1、 1必修一数学练习题及解析第一章练习一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1集合1,2,3 的所有真子集的个数为 ( )A3 B6C7 D8解析：含一个元素的有1，2 ，3，共 3 个；含两个元素的有1,2，1,3 ，2,3，共 3 个；空集是任何非空集合的真子集，故有 7 个答案：C2下列五个写法，其中错误写法的个数为( )00,2,3； 0；0,1,21,2,0；0；0A1 B2 C3 D4解析：正确答案：C3使根式 与 分别有意义的 x 的允许值集合依次为 M、F ，则使根式 x 1 x 2 x 1有意义的 x 的允许值集合可表示为( )x 2AM F BMF C MF D FM解析
2、：根式 有意义，必须 与 同时有意义才可x 1 x 2 x 1 x 2答案：B4已知 M x|yx 22，N y|yx 22 ，则 MN 等于( )AN BM CR D解析：M x|yx 22R，N y|yx 22 y|y2，故 MNN.答案：A5函数 yx 22x3(x0)的值域为( )2AR B0，) C2，) D3，)解析：yx 22x3(x1) 22，函数在区间0，)上为增函数，故 y(0 1)223.答案：D6等腰三角形的周长是 20，底边长 y 是一腰的长 x 的函数，则 y 等于( )A202x(0y202x ，x5.答案：D7用固定的速度向图 1 甲形状的瓶子注水，则水面的高度
3、 h 和时间 t 之间的关系是图1 乙中的( )甲乙图 1解析：水面升高的速度由慢逐渐加快答案：B8已知 yf( x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )yf(|x|) yf(x ) yxf(x ) yf(x)xA B C D解析：因为 yf (x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)yf(|x|)为偶函数；yf( x) 为奇函数；令 F(x)xf (x)，所以 F(x )( x )f(x )(x )f (x)xf(x)所以 F(x) F( x)所以 y xf(x)为偶函数；令 F(x)f(x)x ，所以 F(x)f(x)(x)f (x)x f(x)x 所以
4、F(x) F(x)所以 yf (x)x 为奇函数3答案：D9已知 0x ，则函数 f(x)x 2x1( )32A有最小值 ，无最大值 B有最小值 ，最大值 134 34C有最小值 1，最大值 D无最小值和最大值194解析：f( x)x 2x1(x )2 ，画出该函数的图象知，f (x)在区间0， 上是增函数，12 34 32所以 f(x)minf(0) 1，f (x)maxf( ) .32 194答案：C10已知函数 f(x)的定义域为 a，b，函数 yf(x)的图象如图 2 甲所示，则函数 f(|x|)的图象是图 2 乙中的( )甲乙图 2解析：因为 yf (|x|)是偶函数，所以 yf(|
5、x|)的图象是由 yf (x)把 x0 的图象保留，再关于 y 轴对称得到的答案：B11若偶函数 f(x)在区间(，1上是增函数，则 ( )Af( )2m1 或 2m15，m6.18(12 分) 已知集合 A 1,1，B x|x22axb0 ，若 B 且 BA，求 a，b的值解：(1)当 BA1,1时，易得 a0，b1；(2)当 B 含有一个元素时，由 0 得 a2b，当 B1 时，由 12ab0，得 a1，b1当 B 1时，由 12ab0，得 a1，b1.19(12 分) 已知函数 f(x) (a，b 为常数，且 a0)，满足 f(2)1，方程 f(x)x 有xax b唯一实数解，求函数 f
6、(x)的解析式和 ff(4)的值解：f( x) 且 f(2)1，22ab.xax b6又方程 f(x)x 有唯一实数解ax 2(b1)x0(a0)有唯一实数解故(b 1)24 a00，即 b1，又上式 2ab2，可得：a ，从而 f(x) 12 x12x 1，2xx 2f(4) 4，f(4) ，即 ff(4) .2 4 4 2 86 43 4320(12 分) 已知函数 f(x)4x 24ax(a 22a2) 在闭区间0,2上有最小值 3，求实数 a的值解：f(x) 4 222a.(x a2)(1)当 2 即 a4 时，f(x )minf(2)a 210a183，解得：a5 ，a2 10综上可
7、知：a 的值为 1 或 5 .2 1021(12 分) 某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为 300 元/ 小时，其他主要参考数据如下：运输工具途中速度(千米/ 小时)途中费用(元/千米 )装卸时间(小时) 装卸费用(元)汽车 50 8 2 1000火车 100 4 4 1800问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？解：设甲、乙两地距离为 x 千米(x 0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为 y1 和 y2.由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：运输工 途中及装卸
