1、二 用数学归纳法证明不等式举例课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明 1+ + 1)时,第一步是证下述哪个不等式成立( )12+13 12-1A.1-1,x0,则下列不等式正确的是( )A.(1+x)3-12A.1 B.2 C.3 D.4解析 当 n=1时,左边 = =1,右边 =10=1,11,不成立;当 n=2时,左边 = =2+1=3,右边 = ,311 12+22 212=2,成立;当 n=3时,左边 = =3+3+1=7,右边 =31=3,73,成立 .2 13+23+33所以 n的最小值 n0为 2.答案 B4. 导学号 26394067某同学回答“用数学归纳法证明 时, f(2k+1
2、)比 f(2k)多的项为 .12+13 1 2解析 f(2k+1)-f(2k)=1+ + + .12+13 12+1(1+12+13+12)= 12+1+ 12+2 12+1答案 +12+1+ 12+2 12+16.已知 x0,观察下列几个不等式: x+ 2; x+ 3; x+ 4; x+ 5归纳猜想一般的不等式1 42 273 2564为 . 答案 x+ n+1(n为正整数)7.用数学归纳法证明 (a,b是非负实数, nN +)时,假设当 n=k时不等式+2 (+2 )(*)成立,再推证当 n=k+1时不等式也成立的关键是将 (*)式两边同乘 .+2 (+2 )解析 对比 k与 k+1时的结
3、论可知,两边只需同乘 即可 .+2答案+28.用数学归纳法证明 1+ + 24n都成立,求正整数 a的最大值,并证明你的结论 .解 取 n=1,则有 成立,12+13+1424所以 ,因此 a24即正整数 a的最大值为 25.以下用数学归纳法证明 .+ 对一切正整数 n 都成立 .1+1+ 1+2+ 1+3 13+12524(1)当 n=1时不等式成立 .(2)假设当 n=k(k1)时不等式成立,即 + ,1+1+ 1+2+ 1+3 13+12524当 n=k+1时,+1(+1)+1+ 1(+1)+2+ 1(+1)+3 13(+1)+1= .( 1+1+ 1+2+ 1+3+ 13+1)+ 13
4、+2+ 13+3+ 13+4 1+12524+ 13+2+ 13+4- 23(+1)因为 ,13+2+ 13+4= 6(+1)92+18+8 6(+1)92+18+9=6(+1)9(+1)2= 23(+1)所以 0,13+2+ 13+4 23(+1)于是 + ,1(+1)+1+ 1(+1)+2+ 1(+1)+3 13(+1)+12524即当 n=k+1时不等式成立 .由(1)(2)知,对一切正整数 n,都有 + ,且正整数 a的最大1+1+ 1+2+ 1+3 13+12524值等于 25.10. 导学号 26394069已知数列 an满足: a1= ,且 an= (n2, nN +).32 3
5、-12-1+-1(1)求数列 an的通项公式;(2)求证对一切正整数 n,不等式 a1a2an12显然,左端每个因式皆为正数,先证明对 nN +,有(1-13)(1- 132) (1- 13)1 - . (13+132+13)下面用数学归纳法证明 式: 当 n=1时,显然 式成立, 假设当 n=k(k1)时, 式成立,即 (1-13)(1- 132) (1- 13)1- .(13+132+13)当 n=k+1时,(1-13)(1- 132) (1- 13)(1- 13+1) 1-(13+132+13)(1- 13+1)=1-(13+132+13) 13+1+ 13+1(13+132+13)1- .(13+132+13+ 13+1)即当 n=k+1时, 式也成立 .故对一切 nN +, 式都成立 .利用 ,得 (1-13)(1- 132)(1- 13)1 -(13+132+13)=1-131-(13)1-13=1- .121-(13)=12+12(13)12故原不等式成立 .
