1、第 8 课时 空间向量的应用(二) 空间的角与距离1在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，M 是 AB 的中点，则 sin ， 的值等于( )DB1 CM A. B.12 21015C. D.23 1115答案 B解析 分别以 DA，DC，DD 1为 x，y，z 轴建系，令 AD1， (1，1，1)， (1， ，0)DB1 CM 12cos ， .DB1 CM 1 12352 1515sin ， .DB1 CM 210152已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA 12AB，E 为 AA1的中点，则异面直线BE 与 CD1所成角的余弦值为 ( )A. B.1
2、010 15C. D.31010 35答案 C解析 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设 AA12AB2，则 B(1，1，0)，E(1，0，1) ，C(0，1，0)，D 1(0，0，2) (0，1，1)， (0，1，2) BE CD1 cos ， .BE CD1 1 225 310103若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于( )A120 B60C30 D150答案 C解析 设直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin|cos120 | ，又 090 .30.124(2018天津模拟)已知长方体 ABCDA 1B1C1D1中，
3、ABBC4，CC 12，则直线 BC1与平面 DBB1D1所成角的正弦值为( )A. B.32 52C. D.105 1010答案 C解析 由题意，连接 A1C1，交 B1D1于点 O，连接 BO.在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，ABBC 4，C 1OB1D1.易得 C1O平面 DBB1D1， C1BO 即为直线 BC1与平面 DBB1D1所成的角在 RtOBC1中，OC 12 ，BC 12 ，直线 BC1与平面 DBB1D1所成角的正弦值为 ，故选 C.2 51055.(2018辽宁沈阳和平区模拟) 如图，在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，AB2，BB 14，则直线 BB1与
4、平面 ACD1所成角的正弦值为( )A. B.13 33C. D.63 223答案 A解析 如图所示，建立空间直角坐标系则 A(2， 0，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，4)，B(2，2，0) ，B 1(2，2，4)， ( 2，2，0)，AC ( 2，0 ，4)， (0，0，4)AD1 BB1 设平面 ACD1的法向量为 n(x，y，z)，则 nAC 0，nAD1 0，)即 取 x2，则 y2，z1，故 n(2 ，2，1) 是平面 ACD1的一个法向量 2x 2y 0， 2x 4z 0，)设直线 BB1与平面 ACD1所成的角是 ，则 sin|cosn， | .故选 A.BB1 |nB
5、B1 |n|BB1 | 494 136若正三棱柱 ABCA 1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为( )A. B.35 45C. D.34 55答案 B解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知 B1D平面 ACD，B 1DDC，故B 1DC为直角三角形设棱长为 1，则有 AD ， B1D ，DC ， SB1DC .52 32 52 12 32 52 158设 A 到平面 B1DC 的距离为 h，则有 VAB 1DCVB 1ADC， hSB1DC B1DSADC.13 13 h ， h .13 158 13 32
6、12 25设直线 AD 与平面 B1DC 所成的角为 ，则 sin .hAD 45向量法：如图，取 AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为 2，则有 A(0，1 ，0) ，D(0，0，2)，C(0，1，0) ，B 1( ，0，2)3设 n(x ，y， z)为平面 B1CD 的法向量，则有 n(0 ，2，1)nCD 0，nCB1 0) y 2z 0，3x y 2z 0)sin ，n .AD AD n|AD |n| 457(2018山东师大附中模拟，理) 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，AB CD，ADCD ，AB ，PA ，DAAB，点 Q 在 PB 上，且102
7、 10 6满足 PQQB 13，则直线 CQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为 _答案 13052解析 方法一：如图，过点 Q 作 QHCB 交 PC 于点 H.DAAB，DCAB ，在 RtADC 中，AC .AD2 CD2 5PA平面 ABCD，在 RtPAC 中，PC .PA2 AC2 11取 AB 的中点 M，连接 CM，DC AB，CMAD ，102在 RtCMB 中，CB ，CM2 MB2 5又 PB2 PA2AB 216，PC 2CB 2PB 2，CB PC.QHBC， QHPC.PACB，PA QH.由可得，QH平面 PAC， QCH 是直线 CQ 与平面 PAC 所成的角QH
