1、 1 基于解析几何与蒙特卡洛模拟的储油罐变位识别的罐容表标定 摘要 在罐体的位置发生纵向倾斜和横向偏转（以下称为变位）后，罐的储油量（以下称为罐容）不再仅与罐内油位高度 有关，而是有罐内油位高度、纵向倾斜角度和横向偏转角度三个变量相关。本文先利用解析几何，建立空间坐标系，直接积分得到油位高度、纵向倾斜角度和横向偏转角度与罐容的函数。接着，利用蒙特卡洛模拟的方法仿真求得的罐容验证函数的正确性。接着，考虑在罐容未知的情况下，我们以已知的参数 进 /出油量为标准。当所取的纵向倾斜角度 和横向偏转角度 使得本次采集与上次采集时计算出的罐容之差与该次进 /出油量最为相近时，我们认为此时的 和 为变位参数
2、，并以此为思想建立了检验函数来验证模型的正确性、可靠性。 在问题一中，我们根据倾角 = 0的实际罐容值（进油）与罐容函数的计算值进行误差修正，并把修正因子应用到 = 4.1的函数计算并与进油实际罐容进行比较，得到很好的拟合效果。并用出油数据和检验函数反推出一个使我们模型接近实际罐容的修正倾角 。 在问题二中，通过巧妙地坐标轮换，我们简化了积分复杂度求得罐容的函数，并用检验函数确定了使模型最可靠合理的修正倾角 = 2.7， = 3.4。灵敏度分析中，我们阐明了 与 对罐容函数和检验函数的影响，发现在 、 取值不大时，罐容油位标度误差主受 取值的影 响 。 关键字： 解析几何 蒙特卡洛模拟 2 目
3、录 基于解析几何与蒙特卡洛模拟的储油罐变位识别的罐容表标定 1 摘要 1 一、 问题重述 . 3 二、 符号约定 . 3 三、 模型建立 . 3 1 问题分析 3 2 模型假设 4 3 模型建立 5 四、 模型求解 . 5 1. 问题一求解 . 5 1) 解析几何法 . 6 2) 计算机模拟法 . 10 2 问题二求解 . 12 五、 灵敏度分析 . 15 1 问题一灵敏度分析 15 2 问题二灵敏度分析 16 六、 模型扩展及优缺点评价 . 17 七、 参考文献 . 17 附录 18 3 一、 问题重述 储油罐通常是一种主体为圆柱体的埋藏于地下的容器。 为了得到 储油罐中的 罐容 ，通常采用
4、测量罐内油位高度、 通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与罐容 的对应关系）计算 的方法。 加油站的储油罐 由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变 。 此时，通过罐内油位高度计算出的 罐容与实际的罐容 出现偏差 。 除此之外，影响油罐标定与计量的因素 还 有油罐围测、压力、温度 等方面，对于利用油浮子标定油位高度的油位探针，其浮盘的上、下浮动也会影响油罐的准确标定和计量。所以 按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 本文 仅着重分析当罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转对油罐标定的影响，并 建立模型，分析变位与罐容 表标定 的
5、关系。 二、 符号约定 ：油位探针读出的油位高度 1：油位探针到左侧底平面的距离，在小椭圆油罐中值为 0.4m，在实际油罐中为 2m。 2：油位探针到右侧底平面的距离，在小椭圆油罐中值为 2.05m ：小椭圆油罐椭圆面长轴长。 ：小椭圆油罐椭圆面短轴长。 ：油罐的体长，在小椭圆油罐中值为 2.45m，在实际油罐中未 10m R：实际油罐球冠半径，经计算值为 R=1.625m r：实际油罐球圆柱的底面半径 ,值为 r=1.5m :第二问中坐标轮换后的 等效油面高度 、 ：油罐的实际变位角度 、 ：油罐的等效变位角度 ,：第二问中中坐标轮换后的变位角度 三、 模型建立 1 问题分析 由原题中可以看
