1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布1.计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步” ，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题(2)理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题(3)理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题2概率(1)事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别了解两个互斥事件的概率加法公式(2)古典概型理解古典概型及其概率计算公式会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率(3)随机数与几何概型了解随机
2、数的意义，能运用模拟方法估计概率了解几何概型的意义3概率与统计(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列(2)了解超几何分布，并能进行简单应用(3)了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解 n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题(4)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题(5)借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义101 两个计数原理、排列与组合1分类加法计数原理完
3、成一件事，有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法在第 n 类方案中有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法做第 n 步有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 N_种不同的方法3两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法_，用其中_都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题
4、，各个步骤中的方法_，只有_才算做完这件事4两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析是需要分类还是需要分步(1)分类要做到“_”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“_”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要_，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数5排列(1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照_排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数叫做从
5、 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号_表示(3)排列数公式：A _. 这里 n，mN *，并且_mn(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个_，叫做 n 个元素的一个全排列A n(n1)n(n2) 321_ ，因此，排列数公式写成阶乘的形式为 A Error!，这里规定mn0！_.6组合(1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素_，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号_表示(3)组合数公式：C _这里 nN *，m N
6、，并且 mn.mn(4)组合数的两个性质：C _；mnC _.mn 1自查自纠1m 1m 2m n2m 1m2mn3相互独立 任何一种方法 互相依存 各个步骤都完成4(1)不重不漏 (2) 步骤完整 相互独立5(1)一定的顺序 (2) 所有不同排列 A (3)n(n1)(n2)(nm 1) mnmn(4)排列 n！ 1n！（n m）！6(1)合成一组 (2) 所有不同组合 C mn(3) n（n 1）（n 2）（n m 1）m！n！m！ （n m）！(4)C C Cn mn mn m 1n(2016郑州模拟)某项测试要过两关，第一关有 3 种测试方案，第二关有 5 种测试方案，某人参加该项测试
7、，不同的测试方法种数为( )A8 B15 C125 D243解：由分步计数原理知所求为 3515.故选 B.某校学生会由高一年级 3 人，高二年级 3 人，高三年级 4 人组成，现要选择不同年级的两名成员参加市里组织的活动，则共有选法( )A27 种 B33 种 C36 种 D81 种解：由两个计数原理知，所求为 33343433(种) 故选 B.(2016四川)用数字 1，2， 3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A24 B48 C60 D72解：由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1，3，5；分为两步：先从 1，3，5 三个数中选一个作为个位数有 C 种方法，
8、再将剩下的四个数字排列有 A 种方法，则满足条件的五位数有 C A 72 个故选 D.13 4 134(2017 河南五校质量监测改编 )6 名同学排成一排照相，甲不站两端，则不同的站法有 _种解：所求为 A A 480 种故填 480.145现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种解：按 AB CD 顺序分四步涂色，共有 432248(种) 故填 48.类型一 分类与分步的区别与联系甲同学有若干本课外参考书，其中有 5 本不同的数学书，4 本不同的物理书，3 本不同的化学书现在乙同学向甲同学借书，试问：(1)若借一本书
9、，则有多少种不同的借法？(2)若每科各借一本，则有多少种不同的借法？(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？解：(1)因为需完成的事情是“借一本书” ，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情故用分类计数原理，共有 54312(种) 不同的借法(2)需完成的事情是“每科各借一本书” ，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情故用分步计数原理，共有 54360(种) 不同的借法(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书 ”，要分三种情况：借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有 5
