1、一元二次方程知识网络详解：考点 1一元二次方程的定义：形如 的关于 的方程为一元二次方)0(2acbxax程考点 2一元二次方程的解法：先尝试“因式分解法” ；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”求根公式： acbx242,1考点 3一元二次方程的判别式： ac2有两个不相等的实数根： 有两个相等的实数根：00无实数根： 有实数根：考点 4一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若 时，设 、 为一元二次方程 的两个实数根，那么：01x2 )(2acbxa，abx21c考点 5一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）【课前回顾】1、已知一个直角三角形的两
2、直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三角0782x形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.362、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )021mxA. B. C. D.0、m113、关于 x 的一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则 k 的取值范围是 4、某工厂计划在两年内把产量提高 44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是 。5、解方程（1） （2）025x 3102x（3） （4）22)1()(xx 03212x经典例题讲解：考点一、概念例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A B 123x 021xC D
3、 02cba变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。322k例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 13mx。变式练习：1、方程 的一次项系数是 ，常数项是 。782x2、若方程 是关于 x 的一元一次方程，01m求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。1124、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。32y142y例 2、关于 x 的一元二
4、次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 axa。例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ，则此方02cbbc程必有一根为 。例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，ba, 042mxcb, 0582my则 m 的值为 。变式练习：1、已知方程 的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。012kx2、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同。2 31x求 k 的值； 方程的另一个解。3、已知 m 是方程 的一个根，则代数式 。012x m24、已知 是 的根，则 。a3a625、方程 的一个根为（ ）2cxbA B 1 C D 1cba6、若 。yx、yx324,03考
5、点三、解法类型一、直接开方法： mxm,02对于 ， 等形式均适用直接开方法ax2 22nbx例 1、解方程： =0; ;8165x;09132x例 2、若 ，则 x 的值为 。22169xx变式练习：下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.322x02xx132092类型二、因式分解法 : 2121,x或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ，方程形式：如 ， ，22nbxmaxcxabxa02ax例 1、 的根为（ ）35xA B C D 2 3,251x52x例 2、若 ，则 4x+y 的值为 。044yxyx变式 1： 。222,6b、aba变式 2：若 ，则 x
6、+y 的值为 。3yx变式 3：若 ， ，则 x+y 的值为 。14282x例 3、方程 的解为（ ）062xA. B. C. D.21、x321x321、x21x变式练习：1、下列说法中：方程 的二根为 ， ，则02qpx1x2 )(21xqpx .)4(286 352aba )()(yxyx方程 可变形为0713(20)713(x正确的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以 与 为根的一元二次方程是（）A B06x062xC D2yy3、 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数：
7、4、若实数 x、 y 满足 ，则 x+y 的值为（ ）023yxA、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 25、方程： 的解是 。212x类型三、配方法 0acba 224acbx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。例 1、 试用配方法说明 的值恒大于 0。32x例 2、 已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。7422yx例 3、 已知 为实数，求 的值。、xyyx013642yx例 4、 分解因式： 2x变式练习：1、试用配方法说明 的值恒小于 0。47102x2、已知 ，则 .2x13、若 ，则 t 的最大值为 ，最小值为 。
8、93t类型四、公式法条件： 04,02acba且公式： ,x04,2acb且典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： .632x.863x0142x 01432x52131xx例 2、在实数范围内分解因式：（1 ） ； （2 ） . 3x1842x2254yx考点四、根的判别式 acb42例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 x01xk。例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )2mA. B. C. D.10、m011例 3、已知关于 x 的方程 02kx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另
9、两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.2)6(92mxm例 5、 为何值时，方程组 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？m.3,2yx变式练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式 是完全平方式。92kx2、当 取何值时，多项式 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？4323、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .022mx4、 为何值时，方程组k.014,2yk（1 ）有两组相等的实数解，并求此解；（2 ）有两组不相等的实数解；（3 ）没有实数解.考点五、方程类问题中的“分类讨论”例 1、关于 x 的方程 0
10、321mx有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m 为 。 例 1、 不解方程，判断关于 x 的方程 根的情况。322kx例 3、如果关于 x 的方程 及方程 均有实数根，问这两方程022kx02kx是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减
11、少 ，第三年比第二年减31少 ，该产品第一年收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收21回，还要盈利 ，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到30.1， ）61.4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1 ）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2 ）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁
12、丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1 ）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2 ）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少？6、 A、 B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三0782x角形的斜边是（ ）A. B.