8、费 途中时7具 用 间汽车 8x 1000 2x50火车 4x 1800 4x100于是 y18x1000( 2)30014x1600，x50y24x1800( 4) 3007x3000.x100令 y1y 2200 时，y 1y2，此时应选用火车故当距离小于 200 千米时，选用汽车较好；当距离等于 200 千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于 200 千米时，选用火车较好22(12 分) 已知 f(x)的定义域为(0，)，且满足 f(2)1，f (xy)f (x)f (y)，又当 x2x10时，f (x2)f(x1)(1)求 f(1)、f(4)、f(8) 的值；(2)若有 f(x)f(x
9、2) 3 成立，求 x 的取值范围解：(1)f(1)f(1)f(1) ，f(1)0，f(4) f(2)f(2)112，f(8)f (2)f(4)213.(2)f(x) f(x2) 3， fx(x2)f(8) ，又对于函数 f(x)有 x2x10 时 f(x2)f(x1)，f(x)在(0 ， ) 上为增函数Error!20 成立，则 x 应满足的条件是( )12Ax B. 0 且 a1) ，则有 a 100 得 a( ) .12 12 1100可得放射性元素满足 y ( ) x( ) .当 x3 时，y ( ) .12 1100 12 x100 12 3100 10123 100.125答案：D
10、6函数 ylog 2x 与 ylog x 的图象( )12A关于原点对称 B关于 x 轴对称 C关于 y 轴对称 D关于 yx 对称解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选 B.答案：B7函数 ylg( 1) 的图象关于( )21 xAx 轴对称 By 轴对称 C原点对称 Dyx 对称解析：f( x)lg( 1)lg ，f(x )lg f (x)，所以 ylg( 1)关于原点21 x 1 x1 x 1 x1 x 21 x对称，故选 C.答案：C8设 abc1，则下列不等式中不正确的是( )Aa cbc Blog ablogac Cc acb Dlog bcb，则 acbc；ylog ax
11、在(0，)上递增，因10为 bc，则 logablogac；yc x在( ，)上递增，因为 ab，则 cacb.故选 D.答案：D9已知 f(x)log a(x1)(a0 且 a1)，若当 x(1,0)时，f(x)1.因而 f(x)在(1，)上是增函数答案：A10设 a ，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系是( )424 312 6Aa bc Bbca Da1 与 01 时，图象如下图 1，满足题意图 1 图 2(2)当 0f(1)，则 x 的取值范围是11( )A( ，1) B(0， )(1，)110 110C( ，10) D(0,1)(0，)110解析：由于 f(x)是偶函数且在 (0
12、，)上是减函数，所以 f(1)f (1)，且 f(x)在(， 0)上是增函数，应有Error! 解得 0，且 a1)的反函数的图象过点(2，1) ，则 a_.解析：由互为反函数关系知，f(x) 过点(1,2)，代入得 a1 2a .12答案：1214方程 log2(x1)2 log2(x1)的解为_ 解析：log 2(x1)2log 2(x1)log 2(x1) log 2 ，即 x1 ，解得4x 1 4x 1x (负值舍去) ，x .5 5答案： 515设函数 f1(x)x ，f 2(x)x 1 ，f 3(x)x 2，则 f1(f2(f3(2007)_.12解析：f 1(f2(f3(2007
13、)f 1(f2(20072)f 1(20072)1 )(2007 2)1 2007 1 .12答案：1200716设 0x 2，则函数 y4x 32 x5 的最大值是_，最小值是1212_解析：设 2x t(1t4)，则 y 4x32 x5 t23t5 (t3) 2 .12 12 12 12当 t3 时，y min ；当 t1 时，y max 4 .12 12 12 52答案： 52 12三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分)17(10 分) 已知 a(2 )1 ，b(2 )1 ，求(a1) 2 ( b1) 2 的值3 3解：(a 1) 2 (b1) 2 ( 1)
14、2 ( 1)2 ( )2 ( )2 (12 3 12 3 3 32 3 3 32 3 16 ) (74 )(2 )(7 4 )(2 ) 4 .7 432 3 7 432 3 16 3 3 3 3 16 2318(12 分) 已知关于 x 的方程 4xa(8 )2x4 0 有一个根为 2，求 a 的值和方程2 2其余的根解：将 x2 代入方程中，得 42a(8 )224 0，解得 a2.2 2当 a2 时，原方程为4x2(8 )2x4 0，2 2将此方程变形化为 2(2x)2(8 )2x4 0.2 2令 2x y，得 2y2(8 )y4 0.2 2解得 y4 或 y .22当 y4 时，即 2x