10、420(种) 借法；借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有 5315(种) 借法；借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有 4312(种)借法而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20151247(种)不同的借法【点拨】仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关如果完成一件事有 n 类办法，这 n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成 n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成 n 个步
11、骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的 50 位观众的来信，甲箱中有 30 封，乙箱中有 20 封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱剩下来信中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解：幸运之星在甲箱中抽取，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众，根据分步计数原理有30292017 400 种结果幸运之星在乙箱中抽取，有 20193011 400 种结果根据分类计数原理共有不同结果 17 40011 40028 800(种) 类型二 排列数与
12、组合数公式(1)解方程 3A 4A ；x8 x 19(2)解方程 C C C C .x 1 3 x 1 xx 1 x 2解：(1)利用 3A 3 ，4A 4 ，x88！（8 x）！ x 19 9！（9 x 1）！得到 .38！（8 x）！ 49！（10 x）！利用(10x) ！(10x )(9x)(8x)！，将上式化简后得到(10 x)(9x) 43.再化简得到 x219x 780.解方程得 x16，x 213.由于 A 和 A 有意义，所以 x 满足 x8 和 x19.于是将 x213 舍去，原方程x8 x 19的解是 x6.(2)由组合数的性质可得C C C C C C C C ，x 1
13、xx 1 x 2 2x 1 1x 1 4x 2 2x 2 4x 2又 C C ，且 C C C ，x 1 3 2x 3 2x 3 2x 2 1x 2即 C C C C .所以 C C ，1x 2 2x 2 2x 2 4x 2 1x 2 4x 2所以 5x2，x 3.经检验知 x3 符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为 x3.【点拨】(1)应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义(2) 应用组合数性质C C C 时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差 1；左边(相对于右边)下标加 1，上标mn 1 m 1n mn取大使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉
14、越长，又可以从右推到左，越推越短(1)解方程：3A 2A 6A ；3x 2x 1 2x(2)已知 ，则 C _m8解：(1)由 3A 2A 6A 得3x 2x 1 2x3x(x1)( x2)2( x1)x 6x (x1)，由 x0 整理得 3x217x 10 0.解得 x5 或 (舍去)23即原方程的解为 x5.(2)由已知得 m 的取值范围为 m|0m5，m Z， ，整m！ （5 m）！5！ m！ （6 m）！6！ 7（7 m）！ m！107！理可得 m223m420，解得 m21( 舍去)或 m2.故 C C 28.故填 28.m8 28类型三 排列的基本问题5 名男生、2 名女生站成一排
15、照相：(1)两名女生要在两端，有多少种不同的站法？(2)两名女生都不站在两端，有多少种不同的站法？(3)两名女生要相邻，有多少种不同的站法？(4)两名女生不相邻，有多少种不同的站法？(5)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？(6)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？解：(1)两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排：A A 240( 种)；25(2)中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生：A A 2 400( 种)；255(3)把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列：A A 1 440( 种)；62(4)把男生
16、任意全排列，然后在六个空中( 包括两端)有顺序地插入两名女生：A A 3 600(种) ；526(5)七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的：A 2 520( 种)；57(6)采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的 A 个，再去掉女生乙在右端的 A 个，但女生甲6 6在左端同时女生乙在右端的 A 种排除了两次，要找回来一次有 A 2A A 3 720(种) 5 7 6 5【点拨】(1)有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：特殊元素优先考虑；对于相邻问题采用“捆绑法” ，整体参与排序后，再考虑整体内容排序；对于不相邻问题，采用“插空”法，先
17、排其他元素，再将不相邻元素插入空档；对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数(2) 解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种正向思考时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向思考时，从问题的反面入手，然后“去伪存真” 3 名女生和 5 名男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻 )，有多少种排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？解：(1)( 捆绑法 )由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有 6 个元素，排成
18、一排有 A 种排法，而其中每一种排法中，三个女生又有 A 种排法，因此共有 A A 4 320(种) 不同排法6 3 6 3(2)(插空法 )先排 5 个男生，有 A 种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，5有 A 种排法，因此共有 A A 14 400( 种)不同排法36 5 36(3)法一(位置分析法 ) 因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A 种排法，剩余的位置没有特25殊要求，有 A 种排法，因此共有 A A 14 400( 种)不同排法6 25 6法二(元素分析法) 从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A 种排法，其余
