1、题组层级快练( 五十八)1.已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是棱B1C1，C 1D1 的中点试求：(1)AD1 与 EF 所成角的大小；(2)AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值；(3)二面角 C1DBB 1 的正切值答案 (1)60 (2) (3)223 22思路 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1(0，0，0)，A(1，0 ，1) ，B(0 ，0，1)，D 1(1，1，0)，E(0，0) ，F( ，1，0)，12 12D(1，1 ，1) (1)因为 (0，1，1)， ( ，0)，AD1 EF 1212所以 cos ， ，AD1 EF （0，1，
2、 1）（12，12，0）222 12即 AD1 与 EF 所成的角为 60.(2) ( ，1，1) ，由图可得， (1 ，0，0)为平面 BEB1 的一个法向量，设 AF 与平FA 12 BA 面 BEB1 所成的角为 ，则 sin|cos ， | | ，所以 cos .BA FA （1，0，0）（12， 1，1）1（12）2 （ 1）2 12 13 223(3)设平面 DBB1 的法向量为 n1(x，y，z)，(1，1，0)， (0，0，1)，DB B1B 由 得 令 y1，则 n1(1，1，0) n1DB ，n1B1B ，) n1DB x y 0，n1B1B z 0， )同理，可得平面 C
3、1DB 的一个法向量为 n2(1，1，1) 则 cos n1，n 2 .（ 1，1，0）（ 1，1，1）23 63所以 tan n1，n 2 .222.如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA 底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点 D，E 分别在棱PB，PC 上，且 DEBC.(1)求证：BC平面 PAC；(2)当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的余弦值；(3)是否存在点 E 使得二面角 ADEP 为直二面角？并说明理由答案 (1)略 (2) (3) 存在点 E144解析 方法一：(1)PA 底面 ABC，PABC.又BCA90，ACBC，BC 平面 PA
4、C.(2)D 为 PB 的中点，DEBC，DE BC.12又由(1)知，BC平面 PAC，DE平面 PAC，垂足为点 E.DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角PA底面 ABC，PAAB.又 PAAB ， ABP 为等腰直角三角形AD AB.12在 Rt ABC 中，ABC60.BC AB.12RtADE 中，sinDAE .DEAD BC2AD 24cosDAE .144(3)DE BC，又由(1)知，BC平面 PAC，DE 平面 PAC.又AE平面 PAC，PE 平面 PAC，DEAE ，DEPE.AEP 为二面角 ADEP 的平面角PA底面 ABC，PAAC ， PAC90 .在棱
5、PC 上存在一点 E，使得 AEPC.这时，AEP90.故存在点 E 使得二面角 ADEP 是直二面角方法二：如图所示，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A xyz.设 PAa，由已知可得 A(0， 0，0) ，B( a， a，0)，C(0， a，0)，12 32 32P(0，0，a) (1) (0 ，0，a)， ( a，0，0)，AP BC 12 0，BC AP.BC AP 又BCA90，BCAC.又 APACA ，BC平面 PAC.(2)D 为 PB 的中点，DEBC，E 为 PC 的中点D( a， a， a)，E(0 ， a， a)14 34 12 34 12又由(1)知，BC平面 PA
6、C，DE平面 PAC，垂足为点 E.DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 ( a， a， a)， (0， a， a)，AD 14 34 12 AE 34 12cosDAE .AD AE |AD |AE | 144(3)同方法一3(2018辽宁沈阳一模)如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 AA1C1C底面ABC，AA 1A 1CACABBC 2，且 O 为 AC 的中点(1)求证：A 1O平面 ABC；(2)求二面角 AA 1BC 1 的余弦值答案 (1)略 (2) 105解析 (1)AA 1A 1C，且 O 为 AC 的中点，A 1OAC ，又侧面 AA1C1C底面 ABC，
7、交线为 AC，且 A1O平面 AA1C1C，A 1O平面 ABC.(2)如图，连接 OB，以 O 为坐标原点，OB，OC，OA 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系由已知可得 A(0，1，0) ，A 1(0，0， )，C 1(0，2， )，B( ，0，0) ，3 3 3 ( ，1，0)， ( ，0， )， (0，2，0)AB 3 A1B 3 3 A1C1 设平面 AA1B 的法向量为 m(x 1，y 1，z 1)则有 mAB 0，mA1B 0) 3x1 y1 0，3x1 3z1 0.)取 x11，则 y1 ，z 1 1，3m(1， ，1)，为平面 AA1B 的一个法向
