1、第五章 第 3 讲A 级 基础达标 1(2017 年广西模拟)已知向量 a(3,1)，b(1,3)，c(k，2)，若( ac)b，则向量 a 与向量 c 的夹角的余弦值是( )A B 55 15C D55 15【答案】A2(2017 年吉林模拟)已知 a(2,1) ，b(k，3)，c(1,2)，若( a2b)c，则|b| ( )A3 B3 5 2C2 D532【答案】A3(2017 年南充三模)已知平面向量 a，b 满足 a(ab) 3，且|a|2，|b|1，则向量a 与 b 夹角的正弦值为( )A B 12 32C D12 32【答案】D4(2017 年唐山一模)在ABC 中，B90， (1
2、，2)， (3， )，则 ( )AB AC A1 B1 C D432【答案】A5(2017 年上饶县模拟)已知向量 ， 的夹角为 60，| | |2，若OA OB OA OB 2 ，则ABC 为 ( )OC OA OB A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形【答案】C 【解析】根据题意，由 2 ，可得 2 ，则| |2| |4.OC OA OB OC OB BC OA BC OA 由 ，可得| |2| |2 22 24，故| |2.AB OA OB AB OA OB OA OA OB OB AB 由 (2 ) ，则| |2| |2 22 AC OC OA OA OB OA O
3、A OB AC OA OB OA OA OB 212 ，可得| |2 .在ABC 中，由 | |4， | |2， | |2 ，可得OB AC 3 BC AB AC 3| |2| |2| |2，则ABC 为直角三角形故 选 CAC BC AB 6(2017 年新课标)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a| 2，|b| 1，则|a 2b| _.【答案】2 3【解析】|a2 b|2|a| 24ab 4|b|24421cos 60 412， |a2b| 2 .12 37(2017 年江门一模)a，b 为单位向量，若 |a4b|3 ，则|a4b| _.2【答案】4 【解析】a，b 为单位向量，且|a4
4、b| 3 ，(a4b)22a 28a b16b 218ab1618， 8ab1， (a 4b)2a 28a b16b 21116 16. |a4b|4.8已知|a| 4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120.(1)计算：|ab|，|4 a2 b|；(2)当实数 k 为何值时，(a2b) (kab)?【解析】由已知，得 ab4 8 16.( 12)(1)|ab| 2a 22abb 2162( 16)6448， |ab|4 .3|4a2b| 216a 216ab4b 2161616(16) 464768， |4a2b|16 .3(2)(a 2b)(kab)，(a2 b)(kab)0.ka2(2
5、k1)ab2b 20，即 16k16(2 k1)2640.k7.当 k7 时，a2b 与 kab 垂直9(2017 年盐城三模)设ABC 面积的大小为 S，且 3 2S.AB AC (1)求 sin A 的值；(2)若 C ， 16，求 AC4 AB AC 【解析】(1)设 ABC 的三边长分别为 a，b，c，由 3 2S ，AB AC 得 3bccos A2 bcsin A，得 sin A3cos A12又 sin2Acos 2A1，sin A0，所以解得 sin A .31010(2)由 sin A3cos A 和 sin A ，得31010cos A .1010又 16，所以 bccos
6、 A 16，得AB AC bc16 .10又 C ，所以 sin Bsin(AC )sin Acos Ccos Asin C .4 255在ABC 中，由正弦定理得 ，bsin B csin C解得 c b.104联立，解得 b8，即 AC8.B 级 能力提升10(2017 年汕头模拟)已知 a，b 为平面向量，若 ab 与 a 的夹角为 ，ab 与 b 的3夹角为 ，则 ( )4 |a|b|A B 33 64C D53 63【答案】D 【解析】如图所示，在平行四 边形 ABCD 中， a， b ， ab，BAC ，DAC ，在ABC 中，由正弦定理得 .AB AD AC 3 4 |a|b|s
7、in4sin3 63故选 D11(2017 年连云港校级模拟)在直角ABC 中，BCA90，CACB1，P 为 AB边上的点且 ，若 ，则 的最小值是( )AP AB CP AB PA PB A B 2 22 2 22C1 D 2【答案】B 【解析】直角ABC 中，BCA90，CA CB1， 以 C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴建立直角坐 标系，如 图C (0,0)，A(1,0)，B(0,1)， ( 1,1)，又AB ，0,1， ( ，). (1 ，)，AP AB AP CP ( 1,1 )若 ，1 2 2 .22410，解PB AB AP CP AB PA