19、位置无限制，有 A 种排法，因此36 5共有 A A 14 400( 种)不同排法36 5(4)8 名学生的所有排列共 A 种，其中甲在乙前面与乙在甲前面各占其中的 ，所以符合要求的排法种数为 A812 1220 160(种) 8(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置法一(特殊元素法) 甲在最右边时，其他的可全排，有 A 种；甲不在最右边时，可从余下 6 个位置中任选一7个，有 A 种而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6 个中的任意一个上，有 A 种，其余人全排列，共有 A16 16A A 种由分类加法计数原理，共有 A A A A 30 960( 种)16 16 6 7 16 16 6
20、法二(特殊位置法) 先排最左边，除去甲外，有 A 种，余下 7 个位置全排，有 A 种，但应剔除乙在最右边17 7时的排法 A A 种，因此共有 A A A A 30 960(种)16 6 17 7 16 6法三(间接法) 8 个人全排，共 A 种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有 A 种，乙在最右边时，有 A8 7种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有 A 种因此共有 A 2A A 30 960(种) 7 6 8 7 6类型四 组合的基本问题课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选
21、法？(1)只有 1 名女生；(2)两队长当选；(3)至少有 1 名队长当选；(4)至多有 2 名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解：(1)1 名女生，4 名男生，故共有 C C 350(种) 15 48(2)将两队长作为一类，其他 11 个作为一类，故共有 C C 165(种)2 311(3)至少有 1 名队长当选含有两类：只有 1 名队长和 2 名队长故共有： C C C C 825(种)12 411 2 311或采用间接法：C C 825( 种)513 511(4)至多有 2 名女生含有三类：有 2 名女生、只有 1 名女生、没有女生，故选法为：C C C C C 966(种)
22、25 38 15 48 58(5)分两类：第一类女队长当选：有 C 种选法；412第二类女队长不当选：有 C C C C C C C 种选法14 37 24 27 34 17 4故选法共有：C C C C C C C C 790( 种)412 14 37 24 27 34 17 4【点拨】分类时不重不漏；注意间接法的使用，在涉及“至多” “至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；应防止出现如下常见错误：如对(3) ，先选 1 名队长，再从剩下的人中选 4 人得 C C 825，请同12 412学们自己找错因从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？(
23、1)A，B 必须当选；(2)A，B 都不当选；(3)A，B 不全当选；(4)至少有 2 名女同学当选；(5)选出 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任解：(1)只要从其余的 10 人中再选 3 人即可，有 C 120(种) 310(2)5 个人全部从另外 10 人中选，总的选法有 C 252(种 )510(3)直接法，分两类：A，B 一人当选，有 C C 420( 种)12 410A，B 都不当选，有 C 252(种)510所以总的选法有 420252672(种) 间接法：从 12 人中选 5 人的选法总
24、数中减去从不含 A，B 的 10 人中选 3 人(即 A，B 都当选) 的选法总数，得到总的选法有 C C 672( 种)512 310(4)直接法，分四步：选 2 名女生，有 C C 1035350(种)；25 37选 3 名女生，有 C C 210( 种)；35 27选 4 名女生，有 C C 35(种 )；45 17选 5 名女生，有 C 1(种)5所以总的选法有 350210351596(种) 间接法：从 12 人中选 5 人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即满足条件的选法有 C (C C C )596( 种)512 57 15 47(5)分三步：选 1 男 1 女
25、分别担任体育委员、文娱委员的方法有 C C 35(种)；17 15再选出 2 男 1 女，补足 5 人的方法有 C C 60( 种)；26 14最后为第二步选出的 3 人分派工作，有 A 6(种) 方法3所以总的选法有 3560612 600(种) 类型五 分堆与分配问题按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；
26、(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本解：(1)无序不均匀分组问题先选 1 本，有 C 种选法；再从余下的 5 本中选 2 本，有 C 种选法；最后余下 3 本全选，有 C 种选法16 25 3故共有 C C C 60( 种)16 25 3(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C C C A 360(种)16 25 33(3)无序均匀分组问题先分三步，则应是 C C C 种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步26 24 2取了 AB，
27、第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则 C C C 种分法中还有26 24 2(AB，EF ，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，( EF，CD，AB)，(EF，AB ，CD )，共有 A 种情况，而这3A 种情况仅是 AB，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 15(种) 3(4)有序均匀分组问题在(3)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 A C C C 90( 种)3 26 24 2(5)无序部分均匀分组问题共有 15( 种)(6)有序部分均匀分组问题在(5)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 A