8、量3设平面 A1BC1 的法向量为 n(x 2，y 2，z 2)，则有 nA1C1 0，nA1B 0) 2y2 0，3x2 3z2 0.)y20，令 x21，则 z21，n(1，0，1) ，为平面 A1BC1 的一个法向量，cosm，n .mn|m|n| 210 105易知二面角 AA 1BC 1 的平面角为钝角，所求二面角的余弦值为 .1054(2018河北开滦二中月考) 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PD AB2，E 为 PC 中点(1)求证：DE 平面 PCB；(2)求点 C 到平面 DEB 的距离；(3)求二面角 EBDP 的余弦值答
9、案 (1)略 (2) (3)233 63解析 (1)证明：PD 平面 ABCD，PDBC.又正方形 ABCD 中，CD BC，PDCDD ，BC平面 PCD.DE平面 PCD，BC DE.PDCD ，E 是 PC 的中点，DEPC.又PC BCC，DE平面 PCB.(2)如图所示，过点 C 作 CMBE 于点 M，由(1)知平面 DEB平面 PCB，平面 DEB平面 PCBBE，CM平面 DEB.线段 CM 的长度就是点 C 到平面 DEB 的距离PDAB CD2，PDC90，PC 2 ，EC ，BC2.BE .2 2 6CM .CEBCBE 233(3)以点 D 为坐标原点，分别以直线 DA
10、，DC，DP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0，0) ，P(0 ，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)， (2，2，0)， (0，1，1)设平面DB DE BDE 的法向量为 n1(x，y，z)，则 n1DB 0，n1DE 0，) 2x 2y 0，y z 0. )令 z1，得 y1，x1.平面 BDE 的一个法向量为 n1(1 ，1，1)又C(0，2，0)，A(2 ，0，0)， ( 2，2，0)，且 AC平面 PDB，AC 平面 PDB 的一个法向量为 n2(1，1，0)设二面角 EBDP 的平面角为 ，则 cos .|n1n2|n1|n2| 23
11、 2 63二面角 EBDP 的余弦值为 .635(2018太原二模)如图，在平面六边形 ABFCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，且AB4，BC2，AE DE ，BFCF ，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，分别沿2 5直线 AD，BC 将ADE，BCF 翻折成如图的空间几何体 ABCDEF.(1)利用下面的结论 1 或结论 2，证明：E，F，M，N 四点共面；结论 1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个结论 2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个(2)若二面角 EADB 和二面角 FBCA 都是 60，求二面角 ABE F 的余弦值答案 (1)略 (2) 23817解
12、析 (1)如图，连接 MN，ME，NF，四边形 ABCD 是矩形，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，AMBN ，AMBN，DAB90，四边形 ABNM 是矩形，ADMN.AEDE ，点 M 是 AD 的中点，ADME，又 MNMEM，AD平面 EMN，平面 EMN平面 ABCD，同理可得平面 FMN平面 ABCD，由结论 2 可得平面 EMN 与平面 FMN 是同一个平面，E，F ，M ，N 四点共面(2)由(1)知平面 EMNF平面 ABCD，过点 E 作 EO MN，垂足为 O，EO平面 ABCD.以过点 O 作垂直于 MN 的直线为 x 轴，ON，OE 所在直线分别为 y 轴，z
13、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.AD2，AEDE ，点 M 是 AD 的中点，2AEDE ，EM1，二面角 EADB 是 60，EMN60，OM ，OE .12 32同理，过点 F 作 FOMN，可得 ON 1，FO .3A(1， ，0)，B(1，0)，E(0，0， )，F(0， )，则 (0，4，0) ，12 72 32 52 3 AB (1， ， )， (0， )BE 72 32 EF 52 32设 m(x 1，y 1，z 1)是平面 ABE 的法向量，则 mAB 0，mBE 0，) 4y1 0， x1 72y1 32z1 0，)令 z12，m ( ，0，2)，是平面 ABE
14、的一个法向量3设 n(x 2，y 2， z2)是平面 BEF 的法向量，则 nEF 0，nBE 0，) 52y2 32z2 0， x2 72y2 32z2 0，)令 z22，n( ， ，2)是平面 BEF 的一个法向量1235 235cosm，n ，mn|m|n| 23817易知二面角 ABEF 是钝角，二面角 ABEF 的余弦值为 .238171(2018河北徐水一中模拟) 如下图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，AD AB ，BCD45，BAD90，将 ABD 沿 BD 折起，使平面ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD ，则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的是( )A平面 A