6、出，罐容表的读数实际上是一个关于油浮子到罐底的距离 的函数。 的取值范围即 从 0 到罐顶的高度 。显然，若以罐体本身为参照4 物， 是不会受到罐体的变位影响的。因此，很自然的，以问题一中的小储油罐为例，我们可以 平行于油位探针的直线为 z 轴，平行于油罐中轴线的直线为 y 轴，平行于椭圆面长轴的直线为 x 轴 建立罐体坐标系如下。 在这样的坐标系下，液面就变为倾角为 的平面 。 可以看出，实际罐容即为斜面下方 与柱体包围起来部分 的体积， 此时，罐容不只是仅以 为自变量的函数，而与 、 、 均相关。 通过 将 测量进 /出油量 和 罐容表 显示的罐容变化进行比较，推算出纵向倾斜角 及横向倾斜
7、角 。 当 、 确定后， 通过得到上述函数， 就能得到 与罐容的关系， 从而对罐容表进行修正 ， 得到 变位后的罐容表 标定值。 2 模型假设 1 根据题图我们可以假设，储油罐的形状都是均匀的简单几何形状 ； 题一中的椭圆储油罐为两个底面 为椭圆形的椭圆柱； 题二中的储油罐由两个球冠与一个圆柱组合而成 ； 2 油罐为理想刚体，不会受油压力和重力影响变形； 3 题目所给的进（出油）数据真实可靠； 4 非变位因素引起的标定误差不可避免，但可以修正逼近。 5 3 模型建立 根据上面的分析，我们可以建立抽象模型如下： = (,) 其中， 表示实际储油值， 表示油浮子与罐底的距离， 与 代表的是位变参数
8、，即纵向与横向倾斜角。 然而，考虑到实际油罐的内部结构，无法避免的将会存在一些测量误差，例如油浮子 等 零件的排水体积等。因此我们不妨为模型添加上一个误差修正因子，记为 ，这样，模型就被修改为： = (,) = (,) 而对于这个模型的具体形式，我们提出两种求解思路。 第一种是使用解析几何的方法，将由油面平面和柱体包围的部分分割为多个部分，进行积分，从而求得体积。通过这样的方法，我们有望求解出 变位 参数与容积的确定关系。 第二种方法是使用计算机模拟的方法，运用蒙特卡罗法的思想， 在油罐内产生大量的随机离散点，通过统计油面平面以下的点数和总点数的比值，估算出当前罐容占油罐总体积的百分比，在通过
9、计算油罐总体积 近似估算出容积。显然，这样的方法存在一定的不稳定性。但是可以预见，假设随机离散点的数量趋于无穷，则该方法的结果应该会趋近于第 一种方法。 在第四部分中，我们将分别使用解析几何和计算机模拟两种方法对对模型的具体形式提出求解和论证。 考虑到精确性和计算机性能的限制，我们将以解析几何法为主体 ，而将计算机模拟法作为一种验证思路。 四、 模型求解 在这一部分中，我们将首先对第一题 做出求解，进而，我们将把第一题的结论进行修改和推广， 并制定出 分析检验模型 参数 的正确性与方法的可靠性 的规则， 使之能够适用于第二问，从而得出第二问的结论。 1. 问题一求解 对于问题一，油罐只在一个维
10、度上发生倾斜，倾斜角为 。因此模型退化为 = (,) = (,) 为了方便理解，这里我们再次引用前面建立的坐标系示意图 ，但是坐标的原点 O 移到椭圆面的中心。 6 1) 解析几何法 当 =0时， (,) = 底 = 1(/)21(/)2其中 为底面半长轴， 为底面半短轴。 为圆柱长度。 当 0 90时，分为以下几种情况 0 2时， 油面并没有完全浸没罐底， l1 l2h 2hyz油面与 z 轴交点为 (0,0, + 1)油平面的法向分量 =(0,1)平面方程 C1: + + 1 = 0 故储油量为 : (,) = ( 0)1(/)21(/)2+1= + 1 1(/)21(/)2+1 2 1.
