1、板块四 模拟演练 提能增分A级 基础达标1已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC 120，则 A，C 两地间的距离为( )A10 km B10 km3C 10 km D10 km5 7答案 D解析 如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10 (km)722018武汉模拟 海面上有 A，B，C 三个灯塔， AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则BC( )A10 n mile B. n mile31063C 5 n mile D5 n mile
2、2 6答案 D解析 由题意可知，CAB60，CBA 75，所以C45，由正弦定理得 ，所以 BC5 .10sin45 BCsin60 63. 如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )Aa km B. a km3C. a km D2a km2答案 B解析 在ABC 中，由余弦定理得AB2AC 2 BC22ACBCcos ACB a 2a 22a 2cos1203a 2，故|AB| a.342018临沂质检 在 200 m 高的山顶上，测得山下
3、一塔顶与塔底俯角分别为 30、60，则塔高为( )A. m B. m4003 40033C. m D. m200 33 2003答案 A解析 如图，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60 ，ACD30，ADC120，又 AB200 ，AC .40033在ACD 中，由正弦定理，得 ，即 DC (m)ACsin120 DCsin30 ACsin30sin120 40035. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km ，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在
4、静水中的速度为( )A8 km/h B6 km/h2C 2 km/h D10 km/h34答案 B解析 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余弦定理得0.61 35 452 21 22 21 ，解得 v6 .(110v) (1102) 110 45 26如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75的斜坡改造成倾斜角为 30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.答案 100 2解析 设坡底需加长 x m，由正弦定理得 ，解得100sin30 xsin45x100 .27如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取
5、同一平面上B，D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度 (单位：km)：AB5，BC 8，CD3，DA5，且B 与D 互补，则 AC 的长为_km.答案 7解析 8 25 2285cos(D)3 25 2235cosD，cosD .AC 7(km)12 4982018河南调研 如图，在山底 A 点处测得山顶仰角CAB 45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1000 米至 S 点，又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为_米答案 1000解析 由题图知BAS453015，ABS45(90DSB ) 30， ASB135 ，在ABS 中，由正弦定理可得 ，AB1000 ，BC 1000(米) 100
6、0sin30 ABsin135 2 AB292018山西监测 如图，点 A，B，C 在同一水平面上，AC4，CB6.现要在点 C 处搭建一个观测站 CD，点 D 在顶端(1)原计划 CD 为铅垂线方向，45，求 CD 的长；(2)搭建完成后，发现 CD 与铅垂线方向有偏差，并测得 30， 53，求 CD2.(结果精确到 1)(本题参考数据：sin971，cos530.6)解 (1) CD 为铅垂线方向，点 D 在顶端， CDAB.又45，CD AC4.(2)在 ABD 中，533083，ABACCB 4610，ADB 1808397，由 得 AD 5.ADsin ABsinADB ABsins
7、inADB 10sin30sin97 5sin97在ACD 中，CD2 AD2AC 22ADACcos5 24 2254cos53 17.10. 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处( 1)海里3的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C处的我方缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私3船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD 10 t 海里，BD10t 海里，在
8、ABC 中，由余弦3定理，有BC2AB 2AC 22AB ACcosBAC( 1) 2 222( 1)2cos120 6 ，3 3解得 BC .6又 ，BCsinBAC ACsinABCsin ABC ，ACsinBACBC 2sin1206 22ABC45，故 B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得 ，BDsinBCD CDsinCBDsin BCD .BDsinCBDCD 10tsin120103t 12BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶又在BCD 中，CBD 120，BCD30，D30，BDBC，即 10t ，解得 t 小时15 分661
9、0钟缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟B级 知能提升12018天津模拟 一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是( )A10 海里 B10 海里2 3C 20 海里 D20 海里3 2答案 A解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB 20 海里，CAB 30，ACB45，根据正弦定理得 ，解得BCsin30 ABsin45BC10 (海里)22. 某观察
10、站 B 在 A 城的南偏西 20的方向，由 A 出发的一条公路的走向是南偏东 25.现在 B 处测得此公路上距 B 处 30 km 的 C 处有一人正沿此公路骑车以 40 km/h 的速度向 A 城驶去，行驶了 15 min 后到达D 处，此时测得 B 与 D 之间的距离为 8 km，则此人到达 A 城还10需要( )A40 min B42 min C48 min D60 min答案 C解析 由题意可知，CD40 10.1560cos BDC ，102 8102 302210810 1010cos ADBcos(BDC) ，1010sin ABDsin(ADBBAD) .255在ABD 中，由
11、正弦定理得 ，ADsinABD BDsinBAD ，AD25581022AD 32，所需时间 t 0.8 h，3240此人还需要 0.8 h 即 48 min 到达 A 城32014全国卷 如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45 以及MAC75；从 C 点测得MCA60，已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.答案 150解析 在 RtABC 中，AC100 m，在MAC 中，由正弦定2理得 ，解得 MA100 m，在 RtMNA 中，MNMAsin60 ACsin45 3MAsin60150 m.即
12、山高 MN 为 150 m.4. 如图所示，A，C 两岛之间有一片暗礁一艘小船于某日上午8 时从 A 岛出发，以 10 海里/小时的速度沿北偏东 75方向直线航行，下午 1 时到达 B 处然后以同样的速度沿北偏东 15方向直线航行，下午 4 时到达 C 岛(1)求 A，C 两岛之间的距离；(2)求 BAC 的正弦值解 (1) 在 ABC 中，由已知，得 AB10 550( 海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理，得 AC250 230 225030cos1204900，所以 AC70(海里) 故 A， C 两岛之间的距离是 70 海里(2)在 ABC 中，由正弦
13、定理，得 ，BCsinBAC ACsinABCsinBAC .故 BAC 的正弦值是BCsinABCAC 30sin12070 3314.33145某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的 C处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间. (sin21.8 3314)解 如图所示，根据题意可知 AC10，ACB 120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得 AB2AC 2BC 22ACBCcos120，所以 212t210 281t 22 109t ，即12360t290t1000，解得 t 或 t (舍去) 所以舰艇靠近渔轮23 512所需的时间为 h.23此时 AB14 ，BC 6.在ABC 中，根据正弦定理，得 ，BCsinCAB ABsin120所以 sinCAB ，63214 3314即CAB21.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为 4521.866.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮23
