1、- 1 -一元二次方程本章内容“一元二次方程” 是课程标准 “数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的拓展应用 的例 4 及其变式题， 课时作业 的第 6、7 题。一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计拓展应用 的例 1、例3， 当堂检测的第 1、2、4 题，课时作业 的第 15 题。2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计 拓展应用的例 2
2、， 当堂检测 的第 3 题，选做题和 备选题目的问题。点击一：一元二次方程的定义答 案 ： （5）针 对 练 习 。答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。故 m3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c0（a0） ，其中 ax2 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数， c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c0（ a0）的一般形式 .其中，尤其注意 a0 的条件，有了 a0 的条件，就能说明ax2+bx+c0 是一元二次方程.
3、若不能确定 a0，并且 b0，则需分类讨论：当 a0 时，它是一元二次方程；当 a0 时，它是一元一次方程 .针 对 练 习 3: 答案：原方程化为一般形式是:5 x2+8x2=0(若写成5x 28x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是 5x2,二次项系数是 5,一次项是 8x,一次项系数是 8,常数项是2( 因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数 m 是一元二次方程- 2 -ax2+bx+c0（ a0）的根，则 m 必然满足该方程，将 m 代入该方程，便有a
4、m2+bm+c0（a0） ；定义也可以当作判定定理使用，即若有数 m 能使am2+bm+c0（a0）成立，则 m 一定是 ax2+bx+c0 的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针 对 练 习答案： m3+2m2+2009m 3+ m2+m2+2009m （m 2+ m）+ m2+2009m+ m2+20091+2009 2010.类型之一：一元二次方程的定义 例 1.关于 x 的方程 是一元二次方程，m 应满足什么条件？2322x【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为 0 即可.【解答】由 mx23x=x 2mx+2 得到（m1）x 2
5、+（m 3 ）x2=0,所以 m10，即m1.所以关于 x 的方程 是一元二次方程，m 应满足 m1.32【点评】要特别注意二次项系数 a0 这一条件，当 a=0 时，上面的方程就不是一元二次方程了.当 b=0 或 c=0 时，上面的方程在 a0 的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a 、b、c 是已知数，a0） ，其中 a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数 c 叫做常数项只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项这里特别要注意各项系数的符号。例 2 一元二次方
6、程（x+1） 2x=3（x 22）化成一般形式是 .【解析】一元二次方程一般形式是 ax2+bx+c=0（a0 ） ，对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得 2x2x 7=0。【解答】2x 2x7=0 类型之三：考查一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。例 3 已知关于 x 的一元二次方程（m 2）x 2+3x+（m 24）=0 有一个解是 0，求 m 的值。【解析】 ；因为 0 是方程的解，所以 m24=0，m=2 。又因为方程是关于 x 的一元二次方程，所以二次项系数 m20 、 m2，所以 m 的值是 2。- 3 -【解答】m= 2【点拨】本
7、题逆用一元二次方程解的定义易得出 m 的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件 m20，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析。类型之四：综合应用例 4. 已知一元二次方程有一个根为 1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）【解析】这是一道结论开放题，答案不唯一，解这类题的一般思路有两种：一种思路是根据根的定义，写一个含有 1 的等式，例如 ，再把 1 换成 x：03125；也可根据等式性质，由 x=1，可得 x+2=1+2，两边再平方得0325x即可。9)(【解答】答案不唯一。例如： 等。9)2(x1.下列方程中的一元二次方程是( )A.3(x+1)2=2(x1) B. + 2=021xC.
8、ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x1)【解析】A 注意一元二次方程中二次项系数不能为 0,并且最高为二次.2.把方程5x 2+6x+3=0 的二次项系数化为 1,方程可变为( )A.x2+ x+ =0 B.x26x 3=0 C.x2 x =0 D.x2 x+ =0563563563【解析】C 注意方程两边除以 5,另两项的符号同时发生变化.3. 已知关于 x 的方程(m3) x=5 是一元二次方程，求 m 的值.72mx【解析】利用一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为 0 的条件.【解答】由题意,得 m27=2 且 m30，所以只能取 m=3，即当 m=3 时，方程(m3
9、) x=5 是一元二次方程.72mx1.将方程 3x22x1 化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( ) A. 3,2,1 B. 3,2,1 C. 3,2,1 D. 3,2,1【解析】C 将方程 3x22x1 化成一元二次方程的一般形式，可化为- 4 -3x22x10.2.下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的有_.x22x y 1 5x 2 0 x21=3x（m 21）xm 26 3x3x0 x2+ 1=01【解析】判断一个方程是否是一元二次方程,必须具备以下三个条件：方程中只含有一个未知数；方程中未知数的最高次数是 2； 方程两边都是关于未知数的整式方程
