1、第二讲 证明不等式的基本方法学习目标 1理解并掌握证明不等式的基本方法-比较法2.会利用综合法和分析法证明不等式 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆3会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式学习重难点 学习重点：用综合法和分析法证明不等式 奎 屯王 新 敞新 疆学习难点：用反证法、换元法与放缩法证明不等式学习过程 一、课前准备1绝对值三角不等式： 定理 1：如果 ,abR, 那么 |abb. 当 且仅当 时, 等号成立.定理 2：如果 c, 那么 |cc. 当且仅当 时, 等号成立.2. 含绝对值不等式的解法：设 a为正数, 则（1） _. (2) _. ()fxa()fxa设 0b
2、, 则 _.b3实数大小必较法则： a0a 0ba二、新课导学（一）比较法例 1.证明下列不等式(1)设 ba，求证： )(232baa.(2)若实数 1x，求证： .)1()(3242xx(3)已知 ，求证：,abcR2abccab例 2设 ，求证：0,1axlog(1)log(1)aax例 3设 .1,0,12)( qpxf求证：对任意实数 ba，恒有 ).()(qbpafbaf例 4.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 1v行走，另一半时间以速度 2v行走；乙有一半路程以速度 1v行走，另一半路程以速度 2行走. 如果12v，问甲、乙两人谁先到达指定地点.（二）
3、综合法与分析法1. 重要不等式：如果 ,abR, 那么 2ab. 当且仅当 ab时, 等号成立.2.均值不等式：（1）如果 , 那么 . 当且仅当 时, 等号成立.如果 ,abR,那么22abba当且仅当 ab时, 等号成立.(2)如果 ,c, 那么 3c, 当且仅当 c时, 等号成立.3 常用推论： 20a; ; 12(0)a; 2(0)ab;例 1 ,bc已 知 且 不 全 相 等 2)6bccabc求 证 :例 2已知 ，且 ，求证：12,naR 12na 12()()2naa例 3已知： ，求证： ,0abc22abcabc例 4 （1） 证明： .)()( 222bdaccba （2
4、）已知 ,0,yxx求证 .41yx例 5求证（1） 2736（2）已知： ，且 ，求证：,abRcab22cabcab（3）已知： ，求证：0,116（三）反证法与放缩法1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.例 1 （1）若 x, y 0，且 x + y 2，则 xy1和 中至少有一个小于 2。（2）设二次函数 qpf2)(，求证： )3(,2)(ff中至少有一
5、个不小于.（3）已知 a+b + c ， ab + bc + c ， abc 0，求证： a, b , c 00.02放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小。由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：添加或舍去一些项，如： a12， ， (1)n将分子或分母放大（或缩小）如： ()n应用不等式：“若 0ab， 0m，则 ”b利用基本不等式，如： （ ） 2 .lg35 2lg4利用函数的单调性利用函数的有界性：如： sinx 1R； 绝对值不等式： ab ab；利用常用结论：如： 221kkk*,1Nk，1应用贝努利不等式： 2()() .1n nnxxx例 2
6、 （1）若 a, b, c, dR+，求证：abcdabac（2）已知： ，求证： .321321nnN（3）已知： ，求证： .b,bR例 3 （1）设 n为大于 1 的自然数，求证： .213121nnn（2）若 是自然数，求证： .32（3）已知： ，求证： 221,N（4）已知： 求证： nnn（四）换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：（1）已知 22ayx，可设 ， ；（2）已知 1，可设 ， ( 10r)；（3）已知 2ba，可设 ， .例 1设实数 ,xy满足 22()1y，当 xyc时， 的取值范围是（ ） .A) .B, .C21,) .D(,21例 2 （1）已知 2，求证： 22aa（2）已知 1 2xy ，求证： 12 2xy 3