11、2 1时， 油面浸没了罐底，但是液面较低端没有超过罐体高度的一半 7 l 1 l 2h 2hyzh 1L油平面发生平移，积分式变为 : (,) = 21 (/)21 + + 1 1(/)21(/)2+11 1.2 1 1.2时， 油面浸没了罐底，液面较低端超过了罐体高度的一半 l 1 l 2h 2hyzh 1L同理可得 (,) = 21 (/)21 + +1 1(/)21(/)21.21上述积分函数具体值又见附录 考虑题一中的无倾斜进油和有倾斜进油两种情况，使用 Mathematica 编程对上述积分进行数值求解得到结果如下 : 8 = 0 = 4.1 图中的圆圈为实际油量， “ x” 符号为
12、使用积分公式计算出来的油量，可以看出有一定的偏差。因此，我们需要引入误差因子 进行修正。 这里我们令 等于 第一次无倾斜时的计算结果与实际结果 的 差 值 ，得到 与 的散点对。从散点的结果来看，二者的关系近似呈线性。这可能是由于油位探针的形状为圆柱，其排水体积近似为油面高度 的线性函数。 9 对这一系列散点进行线性拟合，如图： 拟合结果为： = 0.1349 0.01203 回归系数 0.9967，拟合度相当高。 故可以得到修正后的结果 为 = (,) = (,) = (,) (0.1349 0.01203) 根据修正后的函数绘出 = 0和 = 4.1时进油曲线如下 : 10 可以看出，修正
13、后两条曲线的重合程度明显提高，说明模型得到了改善。 2) 计算机模拟法 使用蒙特卡罗法，生成 100 万个随机点。然后以前面建立的坐标系中的圆柱方程和油面方程作为边界条件，将每个随机点的坐标代入考察其是否在被包围的空间内 ，即由 ,所决定的空间 。 记总点数为 1，落入被包围空间的点数为 2，则体积的近似值为： (,) = 21总 = 21底 = 0 = 4.1 可以看出计算机模拟法的结果与实际结果也是很接近的。 类似地，我们对这组结果求出修正因子 = 0.1367 0.01299，回归系数为 0.993。修正后结果图： = 0 = 4.1 同样，修正后求解结果与实际结果接近了许多。 最后，给
14、出解析法和计算机模拟法综合结果图： 11 = 0 = 4.1 解析法的符号为“ x”，模拟法的符号位“ +”，实际数据为“ O”，可以看出解析法与模拟法几乎完全重合，同时 在有倾斜时，两种 方法 求解结果在 h较大时 与真实数据有略微的差别。 在得到了模型 基本形式 以后，我们使用出油的数据进行验证和调整。 验证和调整的思路是通过出油量与高度 的取值反过来对纵向倾角 做12 出修正。与进油的数据不同，已知的出油数据不包含出油前罐容的初始值，而只是给出了出油量。所以我们应该定义一个适用于无初始值情况的误差评价函数。 值得注意的是，我们的模型的最终目的是做出油面高度与实际容积的关系。因此，我们可以
15、将 实际 油量变化 和油面高度变化 联系起来构造一个 评价函数。 当油量变化 ，油面高度变化 时，如果存在一个倾角 ，使得 ( (+,) (,) )2尽可能小，则认为此时的 为纵向倾角的实际值。考虑到随机误差，有必要将数据表中的所有数据项均加以利用。因此我们可以得到一个 检验函数： () = ( 1 1 (,) (1,) 1 )2=2. : 第 次出 (进 )油的累加出 (进 )油量 :第 次出 (进 )油后对应的油位高度 将题中无倾角的情况下的数据代入求得 = 0，与假设相符。而 将题中给的有倾角时的出油数据代入上述函数进行检验，令 ,3,5-， 以 0.1为步进，搜索最优解。最终求得 =
16、4.5，这与题中所给的 4.1略有偏差，偏差为 9%。 但是我们将 = 4.5和 = 4.1分别代入 (,)中，再次利用有倾角时的进油数据，通过进油时的实际 和 进行检验，发现即使对进油的数据也可以得到与出油数据相同的结论，即 C(4.5) (4.1)。 而且 (,)比(,)与 进油时的实际罐量 的均方差更小。 这说明，基于我们所建立的模型， 检验函数 ()可以很好地衡量 模型变位参数的正确性、 可靠性 。而对于 使用调整后的 作为函数 (,)的纵向倾角，其最终得出的油位高高度与罐容表的标定值更加准确。我们称 为模型的等效纵向倾角 。在之后的第二问中，我们只要求出其对应的等效纵向、横向倾角 、
17、 就行了，没必要一定要求出 、 的实际值。 将 = .代入函数做出的以 1cm 为间隔的修正罐容油位标定表见附录。 2 问题二求解 以平行于油位探针的直线为 z 轴，平行于油罐中轴线的直线为 y 轴，平行于椭圆面长轴的直线为 x 轴建立罐体空间坐标系如下。13 可知油面的法向量 = *1,0,+ *0,1,+ = *,1+. 为了积分运算的方便，我们以 *,0,1+为 z轴， y 为 y轴，将原坐标系旋转绕 y 轴旋转，建立新坐标系，此时液面与 yoz平面垂直，如下图： l 1 l 2h 2h yzh 1L经过 上述 坐标轮换后， 其分段积分步骤就与问题一中的方法相同了。 = , cos =
