1、第四讲 数学归纳法证明不等式学习目标 1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导。2.理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.学习重难点 学习重点：能用数学归纳法证明简单的数学命题和几个经典不等式.学习难点：数学归纳法中递推思想的理解和经典不等式的证明思路.学习过程 一、课前准备关于正整数 n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：（1）验证 n 取 时命题 ( 即 n 时命题成立 ) (归纳奠基） ；（2）假设当 时命题成立，证明当 n=k1 时命题 (归纳递推）.（3）由（1） （2）知，对于一
2、切 n 的自然数 n 命题 ！(结论）0二、新课导学1.用数学归纳法证明恒等式例 1.求证： *111,23422nNnn变式训练 1：求证：22 *(1),35(1)nnN.2. 用数学归纳法证明整除问题例 2. 求证：n 为奇数时，x n+yn能被 x+y 整除.例 3.证明： 能被 6 整除。35()nN变式训练 2：用数学归纳法证明：（1） 7497n能被 264 整除；（2） 121()na能被 21a整除（其中 n，a 为正整数）3. 用数学归纳法证明几何问题例 4.平面上有 个点，其中任何 3 点都不在同一条直线上，过这些点中任(,3)nN意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明
3、你的结论。变式训练 3：（1）平面上有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成 个区域。2()（2）平面内有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n)=n2n 2 个部分.4.用数学归纳法证明不等式例 5. 用数学归纳法证明不等式 .sinsinN例 6已知 x 1，且 x0， ，n 2求证：(1+x) n1+nx。N例 7已知如果 (n为正整数)个正数 12,na 的乘积 12na ,求证： .12a变式训练 4：用数学归纳法证明（1）证明: 2211(,2).3nN （2） 已知 ，求证： .,nN134（3）求证： 115(2,)236n（4）求证： ()n（5）求证： ，其中 ，且 2e1N5.归纳猜想与证明例 8.已知函数 , 设数列 na满足 11,()nnaf，3()(1)xfnb满足 *2|, ()nnaSbbN（1）用数学归纳法证明 ； （2）证明 .1(3)nn23nS例 9. 已知数列 的各项都是正数，且满足na01,(4),2nnaaN（1）求证 ； （2）求数列 的通项公式 .12,Nn
