1、三角函数公式 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/1-(tanA)2 cos2a=(cosa)2-(si
2、na)2=2(cosa)2-1=1-2(sina)2 sin2A=2sinA*cosA 三倍角公式 sin3a=3sina-4(sina)3 cos3a=4(cosa)3-3cosatan3a=tana*tan(/3+a)*tan(/3-a) 半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA) cot(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) cot(A
3、/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) ? tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/
4、2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b) 诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(pi/2-a)=cos(a) cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinA/cosA 万能公式 si
5、n(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) 其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a2+b2)sin(a+c) 其中，tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a2+b2)cos(a-c) 其中，tan(c)=a/b 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(
6、a) 双曲函数sinh(a)=(ea-e(-a)/2 cosh(a)=(ea+e(-a)/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a) 初中关于圆和几何图形的公式 名称 符号 周长 C和面积 S三角形 a,b,c三边长 ha 边上的高 s周长的一半 A,B,C内角 其中 s(a+b+c)/2 Sah/2 ab/2sinC s(s-a)(s-b)(s-c)1/2 a2sinBsinC/(2sinA)四边形 d,D对角线长 对角线夹角 SdD/2sin 平行四边形 a,b边长 ha 边的高 两边夹角 Sah absin菱形 a边长 夹角 D长对角线长 d短对角线长 SDd/2 a2sin 梯形
7、 a 和 b上、下底长 h高 m中位线长 S(a+b)h/2 mh 扇形 r扇形半径 a圆心角度数 C2r2r(a/360) Sr2(a/360) 弓形 l弧长 b弦长 h矢高 r半径 圆心角的度数 Sr2/2(/180-sin) r2arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h2)1/2 r2/360 - b/2r2-(b/2)21/2 r(l-b)/2 + bh/2 2bh/3椭圆 D长轴 d短轴 SDd/4 立方图形 名称 符号 面积 S和体积 V正方体 a边长 S6a2 Va3 长方体 a长 b宽 c高 S2(ab+ac+bc) Vabc 棱柱 S底面积 h高 VSh 棱锥
8、S底面积 h高 VSh/3 棱台 棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分。S1和 S2上、下底面积 h高 VhS1+S2+(S1S1)1/2/3拟柱体 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面.其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的距离叫做拟柱体的高.拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形.S1上底面积 S2下底面积 S0中截面积 h高Vh(S1+S2+4S0)/6 圆柱 r底半径 h高 C 底面周长 S 底 底面积 S 侧 侧面积 S底r2 S侧Ch S表Ch+2S 底 VS 底 h r2h 空心圆柱 R外圆半径 r内圆半径 h高 Vh(R2-r
9、2) 直圆锥 “直圆锥“就是锥点的垂直落点正好在底面圆心上。也就是说沿它的高垂直于底面进行切割，切面是两个完全相同的等腰三角形。r底半径 h高 Vr2h/3 圆台 r上底半径 R下底半径 h高 Vh(R2Rrr2)/3 球 r半径 d直径 V4/3r3d2/6 球缺 用一个平面去截一个球的一部分，不大于一个半球，所得的余下的部分叫球缺。 h球缺高 r球半径 a球缺底半径 Vh(3a2+h2)/6 h2(3r-h)/3 a2h(2r-h) 球台 球台是指球体被两个平行平面所截而夹在两平面中间的部分。截得的两个圆面分别为上底和下底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高。r1 和 r2球台上、下底半径
10、h高 Vh3(r12r22)+h2/6圆环体 R环体半径 D环体直径 r环体截面半径 d环体截面直径 V22Rr2 2Dd2/4 桶状体 D桶腹直径 d桶底直径 h桶高 Vh(2D2d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) Vh(2D2Dd3d2/4)/15 (母线是抛物线形)1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半欧拉线的证明作ABC 的外接圆，连结并延长 BO，交外接圆于点 D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线 AM，设 AM交 OH于点 G。 BD是直径， BAD、BCD 是直角
11、。 ADAB，DCBC。 CHAB，AHBC， DACH，DCAH。 四边形 ADCH是平行四边形， AH=DC。 M是 BC的中点，O 是 BD的中点。 OM= DC。 OM= AH。 OMAH， OMG HAG 。 。 G是ABC 的重心。 G与 G重合。 O、G、H 三点在同一条直线上。欧拉线另证设 H,G,O,分别为ABC 的垂心、重心、外心。连接 AG并延长交BC于 D, 则可知 D为 BC中点。连接 OD ，又因为 O为外心，所以 ODBC。连接 AH并延长交 BC于 E,因 H为垂心,所以 AEBC。所以 OD/AE，有ODA=EAD。由于 G为重心，则 GA:GD=2:1。连接
12、 CG并延长交 BA于 F,则可知 D为 BC中点。同理，OF/CM.所以有OFC=MCF连接 FD，有 FD平行 AC,且有 DF:AC=1:2。FD 平行 AC，所以DFC=FCA，FDA=CAD，又OFC=MCF，ODA=EAD，相减可得OFD=HCA,ODF=EAC,所以有OFDHCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又 GA:GD=2:1所以 OD:HA=GA:GD=2:1又ODA=EAD，所以OGDHGA。所以OGD=AGH,又连接AG并延长，所以AGH+DGH=180,所以OGD+DGH=180。即O、G、H 三点共线。2、九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与