18、|tan2+1|tan2+tan2+1 tan2+1 = 1tan2+tan2+1 . 至此，准备工作已经完成，方便起见，以下用 x, y, z 表示变换后的 x, y, z. 油罐表面方程 : 1: 2 + 2 + , ( 1)-2 = 2 1 02 + 2 = 2 0 82 + 2 + , ( 1)-2 = 2 8 9其中 R 为球冠半径，经计算 R=1.625， r 为圆柱的底面半径， r=1.5。 油平面方程 C2: + 1 + = 0. 其中等效油面高度 = ( ) + = 0 + . 记 C1 与 C2 在 yoz 平面上的交点为 1(0,1,1),2(0,2,2). 此时油量体积
19、 (,) = (,)。下面求解 (,). 由于经过坐标轮换， 可借由 = ( ) + 来表示，于是可将该问题退化为类似于第一问中的 (,)来求解，记退化后的等效函数为 = (,)。 当 0 h ( 2 l1)tan时： 14 l1 l2h 2h zh 1L(,) = ( + 1 + 2 2 2 22222+1) 当 ( 2 1) 2 1时 ： l 1 l 2h 2h yzh 1L(,) = .22 2 2 + 2/22221+ ( + 1 + 2 2 2 222221+ 1) 当 2 1 2时： l 1 l 2h 2h yzh 1L15 (,) = .22 2 2 + 2/22221+ ( +
20、 1 + 2 2 2 22221+ 1) 上述积分函数具体值又见 附录 将 = ( ) + 代入 (,)，便可得到 (,)。为了验证函数的准确性，使用与题一中类似的蒙特卡罗法模型进行随机取值验证。经过大量的随机 ,的验证后我们得出了两种方法计算结果一致的结论 ，因此有理由相信该积分模型的可靠性。 在完成模型的建立后，我们来根据表中的数据求解 ,. 首先， 与第 一问 相 同，将 方程 加入 修 正因子 ， (, ,) =(, ,) . 我们可以看出，数据表中给出的显示容积所代表的含义对于表中的倾角是不准确的，这是由于这一系列显示容积是在罐体为水平，即倾角均为 0的情况下测得的。所以根据这组数据
21、，我们可以把 = 0, = 0代入我们的方程中求解，此时 = 0, = 0. 将每一个高度的计算容积值与显示容积值做差，对结果拟合可知 = 0.00039 + 0.0000491 . 接着，将表中的实际出 (进 )油量 与 代入题一中提出的检验函数 = ( 1 (,) (1,)1)=2 . 利用网格搜索法，得出结果 = 2.1, = 3.4时， C 取到最小值。 在将 ,代入变换公式，求得倾角。但是同第一问一样，这里求出的倾角并不完全代表真实角度，而是为了 得到最小的 C 值的修正后 等效 倾角。 = .|2 2|/ = 2.7 = = 3.4 将倾角代入 (,)，就可求得间隔 10cm 的油
22、位标定表，见附录。 五、 灵敏度分析 1 问题一灵敏度分析 先分析问题一中体积函数偏导 (,) 与 变化的关系。 取 = 3.3,3.7,4.1,4.5,4.9进行比较。需要注意的是， (,)是关于 的三段函数，所以每个函数段取一个值进行比较。取 1 = 0.1 (0,23.3),2 = 0.6 (24.9,1.2 14.4),3 = 1.18 (1.2 13.3,1.2). 16 (,) 3.3 3.7 4.1 4.5 4.9 0.1 1.571 1.448 1.349 1.268 1.201 0.6 4.337 4.330 4.323 4.316 4.307 1.18 1.862 1.91
23、8 1.973 2.026 2.078 (,) 相对于 4.1 变化的百分比 3.3 3.7 4.1 4.5 4.9 0.1 16.45% 7.321% 0 -5.993% -10.98% 0.6 0.3045% 0.1608% 0 -0.1782% -0.374% 1.18 5.626% 2.778% 0 -2.698% -5.311% 由上表可见， 的值很小或很大时，增减同等体积 的油，其油位高位变化 随 变化而改变的程度较明显。而当 值在可行区间的中部附近，即 的中值附近时， 随 的改变而变化的程度相对较小。 2 问题二灵敏度分析 由于前面的模型已经做过 ,到 ,的变换，在此着重讨论 ,
24、与评价函数 (,)的关系。 利用题目所给的数据，在 (,)极小值点 (2.1,3.4)附近取点，绘图如下： C(,) 3 3.2 3.4 3.6 3.8 1.9 11.51 11.43 11.36 11.30 11.26 2.0 9.971 9.971 9.878 9.878 9.852 2.1 9.380 9.358 9.353 9.366 9.399 2.2 9.765 9.776 9.776 9.854 9.926 2.3 11.14 11.19 11.25 11.34 11.45 17 同理有 (1.5,) 3 3.2 3.4 3.6 3.8 1.9 30.45 30.45 30.45