15、BD平面 ABC B平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC答案 D解析 在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD 90，BDCD ，又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，故 CD平面ABD，则 CD AB，又 ADAB，故 AB平面 ADC，所以平面 ABC平面 ADC.2(2018河北冀州中学月考) 如图，已知二面角 PQ 的大小为 60，点 C 为棱 PQ 上一点，A，AC2，ACP30，则点 A 到平面 的距离为( )A1 B.12C. D.32 32答案 C解析 如图，过 A 作 AO 于 O，点 A
16、到平面 的距离为 AO.作 ADPQ 于 D，连接 OD，则 ADCD，CDOD，ADO 就是二面角 PQ 的大小，即为 60.因为 AC2，ACP30，所以 ADACsin302 1.12在 Rt AOD 中，AOADsin601 .故选 C.32 323过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面 ABCD，若 ABPA，则平面 ABP 与平面CDP 所成的二面角为( )A30 B45C60 D90答案 B解析 以 A 点为坐标原点， AB，AD，AP 分别为 x，y， z 轴建系且设 AB1，C(1，1，0)，D(0 ，1，0)，P(0，0，1) 设面 CDP 的法向量为 n (x，
17、y，z) nCD （x，y，z）（ 1，0，0） x 0，nDP （x，y，z）（0， 1，1） y z 0.)令 y1，n(0，1，1)又 为面 ABP 的一个法向量，AD cosn， .AD nAD |n|AD | 12 22二面角为 45.4(2017沧州七校联考)把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，则异面直线 AD，BC 所成的角为( )A120 B30C90 D60答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A( ，0，0)，B(0， ，0)，2 2C(0，0， )，D(0， ，0)，2 2 ( ， ，0)，AD 2 2(0 ，
18、， )BC 2 2| | 2，| |2， 2.AD BC AD BC cos ， .AD BC AD BC |AD |BC | 222 12异面直线 AD，BC 所成的角为 60.5如图所示，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，若 E，F 分别是 BC，DD 1 的中点，则 B1 到平面 ABF 的距离为( )A. B.33 55C. D.53 255答案 D解析 方法一：由 VB1ABFVF ABB 1 可得解方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1， 0，1)，B 1(1，1，0)设 F(0，0， )，E( ，1，1)， B(1，1，1)， (0 ，1，0) 12 1
19、2 AB ( ，0，1)， (1，0， )B1E 12 AF 12 (1，0， )( ，0，1)0，AF B1E 12 12 .又 ， B1E平面 ABF.AF B1E AB B1E 平面 ABF 的法向量为 ( ，0，1) ，B1E 12(0，1，1)AB1 B1 到平面 ABF 的距离为 .|AB1 B1E |B1E | | 2556如图所示，ADP 为正三角形，四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD.点M 为平面 ABCD 内的一个动点，且满足 MPMC，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为( )答案 A解析 空间中到 P，C 两点的距离相等的点在线段 PC 的垂直平
20、分面上，此平面与正方形ABCD 相交是一条线段可排除 B，C ，又点 B 到 P，C 两点的距离显然不相等，排除 D，故选 A.7(2018哈尔滨模拟)正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 ，在正方体表面上与点 A 距离3是 2 的点形成一条封闭的曲线，这条曲线的长度是( )A B. 32C3 D. 52答案 D解析 在面 ABCD，面 AA1B1B，面 AA1D1D 内与点 A 的距离是 2 的点的轨迹分别是以 A为圆心，2 为半径，圆心角为 的圆弧，在面 A1B1C1D1，面 BB1C1C，面 CC1D1D 内与点 A6的距离是 2 的点的轨迹是分别以 A1 为圆心，以 B 为圆心
21、，以 D 为圆心，1 为半径，圆心角为 的圆弧，故圆弧的长为 3 23 1 .2 6 2 528在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_答案 23解析 延长 A1E 交 AB 延长线于 P，连 PD，由 A 作 AOPD 于 O，连 A1O，则A 1OA为二面角的平面角，设棱长为 1，则由等面积法可得AO ，tanA 1OA ，cos A 1OA .25 52 239(2018郑州质检)四棱锥 ABCDE 的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形(1)若正视图是等边三角形，F 为 AC 的中点，当点
22、M 在棱 AD 上移动时，是否总有BFCM，请说明理由；(2)若平面 ABC 与平面 ADE 所成的锐二面角为 45.求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值答案 (1)总有 BFCM (2)64解析 (1)由俯视图可知平面 ABC平面 EBCD.BC2，O 为 BC 中点，BE1，CD2.ABC 为等边三角形，F 为 AC 中点，BF AC.又平面 ABC平面 EBCD，且 DCBC，DC平面 ABC，DCBF.又 ACCD C，BF 平面 ACD.BFCM.(2)以 O 为原点， 为 x 轴， 为 z 轴建系OC OA B(1，0，0)，C(1，0，0)，E(1，1，0)，D(1，2，