8、PB 得 1 1 .0,1， .则 的最小值 是 1 .故选 B22 22 1 22，1 2212定义 a*b 是向量 a 和 b 的 “向量积” ，其长度|a*b|a|b|sin ，其中 为向量 a 与b 的夹角若 u(2,0)，u v(1， )，则|u *(uv) |( )3A B2 3C2 D22 3【答案】D 【解析】u(2,0) ，uv(1 ， )，v(1， )，从而 uv(3， )设 u 与(uv)3 3 3的夹角为 ，则 cos ，从而 sin ，故|u*(uv)| |u|uv|sin uu v|u|u v| 6223 32 122 2 2 .312 313(2017 年深圳调研
9、)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题：p1：|a b|1 0，23)p2：|a b|1 (23，p3：|a b|1 0，3)p4：|a b|1 (3，其中的真命题是( )Ap 1，p 3 Bp 1，p 4Cp 2，p 3 Dp 2，p 4【答案】B 【解析】|a|b|1，且 0，若 |ab| 1，则( ab) 21，a22abb 21，即ab ，cos ab ， ；若|ab| 1，同理求得 ab ，cos 12 ab|a|b| 12 0，23) 12ab ， ，p1，p4 正确故选 B12 (3，14已知ABC 中， ，| |2，且 B ，则 的取值范BC CA CA
10、AB BA BC 3，23 BA BC 围是_【答案】 2，23【解析】因为 ，所以 ( )( )( )0，即 2BC CA CA AB CA BC AB BA BC BC BA BA 2，可得 AB BC由| |2，可得 22 24，设 ABBCa， 则有BC BA BC BA BA BC BC 2a22a 2cos B4a 2 .因为 B ，可得 cos B ，所以 a 2cos 21 cos B 3，23 12，12 BA BC B 2 .2cos B1 cos B 21 cos B 2，2315(2017 年晋中二模)若两个非零向量 a，b 满足|a b|ab| 2|a|，则向量 ab
11、 与ab 的夹角是_【答案】120 【解析】由|ab| |ab| 2|a|，得a22abb 2a 22abb 24a 2，ab0， |b| |a|. (ab)( ab)2|a| 2.设 ab 与3ab 的夹角为 ，cos ，120.a ba b|a b|a b| 1216已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， a ，向量 m( 1,1)，2n ，且 mn.(cos Bcos C，sin Bsin C 22)(1)求角 A；(2)当 sin Bcos 取得最大值时，求角 B 和边 b.(712 C)【解析】(1)由 mncos Bcos Csin Bsin C cos(BC
12、) cos A 0，22 22 22得 cos A .又 A(0，)，故 A .22 4(2)sin Bcos sin B cos(712 C) (B 6) sin B cos B sin ，32 32 3 (B 6)又 B ，所以当 B 时，(0，34) 3sin Bcos 最大(712 C)由正弦定理 ，得 b ，bsin B asin A 3所以 B ，b .3 317(2017 年济宁二模)已知向量 m( cos x，cos x)，n (sin x，cos x)(0)，3函数 f(x)mn 的最小正周期为 .(1)求 的值及函数 f(x)的单调递增区间；(2)在钝角ABC 中，角 A，
13、B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a1，b ，当3f(A)取得最大值时，求边 c.【解析】(1)f(x) cos xsin xcos 2x sin 2x cos 2x sin ，332 12 12 (2x 6) 12f(x)的最小正周期为 ，0， .22 1，即 f(x) sin .(2x 6) 12令 2k2x 2k ，2 6 2解得 k x k ，kZ.3 6函数 f(x)的单调递增区间是 ，kZ. 3 k，6 k(2)f(A)sin ，(2A 6) 12当 2A 2k ，即 A k 时， f(A)取得最大值6 2 60 A ，A .6由正弦定理得 ，即 ，asin A bsin B 112 3sin B解得 sin B ，B 或 B ，32 3 23当 B 时，C ，ABC 是直角三角形，不符合题意，3 2B ，C .ca1.23 6