25、 30.45 30.45 2.0 30.36 30.36 30.36 30.36 30.36 2.1 30.26 30.26 30.26 30.26 30.26 2.2 30.16 30.16 30.16 30.16 30.16 2.3 30.07 30.07 30.07 30.07 30.07 由表和图像可知， 对 C(,)和 f(1.5, )影响比 大。这说明当,较小时，造成读书误差的主要因素为 。 六、 模型扩展及优缺点评价 该模型能够适用于各种情况，在罐容已知的情况下，求出的值较为准确。缺点是在罐容未知的情况下求出的值会有少量偏差。 只需函数的积分形式，就能够进行不同形状罐体的计算，适
26、应性极强。对于蒙特卡洛方法，其适应性会更强。 数据缺乏大量的数据验证，使得其出现一定的偏差，如果要更多的数据，能够进一步地提高他的准确度。 七、 参考文献 1同济 大学数学教研室，高等数学，北京： 高等教育 出版社， 2004。 18 附录 1、 小椭圆储油罐 = .油位高度 1cm 的罐容量标定表 显示油高 /mm 显示油量容积 /L 显示油高 /mm 显示油量容积 /L 0.00 1.93 610.00 1816.90 10.00 3.83 620.00 1860.17 20.00 6.56 630.00 1903.49 30.00 10.21 640.00 1946.86 40.00 1
27、4.85 650.00 1990.26 50.00 20.56 660.00 2033.67 60.00 27.41 670.00 2077.09 70.00 35.46 680.00 2120.51 80.00 44.77 690.00 2163.90 90.00 55.39 700.00 2207.27 100.00 67.38 710.00 2250.59 110.00 80.78 720.00 2293.86 120.00 95.63 730.00 2337.06 130.00 111.99 740.00 2380.18 140.00 129.89 750.00 2423.20 150
28、.00 149.38 760.00 2466.12 160.00 170.49 770.00 2508.92 170.00 193.17 780.00 2551.59 180.00 217.18 790.00 2594.12 190.00 242.35 800.00 2636.49 200.00 268.59 810.00 2678.69 210.00 295.82 820.00 2720.71 220.00 323.97 830.00 2762.52 230.00 352.99 840.00 2804.13 240.00 382.82 850.00 2845.51 250.00 413.43
29、 860.00 2886.65 260.00 444.77 870.00 2927.54 270.00 476.81 880.00 2968.16 280.00 509.51 890.00 3008.50 290.00 542.84 900.00 3048.53 300.00 576.78 910.00 3088.25 310.00 611.30 920.00 3127.64 320.00 646.36 930.00 3166.68 330.00 681.96 940.00 3205.36 340.00 718.05 950.00 3243.65 350.00 754.63 960.00 32
30、81.54 19 360.00 791.67 970.00 3319.01 370.00 829.14 980.00 3356.04 380.00 867.04 990.00 3392.61 390.00 905.34 1000.00 3428.70 400.00 944.02 1010.00 3464.28 410.00 983.06 1020.00 3499.34 420.00 1022.46 1030.00 3533.85 430.00 1062.18 1040.00 3567.78 440.00 1102.22 1050.00 3601.11 450.00 1142.56 1060.0
31、0 3633.80 460.00 1183.18 1070.00 3665.83 470.00 1224.08 1080.00 3697.16 480.00 1265.22 1090.00 3727.75 490.00 1306.61 1100.00 3757.58 500.00 1348.22 1110.00 3786.58 510.00 1390.04 1120.00 3814.72 520.00 1432.05 1130.00 3841.93 530.00 1474.26 1140.00 3868.16 540.00 1516.63 1150.00 3893.32 550.00 1559