8、 BC ，HC PC ，CQ ，sin QCH .14 54 34 3114 QH2 HC2 262 QHCQ 13052方法二：以 A 为坐标原点， AD，AB ，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0， 0，0)，P(0 ，0， )，C( ， ，0)，B(0， ，0)，6102 102 10PQ PB，Q(0， ， )，可知平面 PAC 的一个法向量为 m(1，1，0)，又 ( ， ， )，14 104 364 CQ 102 104 364|cos m， | ，故直线 CQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为 .CQ |mCQ |m|CQ | 1305
9、2 130528(2018上海八校联考)如图所示为一名曰 “堑堵”的几何体，已知 AE底面BCFE， DFAE，DFAE 1，CE ，四边形 ABCD 是正方形7(1)九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体 EABC 是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由(2)记 AB 与平面 AEC 所成的角为 ，求 cos2 的值答案 (1)略 (2)17解析 (1)AE底面 BCFE，EC ，EB ，BC 都在底面 BCFE 上，AEEC，AE EB，AE BC.四边形 ABCD是正方形，BC AB，BC 平面 ABE.又BE 平面 ABE，BCBE ，
10、四面体 EABC 是鳖臑，AEB，AEC， CBE， ABC 为直角(2)AE1，CE ，AE EC，7AC2 ，又 ABCD 为正方形2BC2 ， BE .3作 BOEC 于 O，则 BO平面 AEC，连接 OA，则 OA 为 AB 在面 AEC 上的射影BAO，由等面积法得 BEBCECOB.OB ，sin ，cos2 12sin 2 .327 OBAB 217 17提示 本题也可用向量法求解9.(2016课标全国，理)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明：MN 平面 PA
11、B；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值答案 (1)略 (2)8525解析 (1)由已知得 AM AD2.23取 BP 的中点 T，连接 AT，TN.由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN BC2.12又 ADBC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN 平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD，且AE .AB2 BE2AB2 （BC2）2 5以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.由题意知
12、，P(0，0，4)，AE M(0，2，0)，C( ，2，0)，N( ，1，2)， (0 ，2，4)， ( ，1，2)， ( ，1，2)552 PM PN 52 AN 52设 n(x ，y， z)为平面 PMN 的法向量，则 即nPM 0，nPN 0，) 2y 4z 0，52x y 2z 0，)可取 n(0 ，2 ，1)于是|cosn， | .AN |nAN |n|AN | 8525所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 .852510如图所示，在四棱台 ABCDA 1B1C1D1中，AA 1底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，BAD120，ABAA 12A 1B12.(1)若
13、M 为 CD 中点，求证： AM平面 AA1B1B；(2)求直线 DD1与平面 A1BD 所成角的正弦值答案 (1)略 (2)15解析 (1)四边形 ABCD 为菱形， BAD120 ，连接 AC，如图，则ACD 为等边三角形，又 M 为 CD 中点， AMCD，由 CDAB，得 AMAB，AA1底面 ABCD，AM 平面 ABCD，AMAA 1，又 ABAA 1A，AM平面 AA1B1B.(2)四边形 ABCD 为菱形， BAD120 ，ABAA 12A 1B12，DM1，AM ， AMD BAM90 ，又 AA1底面 ABCD，3以 AB，AM ， AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z
14、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(1， ，0)，D 1( ， ，2)，312 32 ( ， ，2)， (3， ，0)， (2 ，0，2)，DD1 12 32 BD 3 A1B 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则 y x z，令 x1，则 n(1 ， ，1)，nBD 0，nA1B 0，) 3x 3y 0，2x 2z 0，) 3 3 3直线 DD1与平面 A1BD 所成角 的正弦值为sin|cosn， | | | .DD1 nDD1 |n|DD1 | 1511.(2018山西太原一模)如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形
15、 ABCD 是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且 DF2BE2，EF 3.(1)证明：平面 ACF平面 BEFD；(2)若二面角 AEF C 是直二面角，求直线 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值答案 (1)略 (2)12解析 (1)四边形 ABCD 是菱形， ACBD.BE平面 ABCD， BEAC，BDBEB， AC平面 BEFD，平面 ACF平面 BEFD.(2)设 AC 与 BD 的交点为 O，由(1)得 ACBD，分别以 OA，OB 为 x 轴和 y 轴，过点 O 作垂直于平面ABCD 的直线为 z，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，BE平面 ABCD， BEBD，DF