28、90(种)3(7)直接分配问题甲选 1 本，有 C 种方法；乙从余下的 5 本中选 1 本，有 C 种方法，余下 4 本留给丙，有 C 种方法，故共16 15 4有分配方式 C C C 30( 种) 16 15 4【点拨】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为： .对于分堆与分配问题应注意：处理分配平 均 分 堆 到 指 定 位 置堆 数 的 阶 乘问题要注意先分堆再分配；被分配的元素是不同的(像“ 名额”等则是相同元素，不适用) ，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)； 分堆时要注意是否均匀，如 6 分成(2
29、，2，2)为均匀分组，分成(1 ，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组(1)6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法解：先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有 种方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学校，有 A 6 种方法，故 63个毕业生平均分到 3 所学校，共有 A 90 种分派方法故填 90.3(2)(2015广州调研)有 4 名优秀学生 A，B，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙 3 所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有_种解：先把 4 名学生分为 2、1、1 的 3 组，有 6 种分法，再将 3 组分到 3 个学
30、校，有 A 6 种情况，则3共有 6636 种不同的保送方案故填 36.(3)(2015江西模拟改编)若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有_种不同的分法解：将 6 名教师分组，分三步完成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C 种取法；16第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C 种取法；25第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C 种取法36 名教师分组共有 C C C 60 种取法16 25 3再把这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A 6 种分法，3因此共有 606360 种不同的分法故填 3
31、60.类型六 数字排列问题用 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数( 无重复数字)?解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0 在个位时，有 A 个；35第二类：2 在个位时，千位从 1，3，4，5 中选定一个(A 种) ，十位和百位从余下的数字中选，有 A 种，于14 24是有 A A 个；14 24第三类：4 在个位时，与第二类同理，也有 A A 个14 24由分类加法计数原理得，共有 A 2A A 156( 个)35 14 24(2)先排 0，2，4，再让 1，3，5 插空，总的排法共 A A 1
32、44( 种)，3 34其中 0 在排头，将 1，3，5 插在后三个空的排法共 A A 12(种)，此时构不成六位数，2 3故总的六位数的个数为 A A A A 14412132(种)3 34 2 3【点拨】本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件 0 不能在首位(2015山西模拟改编) 用五个数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的自然数，问：(1)四位数有几个？(2)比 3 000 大的偶数有几个？解：(1)首位数字不能是 0，其他三位数字可以任意，所以四位数有 C A 96 个1434(2)比 3 000 大的必是四位数或五
33、位数()若是四位数，则首位数字必是 3 或 4.若 4 在首位，则个位数字必是 0 或 2，有 C A 个数，12 23若 3 在首位，则个位数字必是 0 或 2 或 4，有 C A 个数，13 23所以比 3 000 大的四位偶数有 C A C A 30 个1223 1323()若是五位数，则首位数字不能是 0，个位数字必是 0 或 2 或 4，若 0 在个位，则有 A 个；4若 0 不在个位，则有 C C A 个数，12 13 3所以比 3 000 大的五位偶数有 A C C A 60 个4 12 133故比 3 000 大的偶数共有 306090 个1解答计数应用问题的总体思路根据完成事
34、件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得2排列与组合的区别与联系排列、组合之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行
35、全排列，因此，分析解决排列问题的基本思路是“先选，后排” 3解排列、组合题的基本方法(1)限制元素(位置 )优先法：元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置(2)正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉(3)复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步(4)相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素
36、，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间(5)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余 “普通元素”作全排列，最后再“松绑”将“捆绑”元素在这些位置上作全排列(6)相同元素隔板法：将 n 个相同小球放入 m(mn)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将 n 个相同小球串成一串，从间隙里选 m1 个结点，剪截成 m 段，共有 C 种放法这是针对相同元m 1n素的组合问题的一种方法(7)定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数4解组合问题时应注意(1)
37、在解组合应用题时，常会遇到“至少” “至多” “含”等词，要仔细审题，理解其含义(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法( 或排除法)(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的对于这类问题必须先分组后排列，若平均分 m 组，则分法 .取 法m！1现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A5 6 B6 5C. D654325654322解：因为每位同学均有 5 种讲座