32、.16 1160.00 3917.31 560.00 1601.83 1170.00 3939.97 570.00 1644.63 1180.00 3961.05 580.00 1687.55 1190.00 3980.52 590.00 1730.58 1200.00 3998.40 600.00 1773.70 2、实际储油罐变位后 10cm 罐容标定表 油位高度 /mm 显示油量容积 /L 油位高度 /mm 显示油量容积 /L 0.00 0.23 1500.00 31.64 100.00 0.42 1600.00 34.47 200.00 1.41 1700.00 37.29 300.0
33、0 2.75 1800.00 40.08 400.00 4.37 1900.00 42.83 500.00 6.22 2000.00 45.52 600.00 8.26 2100.00 48.13 700.00 10.47 2200.00 50.65 800.00 12.82 2300.00 53.06 900.00 15.29 2400.00 55.34 1000.00 17.86 2500.00 57.47 1100.00 20.51 2600.00 59.41 1200.00 23.24 2700.00 61.15 1300.00 26.01 2800.00 62.64 1400.00
34、28.81 2900.00 63.82 20 3、第一问用到的积分公式 : 当 0 2 时 (,) = +1 1(/)21(/)2+1=232Cot().1 (+l1Tan()22 /3 2+2Cot()( + +l1Tan(a1)(4 +12(ArcSin(+l1Tan,a1- ) + ( + +l1Tan()1 (+l1Tan()22 ). 当 2 1.2 1时 (,) = 21 (/)21 + + 1 1(/)21(/)2+11=2Cot()(132(1 (+l1Tan()22 )3 2 + 132(1 (+l2Tan()22 )3 2 ) +2Cot,a1-( + +l1Tan()(1
35、2(ArcSin,+l1Tan() - +( + + l1Tan()1 (+l1Tan()22 ) +12(ArcSin,+l2Tan() - ( + l2Tan()1 (+l2Tan()22 )+ 2(4 +12(ArcSin,+l2Tan() - +( + l2Tan()1 (+l2Tan()22 ). 当 1.2 1 1.2时 (,) = 21 (/)21 + + 1 1(/)21(/)21.21=232Cot()(1 (+l2Tan()22 )3 2 +2Cot()( + +l1Tan()(4 +12(ArcSin,+l2Tan() - ( + l2Tan()1 (+l2Tan()22
36、 )+ 2(4 +12(ArcSin,+l2Tan() - +( + l2Tan()1 (+l2Tan()22 ) 4、 第二 问用到的积分公式 : 当 0 h ( 2 l1)tan时： (,) = ( + 1 +2 2 2 +1)22222= 132 + 22 2 13(32 + 2)ArcTan, 222+2-2(24+6)22ArcTanh2+22+23(2+2)2+2 1222 2Log,2(2 2 + 2 22 + 22 2)- +(4+52244)Log2(22+222+222)622 + 2ArcTan,222+2 -Csc(hhCos + Cos Si l1Sin + Sin)
37、 +2 2(232Cot 232Cot Csc(hhCos + Cos Sin l1Sin +Sin)|r2 当 ( 2 1) 2 1时： 21 (,) = .22 2 2 + 2/22221+ ( + 1 + 2 2 2 + 1)222221= (22 2 42 2 + 22 + 22 2 2(2 2)ArcTan,2+22222 -)|1 + 132 + 22 2 13(32 + 2)ArcTan, 222+2- 2(24+6)22ArcTanh2+22+23(2+2)2+2 1222 2Log,2(2 2 +2 22 + 22 2)- +(4+52244)Log2(22+222+222)622 + 2ArcTan,222+2 -Csc(hhCos + Cos Si l1Sin +Sin) + 2 2(232Cot 232Cot Csc(hhCos + Cos Sin l1Sin +Sin)|12 当 2 1 2时： (,) = .22 2 2 + 2/22221+