15、4，解得 x2；当 y 时，2 x ，解得 x .22 22 12综上，a2，方程其余的根为 .121319(12 分) 已知 f(x) ，证明：f(x) 在区间( ，)上是增函数2x 12x 1证明：设任意 x1，x 2( ，)且 x1120(a0，且 a1)的解集解：f(x) 是偶函数，且 f(x)在0，)上递增，f( )0，12f(x)在( ，0) 上递减，f( )0，则有 logax ，或 logax1 时， logax ，或 logax ，或 0 ，或 logax .12 12 a aa综上可知，当 a1 时，f(log ax)0 的解集为(0， )( ，)；aa a当 00 的解集
16、为 (0， )( ，)aaa21(12 分) 已知函数 f(x)对一切实数 x，y 都满足 f(xy )f(y)(x2y 1)x，且 f(1)0，(1)求 f(0)的值；(2)求 f(x)的解析式；(3)当 x0 ， 时，f(x) 3x2x1.设 yx 2x1，则 yx 2x 1 在( ， 上是减12函数，所以 yx 2x1 在0， 上的范围为 y 1，从而可得 a1.12 3422(12 分) 设函数 f(x)log a(1 )，其中 01.解：(1)证明： 设任意 x1，x 2(a，)且 x10. 0，f(x 1)f(x2)，所以 f(x)log a(1 )在(a，) 上为减函ax1 x2
17、x1x2 a ax数(2)因为 01log a(1 )logaaError!解不等式，得 xa 或 x0，函数图象与 x 轴有两个不同的交点，从而函数有 2 个零点答案：C2函数 y1 的零点是 ( )1xA( 1,0) B1C1 D0解析：令 1 0，得 x 1，即为函数零点1x答案：B3下列给出的四个函数 f(x)的图象中能使函数 yf(x)1 没有零点的是( )解析：把 y f(x)的图象向下平移 1 个单位后，只有 C 图中图象与 x 轴无交点答案：C4若函数 y f(x)在区间(2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程 f(x)0 在(2,2)上仅有一个实数根，则 f(1) f(1)
18、的值( )A大于 0 B小于 0C无法判断 D等于零16解析：由题意不能断定零点在区间(1,1)内部还是外部答案：C5函数 f(x)e x 的零点所在的区间是 ( )1xA(0， ) B( ，1)12 12C(1， ) D( ，2)32 32解析：f( ) 20 ，f( )f(1)0 Bf(x 1)f(x2)8.则水费 y16 22(x 8)4x1620，x9.答案：D10某工厂 6 年来生产甲种产品的情况是：前 3 年年产量的增大速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来生产甲种产品的总产量 C 与时间 t(年) 的函数关系图象为( )答案：A11函数 f(x)|x 26x 8
19、|k 只有两个零点，则( )Ak0 Bk1C0 k1 ，或 k0解析：令 y1 |x26x 8|，y 2k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选 D.答案：D12利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：18x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 y 2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 yx 2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 那么方程 2x x2 的一个根所在区间为( )A(0.6,1.0)
20、B(1.4,1.8)C(1.8,2.2) D(2.6,3.0)解析：设 f(x)2 xx 2，由表格观察出 x1.8 时， 2xx2，即 f(1.8)0；在 x2.2 时， 2x0 ，f(4)0，有 f(2)f(3)0，即 00) 的近似解(精确度 0.1)解：令 f(x)x 22x5(x 0)f(1)2， f(2)3，函数 f(x)的正零点在区间 (1,2)内20取(1,2)中点 x11.5，f(1.5)0.取(1,1.5)中点 x21.25 ，f (1.25)0)的近似解为 x1.5(或 1.4375)19(12 分) 要挖一个面积为 800 m2 的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为 1 m
21、,2 m 的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值解：设所建矩形鱼池的长为 x m，则宽为 m，于是鱼池与路的占地面积为800xy(x 2)( 4)8084x 8084( x )8084( )240800x 1600x 400x x 20x当 ，即 x20 时，y 取最小值为 968 m2.x20x答：鱼池与路的占地最小面积是 968 m2.20(12 分) 某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为 P 和 Q(万元)，这两项利润与投入的资金 x(万元) 的关系是 P ， Q ，该集团今年计划对这两项生产x3 103 x共投入资金 60 万元，其中投入养殖业为 x 万元，获得总利润
