1、第 6 课时 直接证明与间接证明1分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 abc，且 abc0，求证： 0 Ba c0C(ab)(ac)0 D(a b)(a c)0(ac)(2ac)0 (ac)(ab)0.2要证 a2b 21a 2b20 只要证明( )A2ab1a 2b20 Ba 2b 21 0a4 b42C. 1 a2b20 D(a 21)(b 21)0（a b）22答案 D3下列不等式不成立的是( )A. 212 3 2C2 33cos1答案 B4若实数 a，b 满足 abQ BP QCP0，b0，ab1，则下列不等式不成立的是( )Aa 2b 2 Bab 12 14C. 4 D.
2、11a 1b a b答案 D解析 a 2b 2(ab) 22ab12ab12( )2 ，A 成立；a b2 12ab( )2 ，B 成立；a b2 14 4，C 成立；1a 1b a bab 1ab 1（a b2 ）2( )2ab2 12 1， 1，故 D 不成立a b ab ab a b8(2018广东模拟)设 x，y， zR ，ax ，by ，cz ，则 a，b，c 三个数( )1y 1z 1xA至少有一个不大于 2 B都小于 2C至少有一个不小于 2 D都大于 2答案 C解析 假设 a，b，c 三个数都小于 2.则 6abc x y z 2 2 2 6，1y 1z 1x x1x y1y
3、z1z即 66，矛盾所以 a，b，c 三个数中至少有一个不小于 2.9设 a0，b0，求证：lg(1 ) lg(1a)lg(1b)ab12答案 略证明 要证 lg(1 ) lg(1a)lg(1b)，ab12只需证 1 ，ab （1 a）（1 b）即证：(1 )2(1a)(1b)，ab即证：2 ab，ab而 2 ab 成立，ablg(1 ) lg(1a)lg(1 b)ab1210(2017江苏盐城一模)已知 x1，x 2，x 3 为正实数，若 x1x 2x 31，求证： 1.x22x1 x32x2 x12x3答案 略解析 x 1 x 2 x 32 2 2 2(x 1x 2x 3)2， 1.x22
4、x1 x32x2 x12x3 x22 x32 x12 x22x1 x32x2 x12x311(1)设 x 是正实数，求证：(x 1)(x 21)(x 31) 8x 3.(2)若 xR，不等式 (x1)(x 21)(x 31)8x 3 是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的 x 的值答案 (1)略 (2) 成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得x12 ，x 212x，x 312 .x x3故(x1)(x 21)(x 31)2 2x2 8x 3(当且仅当 x1 时等号成立)x x3(2)解：若 xR ，不等式(x1)(x 21)(x 31)8x
5、 3 仍然成立由(1)知，当 x0 时，不等式成立；当 x0 时，8x 30，而(x1)(x 21)(x 31)(x 1)2(x21)(x 2x1)(x1) 2(x21)(x )2 0，12 34此时不等式仍然成立12(2017湖北武汉调研)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，a 35，S 864.(1)求数列a n的通项公式；(2)求证： (n2，nN *)1Sn 1 1Sn 1 2Sn答案 (1)a n2n1 (2)略解析 (1)设等差数列a n的公差为 d，则 解得 a11，d2.a3 a1 2d 5，S8 8a1 28d 64，)故所求的通项公式为 an2n1.(2)证明：由(1
6、)可知 Snn 2，要证原不等式成立，只需证 ，1（n 1）2 1（n 1）2 2n2只需证(n1) 2(n1) 2n22(n21) 2.只需证(n 21)n 2(n21) 2.只需证 3n21.而 3n21 在 n1 时恒成立，从而不等式 (n2，nN *)恒成立1Sn 1 1Sn 1 2Sn13(2015湖南，理)设 a0， b0，且 ab .证明：1a 1b(1)ab2；(2)a2a0 ，b0 ，得 ab1.1a 1b a bab(1)由基本不等式及 ab1，有 ab2 2，即 ab2.ab(2)假设 a2a0 得 00，且 x1 时， f(x) .lnxx 1答案 (1)a1，b1 (
7、2)略解析 (1)f (x) .a（x 1x lnx）（x 1）2 bx2由于直线 x2y30 的斜率为 ，且过点(1，1) ，12故 即f（1） 1，f（1） 12，) b 1，a2 b 12.)解得 a1，b1.(2)由(1)知 f(x) ，所以lnxx 1 1xf(x) (2lnx )lnxx 1 11 x2 x2 1x考虑函数 h(x)2lnx (x0)，则x2 1xh(x) .2x 2x2 （x2 1）x2 （x 1）2x2所以当 x1 时，h(x)0 ，可得 h(x)0；11 x2当 x(1，)时，h(x)0.11 x2从而当 x0，且 x1 时，f(x) 0，lnxx 1即 f(
8、x) .lnxx 11(2017安徽毛坦厂中学月考) 若 a，b，c 是不全相等的实数，求证：a 2b 2c 2abbcca.证明过程如下：因为 a，b，cR，所以 a2b 22ab，b 2c 22bc，c 2a 22ac，又因为 a，b，c 不全相等，所以以上三式至少有一个等号不成立，所以将以上三式相加得 2(a2b 2c 2)2(abbcac)，所以 a2b 2c 2abbcca.此证法是( )A分析法 B综合法C分析法与综合法并用 D反证法答案 B解析 由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义故选 B.2已知 M(1，1)，求证：当 a，bM 时，|ab|0即证(1a 2)(1b 2)0，10，1b 20，(1a 2)(1b 2)0原不等式成立3设数列a n满足 a10 且 1.11 an 1 11 an(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，记 Sn k，证明：S n1.1 an 1n nk 1b答案 (1)a n1 (2)略1n解析 (1)由题设 1，11 an 1 11 an得 是公差为 1 的等差数列11 an又 1，故 n.所以 an1 .11 a1 11 an 1n(2)由(1)得bn ，1 an 1n n 1 nn 1 n 1n 1n 1