38、可供选择，所以 6 位同学共有 5555555 6 种选法故选 A.2A 10A ，n( )32n 3nA1 B8 C9 D10解：原式等价于 2n(2n1)(2n2)10n(n1)( n2)，n3 且 nN *，整理得 n8.故选 B.3有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A60 种 B70 种 C75 种 D150 种解：从中选出 2 名男医生的选法有 C 15 种，从中选出 1 名女医生的选法有 C 5 种，所以不同的选法共26 15有 15575 种，故选 C.4(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作
39、，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种解：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有 C种方法，然后进行全排列 A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有 C A 36 种方法故选 D.24 3 24 35(2016郑州二模)某校开设 A 类选修课 2 门；B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有( )A3 种 B6 种 C9 种 D18 种解：可分以下两种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有 C C
40、 种不同选法；A 类选修课选 212 23门，B 类选修课选 1 门，有 C C 种不同选法所以根据分类加法计数原理知不同的选法共有：2 13C C C C 639(种) 故选 C.12 23 2 136(2017江西新余第一中学调研) 西部某县将 7 位大学生志愿者(4 男 3 女) 分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多 5 人，则不同的分配方案共有( )A36 种 B68 种 C104 种 D110 种解：分组的方案有 3、4 和 2、5 两类，第一类有(C 1)A 68( 种)；第二类有(C C )A 36(种) ，所以共37 2 27 23 2有 68361
41、04 种不同的方案故选 C.7(2017天津)用数字 1，2， 3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解：本题分两类：一类是一个数字是偶数，三个数字是奇数的四位数有 C C A 960(个)，二类是四个数字14 35 4都是奇数的四位数有 A 120( 个)，所以共有 1 080 个故填 1 080.458(2017浙江)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法(用数字作答 )解：第一步，选出 4 人，由于
42、至少 1 名女生，故有 C C 55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长，48 46副队长各 1 人，有 A 12 种不同的选法根据分步乘法计数原理知共有 5512660 种不同的选法故填24660.9已知集合 M3，2，1，0，1，2，P( a，b)表示平面上的点(a，bM)，问：(1)P 可表示平面上多少个不同的点？(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P 可表示多少个不在直线 yx 上的点？解：(1)确定平面上的点 P(a， b)可分两步完成：第一步确定 a 的值，共有 6 种确定方法；第二步确定 b 的值，也有 6 种确定方法根据分步计数原理，得到所求点的个数是 66
43、36 个(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，由于 a0，所以有 3 种确定方法；第二步确定 b，由于 b0，所以有 2 种确定方法由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是 326 个(3)点 P(a，b)在直线 yx 上的充要条件是 ab.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素，共有 6 种取法，即在直线 yx 上的点有 6 个结合 (1)可得不在直线 yx 上的点共有 36630 个10将 9 个人以下列三种方式分为三个小组，完成三项不同的任务，则不同的分配方法各有多少种？(1)将 9 个人以 2，3，4 分为三组；(2)将 9 个人以 2，2，5 分为三组；(3)
44、将 9 个人以 3，3，3 分为三组解：(1)先将 9 个人以 2，3，4 分为三组，有 C C C 1 260 种分法，再把三项不同的任务分给这三个组，29 37 4有 A 6 种分法，因此共有 1 26067 560 种分配方法3(2)先将 9 个人以 2，2，5 分为三组，有 378 种分法，再把三项不同的任务分给这三个组，有 A 6 种3分法，因此共有 37862 268 种分配方法(3)先将 9 个人以 3，3，3 分为三组，有 280 种分法，再把三项不同的任务分给这三个组，有 A 6 种3分法，所以共有 28061 680 种分配方法11现有 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把
45、球全部放入盒内(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？(3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有 1 个盒不放球” ，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为 “4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？” ，即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C C C A 144( 种)放法14 24 13 2(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球” ，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1
46、个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此， “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法(3)确定 2 个空盒有 C 种方法244 个球放进 2 个盒子可分成(3，1) ，(2，2) 两类，第一类有序不均匀分组有 C C A 种放法；第二类有序均匀34 1 2分组有 A 种放法故共有 C 84(种)放法2 24(2017海淀区期末)在手绘涂色本的某页上画有排成一列的 6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为_解：由题意每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，可知，最多只有三条鱼涂成红色，最少有一条鱼