22、 y(万元)，写出 y 关于 x 的函数关系式及其定义域解：投入养殖加工生产业为 60x 万元由题意可得，y PQ ，x3 103 60 x由 60x0 得 x60， 0x60，即函数的定义域是0,6021(12 分) 已知某种产品的数量 x(百件)与其成本 y(千元)之间的函数关系可以近似用yax 2bx c 表示，其中 a，b，c 为待定常数，今有实际统计数据如下表：产品数量 x(百件) 6 10 20成本合计 y(千元) 104 160 370(1)试确定成本函数 yf(x)；(2)已知每件这种产品的销售价为 200 元，求利润函数 pp(x)；(3)据利润函数 pp(x )确定盈亏转折
23、时的产品数量(即产品数量等于多少时，能扭亏为21盈或由盈转亏)解：(1)将表格中相关数据代入 yax 2bxc，得Error!解得 a ，b6，c 50.所以 yf(x) x26x50(x0)12 12(2)pp(x) x214x 50( x0)12(3)令 p(x)0，即 x214x500，12解得 x144 ，即 x14.2，x 223.8，6故 4.20；x23.8 时，p(x )log a(x13)的一个解，则该不等式的解集为( )A( 4,7) B(5,7)C(4，3)(5,7) D(，4)(5，)解析：将 x 6 代入不等式，得 loga9loga19，所以 a(0,1)则Erro
24、r!解得x( 4，3)(5,7)答案：C6若函数 f(x) ，则该函数在(，)上是( )12x 1A单调递减无最小值 B单调递减有最大值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值解析：2 x1 在( ，)上递增，且 2x10， 在(，)上递减且无最小值12x 1答案：A7方程( )x|log 3x|的解的个数是( )13A0 B1C2 D3解析：25图 2在平面坐标系中，画出函数 y1( )x和 y2|log 3x|的图象，如图 2 所示，可知方程有两个13解答案：C8下列各式中，正确的是( )A( ) ( ) D( )3( )31212 1312 32 43解析：函数 yx 在( ，0)上是减函
25、数，而 ( ) ，故 A 错；23 43 54 4323 5423函数 yx 在(， )上是增函数，而 ，( ) ( ) ，故 B 错，同理13 45 56 4513 5613D 错答案：C9生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约 10%的能量能够流到下一个营养级，在 H1H 2H 3 这个食物链中，若能使 H3 获得 10 kJ 的能量，则需 H1 提供的能量为( )A10 5 kJ B10 4 kJC10 3 kJ D10 2 kJ解析：H 1 210，H 110 3.(110)答案：C10如图 3(1)所示，阴影部分的面积 S 是 h 的函数(0hH)，则该函数的图象是如图3
26、(2)所示的( )26图 3解析：当 h 时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着 h 的增大，H2S 随之减小，故排除 A，B，D.答案：C11函数 f(x)在(1,1) 上是奇函数，且在(1,1)上是减函数，若 f(1m )f(m )1m m1，解得 00 时，f(x)f(x 1)f(x2)，从而 f(x1)f(x2)f (x3)两式相加得 f(x)f(x3)，f(x6) f(x3)3f (x3)f (x)，f(2009)f(2003)f(1997)f(5)f(1)log 221.答案：C27第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13. 的值是
27、_log2716log34解析： .log2716log34 23log34log34 23答案：2314若函数 y 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为_kx 5kx2 4kx 3解析：kx 24kx3 恒不为零若 k0，符合题意，k0，0，x 2 x10，又k4；当 Q 时，即2k14.19(12 分) 已知 f(x)为一次函数，且满足 4f(1x) 2f(x1)3x18，求函数 f(x)在1,1上的最大值，并比较 f(2007)和 f(2008)的大小解：因为函数 f(x)为一次函数，所以 f(x)在1,1上是单调函数， f(x)在1,1上的最大值为 maxf(1)，f(1)分别取
28、x0 和 x2，得 Error!解得 f(1)10，f (1)11，所以函数 f(x)在 1,1上的最大值为 f(1)11.又因为 f(1)f(2008)20(12 分) 已知函数 f(x)ax 22ax2b(a0) ，若 f(x)在区间2,3上有最大值 5，最小值 2.(1)求 a，b 的值；(2)若 b0 时， f(x)在2,3上单调递增故Error!，即 Error!，解得 Error!当 a0，即解不等式：k2 x0 时，不等式的解为 x0 时，f(x)的定义域为(，log 2 )4k(2)由题意可知：对任意 x(，2，不等式 4k2 x0 恒成立得 k ，设 u ，42x 42x1又 x(，2，u 的最小值 1.所以符合题意的实数 k 的范围是(，1)42x