10、 .【答案】3.已知方程(m+2)x 2+(m+1)xm=0，当 m 满足_ 时，它是一元一次方程；当m 满足_时，它是一元二次方程 . 【解析】当 m20，m2 时，方程是一元一次方程；当 m20，m2 时，方程是二元一次方程.【答案】m2 m24.把方程 x(x+1)=4(x1)+2 化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.【解析】题中方程不是一般形式，应先去括号、移项、合并同类项，将方程化为一般形式.在化的时候，移项要变号，合并同类项要准确.【解答】一般形式为 x23x+2=0，它的二次项系数为 1，一次项系数为 3，常数项为2.1. a 是二次项系数，b 是一次项系数，
11、c 是常数项，且满足 +(b2) 2+|a+b+c|=0，1a求满足条件的一元二次方程.【解析】此题关键是理解算术根、完全平方数和绝对值的意义，即 0，(b2)20， |a+b+c|0，只有使各项为 0 时，其和才为 0.本题考查了对已学知识的掌握情况，同时与新学的一元二次方程知识密切联系.【解答】由 +(b2) 2+|a+b+c|=0，1a得 解得 a=1,b=2,c=3.0,2cb- 5 -a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，所求的方程为 x2+2x3=0.课时作业：7填表：方程 x21=2xx x27=063y2=0（x2）（2x+3）=6一般形式二次项系数一次项系数常数项
12、8判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的解：（1）x 2+5x+4=0 （x 1=1，x 2=1，x 3=4） ；（2） （3x1） 2=3（x+2 ） 2=76x （x 1=3，x 2=2，x 3=1， x4=1） 9根据题意，列出方程：有一面积为 60m2 的长方形，将它的一边剪去 5m，另一边剪去 2m，恰好变成正方形，试求正方形的边长10当 m 满足什么条件时，方程 m（x 2+x）= x2（ x+1）是关于 x 的一元二次方程？当 m 取何值时，方程 m（x 2+x）= x2（x+1 ）是一元一次方程？- 6 -B 等级11把方程 化成一般形式是 2(1)()1xx12一元二次方程
13、 的二次项系数、一次项系数及常数之和为 613已知 是方程 的一个根，则 x20xaa14关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是 (1)3mm15已知 的值为 ，则代数式 的值为 236x929x16下列关于 的方程： ； ； ； 中，一元二次方20abc2430x254023x程的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个17若 是关于 的一元二次方程，则不等式 的解集是（ 50axx360a）A B22aC 且 Da0118关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（ x22()0xa）A B C 或 D111219已知 是关于 的方程 的一个解，则 的值是（ ）2x2
14、30a1aA B C D345620如下图所示，相框长为 10cm，宽为 6cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为 32cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：（1）若设相框的边缘宽为 ，可得方程 （一般形式） ；cmx（2）分析并确定 的取值范围；- 7 -（3）完成表格： x0 1 2 3（1）中 2abc（4）根据上表判断相框的边框宽是多少厘米？C 等级21. 关于 x2=2 的说法，正确的是 （ ）A.由于 x20，故 x2 不可能等于 2，因此这不是一个方程B.x2=2 是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x2=2 是一个一元二次方程D.x2
15、= 2 是一个一元二次方程，但不能解22. 若 是方程 的一个根，则 的值为（ ）3x260xmmA B C D13423无论 a 为何实数，下列关于 的方程是一元二次方程的是（ ）xA(a 21)x 2+bx+c=0 B.ax2+bx+c=0C a2x2+bx+c=0 D.(a2+1)x2+bx+c=024. 方程 x2+ xx+1=0 的一次项系数是（ ）3A B.1 C. 1 D. xx325. 把方程 整理为 的形式，并指出各2622kxxk 02cba项的系数.- 8 -26. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 元降到了 元，设平均每185 0次降价的百分率为 ，则列出方程
16、为 _.x27. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边 如图 17，地毯图案长8 米、宽 6 米，整个中央的矩形地毯的面积是 40 平方米求花边的宽28. 若 ，求 的值。20x23()1x课前预习1利用平方根的定义，将方程 直接开平方，所得方程的解为（ ）249xA B。497x7C D。x- 9 -2.用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）240xA B C D()2()2()x2()6x答案：课时作业：1C 2D 3C 4 ；2 556 （1）8x；x（8x）=12 （2）x 2+x2=17方程 x21=2x x x2=0 63y 2=0 （x2） （2x+3）=67一般形式
17、x22x1=0 x2+x=0 3y 2+6=0 2x2x12=0二次项系数 1 3 2一次项系数 2 1 0 1常数项 1 0 6 128 （1）x 1=1，x 3=4 是原方程的解，x 2=1 不是原方程的解（2）x 1=3，x 4=1 是原方程的解，x 2=2，x 3=1 不是原方程的解9设正方形的边长为 xm， （ x+5） （x+2）=6010当 m 时，原方程是关于 x 的一元二次方程；当 m= 时，原方程是一元一次2方程11 230x12 513 7- 10 -14 1m15716A17C18B19C20 （1） ；（2） ；（3） ， ， ， ；（4）1cm2870xx705821. D22. C23. D24. C25. (2k3) x2+（3k6） x+ k+2=0,二次项系数 2k3，一次项系数 3k6，常数项k+2。26. 2185()027. (82x)(6 2x)=4028. （提示：在利用方程解有关代数式求值问题时,可用整体代入的方法求解,把3变为 x2 x=2 代入代数式中求值.）20x课前预习1. C2. D
