若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，且满足 |BM |BC |，则 的取值范围是_|CN |CD | AM AN 解：以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 AB2，AD1，所以 A(0，0) ，B(2，0)，C(2， 1)，D(0 ，1)设 M(2，b)，N(x ，1)(0x2)，根据题意，b ，所以2 x2(x ，1)， .所以 x1(0 x2)，所以 1 x14，即 1 4.故填1
24、，4AN AM (2，2 x2 ) AM AN 32 32 AM AN 1已知 a，b 是两个单位向量，下列命题中错误的是( )A|a| |b|1Bab1C当 a，b 反向时，ab0D当 a，b 同向时，ab解：因为 a， b 是 两 个 单 位 向 量 ， 即 模 为 1 的 向 量 ， 对 于 A， 有 |a| |b| 1， 则 A 正 确 ； 对 于B， ab |a|b|cos a， b cosa，b ，则 B 错误；对于 C，当 a，b 反向时，有 ab0，则 C 正确；对于D，当 a，b 同向时，有 ab ，则 D 正确故选 B.2(2017兰州模拟)设 xR，向量 a(x，1)，b
25、(1 ，2)，且 ab，则|ab|( )A. B. C2 D105 10 5解：因为 ab，所以 x20x2，所以 ab(3， 1)|ab| .故选 B.103已知向量 a(1，2)，b(2，3) 若向量 c 满足( ca)b，c(ab) ，则 c( )A. B.(79， 73) ( 73， 79)C. D.(73， 79) ( 79， 73)解：不妨设 c( m，n)，则 ac(1m ，2n)，ab(3，1)，由( ca) b 得3(1 m) 2(2n)，由 c(a b) 得 3mn0，联立，解得 故选 D.m 79，n 73.)4(2017东北联考) 已知向量 a，b 满足(a2b)(5a
26、4b)0，且|a| |b|1，则 a 与 b 的夹角 为( )A. B. C. D.34 4 3 23解：因为(a2b)(5a4b)0 ，|a| b|1，所以 6ab850，即 ab .12又 ab| a|b|coscos ，所以 cos .12因为 0，所以 .故选 C.35(2015广东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， (1 ，2)， (2，1) ，AB AD 则 ( )AD AC A2 B3 C4 D5解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 (1，2) (2，1)(3 ，1)，所AC AB AD 以 231(1) 5.故选 D.AD AC 6如图
27、，AOB 为等腰直角三角形，OA1，OC 为斜边 AB 的高，点 P 在射线 OC 上，则 的最小值为( )AP OP A1 B C D18 14 12解：设| |t0，因为 ，则 ( ) 2 t 2 t ，OP AP OP OA AP OP OP OA OP OP OA OP 22 (t 24)2 18 18当 t 时取等号，所以 的最小值为 .故选 B.24 AP OP 187(2016北京)已知向量 a (1， )，b( ，1)，则 a 与 b 夹角的大小为_3 3解：设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos .ab|a|b| 13 1312 （3）2 12 （3）2 234 32又因为
28、0，所以 .故填 .6 68(2017山东)已知 e1，e 2 是互相垂直的单位向量，若 e1e 2 与 e1 e2 的夹角为 60，则实数 的值是3_解：( e1e 2)(e1e 2) e e1e2e 1e2 e ，3 321 3 2 3| e1e 2|3 （3e1 e2）2 2，|e1 e2| （e1 e2）2 ，1 2所以 2 cos60 ，解得 .3 1 2 1 233另解：坐标化，即化为向量( ，1)与(1 ， )的夹角为 60，易求 .故填 .333 339已知向量 a(1，2)，b(2，2) (1)设 c4ab，求(bc )a；(2)若 ab 与 a 垂直，求 的值；(3)求向量
29、 a 在 b 方向上的投影解：(1)因为 a(1，2)，b(2，2) ，所以 c4ab(4 ，8)(2，2)(6 ，6)所以 bc26260，所以( bc)a0a0.(2)ab(1 ， 2)(2，2)(2 1，22) ，由于 ab 与 a 垂直，所以 212(22 )0，所以 .52(3)设向量 a 与 b 的夹角为 ，向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos .所以|a|cos .ab|b| 12 2（ 2）22 （ 2）2 222 2210已知向量 a(2，2)，向量 b 与向量 a 的夹角为 ，且 ab2.34(1)求向量 b；(2)若 t(1 ，0)，且 bt，c ，其中 A，C
30、是ABC 的内角，若三角形 ABC 的三内角 A，B，C(cosA， 2cos2C2)依次成等差数列，试求|bc |的取值范围解：(1)设 b(x ，y)，由 ab2 知 2x2y2，且|b | 1，ab|a|cos34 222( 22)所以 1.x2 y2由解得 或 ，所以 b( 1，0)或 b (0，1)x 1，y 0 ) x 0，y 1.)(2)因为 A，B ，C 依次成等差数列，所以 B .3因为 bt，且 t(1，0)，所以 b(0，1) 所以 bc (cosA，cosC)，(cosA，2cos2C2 1)所以|b c|2cos 2Acos 2C1 (cos2Acos2C)1 1 c
31、os ，而 A ，12 12cos2A cos(43 2A) 12 (2A 3) (0，23)所以 2A ，cos .3(3，53) (2A 3) 1，12)所以 |bc| 2 ，所以 |bc | .12 54 22 52如图，已知圆 M：(x 4)2(y4) 24，四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形，E，F 分别为边 AB，AD 的中点，当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时， 的取值范围是( )ME OF A. B8，8 82， 82C4，4 D4 ，4 2 2解：因为圆的半径为 2，所以正方形的边长为 2 .因为 .所以2 ME FA ( )ME OF FA OF FA OA AF | |2 ( )2FA OA AF FA OM MA 2FA OM FA MA 2 2FA OM 2 22 | | |cos ， FA OM FA OM FA OM 8cos ， FA OM 所以8 8.故选 B.ME OF