23、0) 设 A(0， 0，a)，由题意可知平面 ABC 的法向量为(0，1，0)设平面 ADE 法向量 n(x，y，z)(2，1，0)， (1，1，a)，ED EA 令 x1，y2，z .2x y 0，x y az 0，) 3an(1 ，2， )3a ，解得 a .22 | 21 4 9a2| 3 (1 ，2， )， (0，1，0) ， (1，1， )AD 3 BE EA 3设平面 ABE 的法向量为 m (x1，y 1，z 1)， BE m y1 0，EA m x1 y1 3z1 0.)令 z11，m ( ，0，1) 3设 AD 与平面 ABE 所成角为 ，则有sin|cos ，m| .AD
24、| 3 3|222 64直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值为 .6410(2015天津，理)如图，在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，侧棱 A1A底面ABCD，AB AC，AB1，AC AA 12，ADCD ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和5D1D 的中点(1)求证：MN 平面 ABCD；(2)求二面角 D1AC B 1 的正弦值；(3)设 E 为棱 A1B1 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段 A1E 的13长答案 (1)略 (2) (3) 231010 7解析 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0，0，0)，B(0，
25、1，0)，C(2，0，0)，D(1 ，2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2) ，C 1(2，0，2)，D 1(1，2，2)又因为 M，N 分别为 B1C 和 D1D 的中点，得 M(1，1) ，N(1，2，1)12(1)证明：依题意，可得 n(0，0，1)为平面 ABCD 的一个法向量. (0， ，0) MN 52由此可得 n0，又因为直线 MN平面 ABCD，MN 所以 MN平面 ABCD.(2) (1，2，2)， (2，0，0) AD1 AC 设 n1(x 1，y 1，z 1)为平面 ACD1 的法向量，则 即 不妨设 z11，可得 n1(0，1，1) n1AD1 0，n1A
26、C 0，) x1 2y1 2z1 0，2x1 0. )设 n2(x 2，y 2，z 2)为平面 ACB1 的法向量，则 n2AB1 0，n2AC 0，)又 (0，1，2)，得AB1 y2 2z2 0，2x2 0. )不妨设 z21，可得 n2(0， 2，1) 因此有 cos .n1n2|n1|n2| 1010于是 sin .31010所以二面角 D1ACB 1 的正弦值为 .31010(3)依题意，可设 ，其中 0 ，1，则 E(0，2)，从而A1E A1B1 (1，2，1) 又 n(0 ，0，1)为平面 ABCD 的一个法向量，由已知，得 cosNE ，n ，整理得 2430，又因为 0，1
27、，NE NE n|NE |n| 1（ 1）2 （ 2）2 12 13解得 2.7所以线段 A1E 的长为 2.711(2018江西上饶一中模拟) 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，平面 A1BC侧面ABB1A1，且 AA1AB 2.(1)求证：AB BC；(2)若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ，请问在线段 A1C 上是否存在点 E，使得二面角 6ABEC 的大小为 ，请说明理由23解析 (1)证明：连接 AB1 交 AB1 于点 D，AA 1AB，ADA 1B，又平面 A1BC侧面 A1ABB1，且平面 A1BC侧面 A1ABB1A 1B，AD平面 A1BC，又 BC平面
28、 A1BC，ADBC.三棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，AA 1底面 ABC，AA 1BC.又 AA1ADA，AA 1平面 A1ABB1，AD平面 A1ABB1，BC平面 A1ABB1，又 AB侧面 A1ABB1，ABBC.(2)由(1)得 AD平面 A1BC，连接 CD，ACD 为直线 AC 与平面 A1BC 所成的角，即ACD ，又 AD AB1 ，6 12 2AC2 ，BC 2.2 AC2 AB2假设在线段 A1C 上存在一点 E，使得二面角 ABEC 的大小为 .以点 B 为原点，以23BC，BA ，BB 1 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 Bxyz，如图所示，则 A(0，
29、 2，0)，B(0，0，0)，A 1(0，2，2)，C(2，0，0) ，B 1(0，0，2) (0，2，0)， (2，2，2) ，AB A1C (0，2，2)， (0，0，2) AB1 AA1 设 (2，2，2)，01.A1E A1C (2，2，22)，AE AA1 A1E 设平面 EAB 的法向量为 n1(x ，y，z)，则 n 1， n 1，AE AB 2x 2y （2 2）z 0， 2y 0， )令 x1，得 n1(1，0， )， 1由(1)知 AB1 平面 A1BC， (0，2，2)为平面 CEB 的一个法向量AB1 cos ，n 1 ，AB1 AB1 n1|AB1 |n1|2 1221 2（ 1）2| |cos | ，解得 ，2 1221 2（ 1）2 23 12 12点 E 为线段 A1C 中点时，二面角 ABEC 的大小为 .23
