1、学业分层测评（四）(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为( )A B C 90 D180【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知 ，故应选 B.【答案】 B2在静水中划船的速度是每分钟 40 m，水流的速度是每分钟 20 m，如果船从岸边 A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )A15 B30 C45 D60【解析】 如图所示，sinCAB ，CAB30.2040 12【答案】 B3我舰在敌岛 A 处南偏西 50的 B 处，且 A、
2、B 距离为 12 海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西 10的方向以每小时 10 海里的速度航行，若我舰要用 2 小时追上敌舰，则速度大小为( )A28 海里/小时 B14 海里/小时C14 海里/ 小时 D20 海里/小时2【解析】 如图，设我舰在 C 处追上敌舰，速度为 v，在ABC 中，AC10220(海里)，AB12 海里，BAC 120，BC 2AB 2AC 22AB ACcos 120784，BC28 海里，v14 海里/小时【答案】 B4地上画了一个角BDA60，某人从角的顶点 D 出发，沿角的一边DA 行走 10 米后，拐弯往另一边的方向行走 14 米正好到达BDA 的另一边 BD上
3、的一点，我们将该点记为点 N，则 N 与 D 之间的距离为( )A14 米 B15 米 C16 米 D17 米【解析】 如图，设 DNx m，则 14210 2x 2210xcos 60，x 210x960.(x16)(x6)0.x16 或 x6(舍) N 与 D 之间的距离为 16 米【答案】 C二、填空题5(2015湖北高考 )如图 1226，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD m.图 1226【解析】 由题意，在ABC 中，BA
4、C30，ABC 18075105 ，故ACB 45.又 AB600 m，故由正弦定理得 ，解得 BC300 m.600sin 45 BCsin 30 2在 Rt BCD 中，CD BC tan 30300 233100 (m)6【答案】 100 66某船在岸边 A 处向正东方向航行 x 海里后到达 B 处，然后朝南偏西 60方向航行 3 海里到达 C 处，若 A 处与 C 处的距离为 海里，则 x 的值为 3【解析】 x 292x 3cos 30( )2，3解得 x2 或 x .3 3【答案】 或 23 37一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60
5、方向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为 km. 【导学号：05920062 】【解析】 如图所示，依题意有 AB15460，MAB30 ，AMB45，在AMB 中，由正弦定理得 ，60sin 45 BMsin 30解得 BM30 (km)2【答案】 30 28一船自西向东航行，上午 10：00 到达灯塔 P 的南偏西 75、距塔 68 n mile 的 M 处，下午 14：00 到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为 n mile/h.【解析】 如图，由题意知MPN7545120，PNM 45.在PMN 中，由正弦定理，得 ，
6、MNsin 120 PMsin 45MN68 34 .3222 6又由 M 到 N 所用时间为 14104(h)，船的航行速度 v (n mile/h)3464 172 6【答案】 172 6三、解答题9平面内三个力 F1、F 2、F 3 作用于同一点且处于平衡状态已知 F1、F 2的大小分别为 1 N、 N，F 1 与 F2 的夹角为 45，求 F3 的大小及 F3 与 F16 22的夹角的大小【解】 如图，设 F1与 F2的合力为 F，则 F3F.BOC45 ，ABO135.在OBA 中，由余弦定理得|F|2| F1|2| F2|22|F 1|F2|cos 13542 .3|F| 1 ，即
7、|F 3| 1.3 3又由正弦定理得sinBOA .|F2|sin ABO|F| 12BOA30.BOD 150.故 F3的大小为( 1)N ，F 1与 F3的夹角为 150.310. (2016焦作模拟 )如图 1227，正在海上 A 处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东 40方向距渔政船甲 70 km 的 C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20方向的 B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船甲航行 30 km 到达
8、D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在 B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙 (渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙) ，此时 B、D 两处相距 42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救图 1227【解】 设ABD ，在ABD 中，AD30，BD42 ，BAD60.由正弦定理得 ，ADsin BDsin BADsin sinBAD sin 60 ，ADBD 3042 5314又AD BD，0 60，cos ，1 sin21114cosBDC cos(60) .17在BDC 中，由余弦定理得BC2DC 2BD 22DCBDcosBDC
9、40 242 2 24042cos(60 )3 844，BC62 km，即渔政船乙要航行 62 km 才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救能力提升1(2016湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D 两点处进行测量在 C 点测得塔底 B 在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿着南偏东 40方向前进 10 米到 D 点，测得塔顶的仰角为 30，则塔的高度为( )A5 米 B10 米 C15 米 D20 米【解析】 如图，由题意得，AB平面 BCD，ABBC，AB BD.设塔高 ABx ，在 Rt ABC 中，ACB45，所以 BCABx ，在 Rt ABD 中，ADB
10、 30，BD x，ABtan 30 3在BCD 中，由余弦定理得BD2CB 2CD 22CBCDcos 120，( x)2x 2 10010x，3解得 x10 或 x5(舍去 )，故选 B.【答案】 B2甲船在岛 A 的正南 B 处，以每小时 4 千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛 A 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A. 分钟 B. 分钟1507 157C21.5 分钟 D2.15 小时【解析】 如图，设 t 小时后甲行驶到 D 处，则 AD104t ，乙行驶到 C处，则 AC6t.BAC120，DC 2AD
11、 2AC 22AD ACcos 120(10 4t)2 (6t)22(10 4t)6tcos 12028t 220t 10028 2(t 514).6757当 t 时，DC 2最小，即 DC 最小，此时它们所航行的时间为 60514 514分钟1507【答案】 A3如图 1228所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos .图 1228【解析】 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦
12、定理知 BC2AB 2AC 22AB ACcos 1202 800BC20 .7由正弦定理 ABsin ACB BCsin BACsinACB sinBAC ，ABBC 217BAC120，则ACB 为锐角，cosACB .277由 ACB30，则 cos cos(ACB30) cosACBcos 30sin ACBsin 30 .2114【答案】 21144如图 1229，某军舰艇位于岛屿 A 的正西方 C 处，且与岛屿 A 相距 120海里经过侦察发现，国际海盗船以 100 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿东偏北 60方向逃窜，同时，该军舰艇从 C 处出发沿东偏北 的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用 2 小时追上图 1229(1)求该军舰艇的速度；(2)求 sin 的值【解】 (1)依题意知， CAB120，AB1002 200，AC120，ACB，在ABC 中，由余弦定理，得BC2AB 2AC 22AB ACcosCAB200 2120 22200120cos 12078 400，解得 BC280.所以该军舰艇的速度为 140 海里/小时BC2(2)在ABC 中，由正弦定理，得 ，ABsin BCsin 120即 sin .ABsin 120BC 20032280 5314