13、垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。九点圆具有许多有趣的性质1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理.4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且 HG=2OG OG=2VG OH=2OV3、费尔马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。 对于一个锐角三角形，费尔马点
14、是对各边的张角都是 120度的点。 对于直角、钝角三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。已知 P为锐角ABC 内一点，当APBBPCCPA120时，PAPBPC 的值最小，这个点 P称为ABC 的费尔马点。 4、海伦（Heron）公式： 在ABC 中，边 BC、CA、AB 的长分别为a、b、c，若 p （abc）/2， 则ABC 的面积 S 16、塞瓦（Ceva）定理(梅内劳斯定理)： 在ABC 中，过ABC 的顶点作相交于一点 P的直线，分别交边 BC、CA、AB 与点 D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 逆定理也成立。6、密格尔（Miquel）点： 若 AE、AF、ED
15、、FB 四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。7、葛尔刚（Gergonne）点: ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、CA于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。 8、西摩松（Simson）线： 已知 P为ABC 外接圆周上任意一点，PDBC，PEACPFAB，D、E、F 为垂足，则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线.9、黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称
16、为黄金分割 11、笛沙格（Desargues）定理： 已知在 ABC与ABC中，AA、BB、CC三线相交于点 O，BC 与 BC、CA 与 CA、AB 与AB分别相交于点 X、Y、Z，则 X、Y、Z 三点共线；其逆亦真。12、摩莱（Morley）三角形： 在已知ABC 三内角的三等分线中，分别与 BC、CA、AB 相邻的每两线相交于点 D、E、F，则三角形 DDE是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。 13、帕斯卡（Paskal）定理： 已知圆内接六边形 ABCDEF的边AB、DE 延长线交于点 G，边 BC、EF 延长线交于点 H，边 CD、FA 延长线交于点 K，则 H、G、K 三点共线
17、14、托勒密（Ptolemy）定理： 在圆内接四边形中，AB?CDAD?BCAC?BD 15、阿波罗尼斯（Apollonius）圆 一动点 P与两定点 A、B 的距离之比等于定比 m：n，则点 P的轨迹，是以定比 m：n 内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆” 16、布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形 ABCD中，ACBD，自对角线的交点 P向一边作垂线，其延长线必平分对边1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一
18、点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 18018 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形
19、的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点
20、的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一
21、半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c的平方，即a2+b2=
22、c2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于 360 49四边形的外角和等于 360 50多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）180 51推论 任意多边的外角和等于 360 52平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四
23、边形是平行四边形 58平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=（ab）2 67菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形
24、是菱形 69正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理 2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平
25、行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）2 S=Lh 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d wc呁/S ? 84 (2)合比性质 如果 ab=cd,那么(ab)b=(cd)d 85 (3)等比性质 如果 ab=
26、cd=mn(b+d+n0),那么 (a+c+m)(b+d+n)=ab 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似（
27、ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正
28、弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 11
29、0垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所 对的弦是直径 119推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121直线 L和O 相交 dr 直线 L和O 相切 d=r 直线 L和O 相离 dr