16、 BE，DFBD，BD2 EF2(DFBE) 28， BD2 .2设 OAa(a0)，则 A(a，0，0) ，C(a ，0，0) ，E(0 ， ，1)，F(0， ，2) ， (0，2 ，1)，2 2 EF 2(a， ，1)， (a， ，1)AE 2 CE 2设 m(x 1，y 1，z 1)是平面 AEF 的法向量，则 即mEF 0，mAE 0，) 22y1 z1 0， ax1 2y1 z1 0，)令 z12 ，m( ，1， 2 )是平面 AEF 的一个法向量，232a 2设 n(x 2，y 2， z2)是平面 CEF 的法向量，则 即 令 z22 ，nEF 0，nCE 0，) 22y2 z2
17、0，ax2 2y2 z2 0，) 2n ( ，1，2 )是平面 CEF 的一个法向量，32a 2二面角 AEFC 是直二面角， mn 90，a .18a2 2BE平面 ABCD，BAE 是直线 AE 与平面 ABCD 所成的角，AB 2，tan BAE .OA2 OB2BEAB 12故直线 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .121.(2017山西临汾一模)如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是( )A90 60C45 30答案 B解析 将其还原成正方体 ABCDPQRS，显然 PBSC， ACS 为正三角形， AC
18、S60 .2.(2018成都一诊)如图，正四棱锥 PABCD 的体积为 2，底面积为 6，E 为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平面 PAC 所成的角为( )A60 B30C45 D90答案 A解析 如图，正四棱锥 PABCD 中，根据底面积为 6 可得，BC .连接 BD，交 AC 于点 O，连接 PO，6则 PO 为正四棱锥 PABCD 的高，根据体积公式可得， PO1.因为 PO底面 ABCD，所以 POBD ，又 BDAC，PO ACO ，所以 BD平面 PAC，连接 EO，则BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的角在 RtPOA 中，因为 PO1，OA ，所以 PA2，OE
19、3PA1，在 RtBOE 中，因为 BO ，所以 tanBEO ，即BEO60 .12 3 BOOE 33.如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且AF ADa，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( )12A. B.23 33C. D.63 13答案 C解析 设 GB 与平面 AGC 所成的角为 .如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则 A(0， 0，0)，B(0，2a ，0)，C(0，2a，2a)，G(a ，a，0)， (a ，a，0)，AG (0，2a，2a) ， (a，a ，0) ，设平面 AGC 的法
20、向量为 n1(x 1，y 1，1)，由 AC BG AG n1 0，AC n1 0) n1(1，1，1)sin .ax1 ay1 0，2ay1 2a 0) x1 1，y1 1) |BG n1|BG |n1| 2a2a3 634已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA 12AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于( )A. B.23 33C. D.23 13答案 A解析 如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 C1O，过 C 作 CHC 1O 于点 H. CH平面 C1BD，BD ACBD AA1ACAA1 A) BD 平 面 ACC1A1CH 平
21、 面 ACC1A1) CH BDCH C1OBDC1O O)HDC 为 CD 与平面 BDC1所成的角5(2018黑龙江大庆实验中学期末) 在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，AB4，点 D 在棱 BB1上，若 BD3，则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为( )A. B.235 23913C. D.54 43答案 B解析 取 AC 的中点 E，连接 BE，如图所示，可得 ( ) ，即 52AD EB AB BD EB AB EB cos42 (为 与 的夹角)，cos ，sin ，tan ，又 BE平3 332 AD EB 235 135 396面 AA1C1C，所求角的正切值为
22、.239136(2016北京东城质量调研) 在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.则 A1B 与平面ABD 所成角的余弦值是( )A. B.23 73C. D.32 37答案 B解析 以 C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，CC 1所在直线为 z 轴，建立直角坐标系，设 CACBa，则 A(a，0，0) ，B(0，a ，0) ，A 1(a，0，2)，D(0，0，1) ， E( ，1)，G( ， )， ( ，a2a2 a3a