13、3 C.6 D.36例 2、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 ，012xk 21,x（1 ）求 k 的取值范围；（2 ）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 ， ， ，求 ba01a012bba变式：若 ， ，则 的值为 。22例 5、已知 是方程 的两个根，那么 .,x34变式练习：1、解方程组 )2(51
14、,32yx2已知 ， ，求 的值。472a472b)(aba3、已知 是方程 的两实数根，求 的值。21,x092x 637231xx自检自测：1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图 122 ）后，小敏回答：“方程有一根为 1”，小聪回答：“方程有一根为 2”则你认为（ ）A只有小敏回答正确 B只有小聪回答正确C两人回答都正确 D两人回答都不正确2.解一元二次方程 x x12=0 ，结果正确的是（ ）2Ax =4， x =3 Bx =4，x =3 Cx =4，x =3 Dx =4，x =3121212123.方程 解是（ ）(3)Ax =1 Bx =0，x =3 Cx =1，x =3 1 12
15、12Dx =1，x =324.若 t 是一元二次方程 ax bx+c=0(a0）的根，则判别式 = b 4ac 和完全平方式2 2M=(2at+b) 的关系是（ ）2A=M BM CM D大小关系不能确定 5.方程 的根是（ ）2(1)0xA0 B1 C0，1 D0，1 6.已知一元二次方程 x 2x7=0 的两个根为 x ，x ，则 x + x 的值为（ ）2 212A2 B2 C 7 D77.已知 x 、x 是方程 x 3x1 0 的两个实数根，则 的值是( )1 21xA、3 B、3 C、 D、1138.用换元法解方程(x x) (x x)6 时，如果设 x x y ，那么原方程可变形为
16、（ 222）A、y y6 0 B、y y60 C、y y 60 2 2 2D、y y 609.方程 x 5x=0 的根是（）2A0 B0，5 C5，5 D 510.若关于 x 的方程 x 2xk=0 有实数根，则（ ）2Ak1，B k1 Ck 1 Dk 111.如果一元二次方程 x 4x2 0 的两个根是 x ，x ，那么 x x 等于（ ）1212A. 4 B. 4 C. 2 D. 212.用换元法解方程(x x) 6 时，设 y，那么原方程可化为（ ）2x2A. y60 B. y6 0 C. y60 D. 2 2 2y 6013.设 x ，x 是方程 2x +3x-2=0 的两个根，则 x
17、 x 的值是 ( )122 12A-3 B3 C D23 2314.方程 x -x=0 的解是（ ）3A0，1 B1，-1 C0，-1 D0 ，1，115.用换元法解方程 _ _25x()4=y,+1x时 ， 若 设 则 原 方 程16.两个数的和为 6，差为 8，以这两个数为根的一元二次方程是_17.方程 x x=0 的解是_218.等腰ABC 中，BC=8， AB、BC 的长是关于 x 的方程 x 10x+m= 0 的两根，则 m 的值2是_.19.关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x+1=0 的两个根同号，则 a 的取值范围是 _.20.解方程：2 （x 1） +5（ xl）+2=0 x 2x 2=0 x +5x+3=02 2 221.已知关于 x 的一元二次方程 的一个根是 2，求方程的另一根和 k 的2(1)60xk值22.已知关于 x 的一元 二次方程 的一个根为 0，求 k 的值22(4)340kxk