23、3 13 GE a6， )， (0，a ，1)，a6 23 BD 点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G， 平面 ABD， 0，解得 a2.GE GE BD ( ， )， (2 ，2，2) ， 平面 ABD， 为平面 ABD 的一个法向量GE 1313 23 BA1 GE GE cos ，A 1B 与平面 ABD 所成的角的余弦值为 .GE BA1 GE BA1 |GE |BA1 |4363 23 23 737(2018太原模拟)在三棱锥 ABCD 中，底面 BCD 为边长是 2 的正三角形，顶点 A 在底面 BCD 上的射影为BCD 的中心，若 E 为 BC 的中点，且直线 A
24、E 与底面 BCD 所成角的正切值为 2 ，则三棱锥 ABCD2外接球的表面积为( )A3 B4C5 D6答案 D解析 顶点 A 在底面 BCD 上的射影为BCD 的中心，而且BCD 是正三角形， 三棱锥ABCD 是正三棱锥， ABACAD.令底面BCD 的重心(即中心) 为 P， BCD 是边长为 2 的正三角形，DE 是 BC 边上的高，DE ，PE ，DP .直线 AE 与底面333 233BCD 所成角的正切值为 2 ，即 tanAEP2 ，AP ，AE 2AP 2EP 2，AD 2，于是2 2263ABACADBCCDDB2，三棱锥 ABCD 为正四面体构造正方体，由面上的对角线构成
25、正四面体，故正方体的棱长为 ， 正方体的体对角线长为 ，外接球的半径为 ，外接球的表面积为 4( )2 662 6226.8(2018江西临海上一中一模) 已知在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，棱长为 1.点 E 是棱 A1B1的中点，则直线AE 与平面 BDD1B1所成角的正弦值是_答案 1010解析 取 AB 的中点为 F，连接 B1F，过点 F 作 FGBD，垂足为 G，连接 B1G，由正方体性质知 BB1FG，BDBB 1B，BD平面 BDD1B1，BB 1平面 BDD1B1，所以 FG平面BDD1B1，故FB 1G 为 FB1与平面 BDD1B1所成的角，所以 FG ，B 1F
26、 ，所以24 52sinFB1G .又因为 AEB 1F，所以直线 AE 与平面 BDD1B1所成角的正弦值是 .2452 1010 10109(2014福建，理)在平面四边形 ABCD 中ABBD CD1，ABBD，CDBD.将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图所示(1)求证：AB CD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值答案 (1)略 (2)63解析 (1)平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AB 平面 ABD，ABBD，AB平面 BCD.又 CD平面 BCD，ABCD.(2)过点 B 在平面 BCD 内作
27、 BEBD，如图所示由(1)知 AB平面 BCD，BE平面 BCD，BD平面 BCD，ABBE，AB BD.以 B 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系BE BD BA 依题意，得 B(0，0，0)，C(1 ，1，0) ，D(0，1，0) ，A(0，0，1)，M ，(0，12，12)则 (1 ，1，0)， ， (0，1，1) BC BM (0，12，12) AD 设平面 MBC 的法向量 n(x 0，y 0，z 0)，则 即 取 z01，得平面 MBC 的一个法向量 n(1，1，1) nBC 0，nBM 0，) x0 y0 0，12y0 12z
28、0 0，)设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ，则 sin |cosn， | ，AD |nAD |n|AD | 63即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 .6310(2017浙江)如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC AD 2DC2CB ，E 为 PD 的中点(1)证明：CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值解析 (1)如图，设 PA 中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EFAD 且 EF AD，12又因为 BCAD ，BC AD，所以 EFBC 且
29、 EFBC，12即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF，因此 CE平面 PAB.(2)分别取 BC，AD 的中点为 M，N. 连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE.由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD.由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD.所以 AD平面 PBN，由 BCAD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD1.在PCD 中，由 PC2，CD1，PD 得 CE ，2 2在PBN 中，由 PNBN1 ，PB 得 QH ，314在 RtMQH 中，QH ，MQ ，14 2所以 sinQMH ，28所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 .28
