1、1第 1 讲 第 1 章 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征知识要点：结 构 特 征 图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等.圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台（1）两底面相互平行；（2
2、）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.1.下列说法错误的是（ ）A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有 9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 2答案：D2.一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每条侧棱长为_ cm. 答案：123.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是_.答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥第 2 讲 1.1.2 简单组合体的结构
3、特征例题精讲：【例 1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 选 D.【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 ，求球的半径. ,rR解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为 R+r，梯形的高即球的直径为 ，22()()rRrR所以，球的半径为 .第 3 讲 1.2.2 空间几何体的三视图例题精讲：【例 1】画出下列各几何体的三视图：解：【例 2】画出下列三视图所表示的几何体.解：3【例 3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm） ，所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它
4、们的三视图.解第 4 讲 1.2.3 空间几何体的直观图知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，得到直角坐标系 ，直观图中画成斜坐标系 ，两轴夹角为 .(2）平行不变：已xoy xoy45知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x或 y轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半.第 5 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积学习目标：了解棱
5、柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.知识要点：表面积相关公式 表面积相关公式棱柱 2SlcA侧全 底 侧 侧 棱 长 直 截 面 周 长，其 中 圆柱 （r：底面半径，2Srh全h：高）棱锥 侧全 底 圆锥 （r：底面半径，l ：2全母线长）棱台 SS侧全 上 底 下 底 圆台2()Sl全（r ：下底半径，r：上底半径，l：母线长）例题精讲：【例 1】已知圆台的上下底面半径分别是 2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解： 97l【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.解： .2134
6、2428()S m侧 底第 6 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积4知识要点：1. 体积公式：体积公式 体积公式棱柱 VShA底 高 圆柱2Vrh棱锥13底 高 圆锥 213棱台 ()VSh圆台22()Vrrh2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：.13VShA锥 0S 1()3VSh台 S VhA柱例题精讲：【例 1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为 ，,abc则 ，三式相乘得
7、.所以，长方体的体积为 6.,6abc 2()36abc【例 2】一块边长为 10 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后cm用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试 建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.xcm在 中， , 所以RtEOF15,2cmOFxc , 2154EOx于是 .依题意函数的定义域为22134Vx .|01x【例 3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为 ，母线长为 6，现将该容3器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .56
8、解：容器中水的体积为 .流出水的体22(3)618Vrl 积为 ，如图， .设圆柱的母线与(1)3Vl 水平面所成的角为 ，则 ，解得 .tan20第 7 讲 1.3.2 球的体积和表面积知识要点：1. 表面积： （R ：球的半径）. 2. 体积：24S球 面.34VR球 面例题精讲：【例 2】表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这3 14O FEDBAC5个正四棱柱的表面积.解：设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ，则作轴截面如图， ，Ra 14A，又 ， ， ， ，2ACa2439R282AC8a.6431576S表【例 3】设 A、B 、 C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，A
9、B=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）. A B C D86462472【解】由已知可得，A、B 、C、D 在球的一个小圆上. AB=BC=CD=DA=3， 四边形 为正方形. 小圆半径 . AB 32r由 得 ，解得 . 球的体积 . 22Rrh23()(R634(6)8VR所以选 A.第 8 讲 2.1.1 平面知识要点：1. 点 在直线上,记作 ；点 在平面 内,记作 ；直线 在平面AAaAa内,记作 .a2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言” 、 “符号语言” 、 “图形语言”列表如下：公理 1 公理 2 公理 3图形语言文字语言如果一条直线
10、上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,AlBl,ABC不 共 线确 定 平 面 ,lPP3.公理 2 的三条推论：推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；6推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.例题精讲：【例 1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？【例 2】空间四边形 ABCD 中，E 、F、G、H 分别是 AB、BC 、CD 、DA上的点，已知 EF 和 GH 交
11、于 P 点，求证：EF、GH、AC 三线共点. 解：P EF，EF 面 ABC，P 面 ABC. 同理 P 面ADC. P 在面 ABC 与面 ADC 的交线上，又 面 ABC面 ADC=AC， P AC，即 EF、HG 、AC 三线共点.【例 3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线 两两相交，交点分别为 ，求证：直线 共面. ,ABC,ABC,ABC证明：因为 A， B， C 三点不在一条直线上，所以过 A， B， C 三点可以确定平面 因为 A，B ，所以 AB 同理 BC ，AC .所以 AB， BC， CA 三直线共面【例 4】在正方体 中，1D（1） 与
12、 是否在同一平面内？（2）点 是否11C 1,BCD在同一平面内？（3）画出平面 与平面 的交线，平面 与平1A1BC1A面 的交线. 1BD解：（1）在正方体 中， ， 由公理 2 的推论可知，1D1/C与 可确定平面 ， 与 在同一平面内. A1C1（2）点 不共线，由公理 3 可知，点 可确定平面 ， 点1, 1,BD1BCD在同一平面内. 1,BD（3） ， ， 点 平面 ， 平面 ，又 平面BO11DCEO1ACO11， 平面 ， 平面 平面 ，同理平面 平1AC11A面 E第 9 讲 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系知识要点：1.空间两条直线的位置关系：相 交 直 线 ：
13、 同 一 平 面 内 ， 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ；共 面 直 线 平 行 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 ；异 面 直 线 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 .2. 已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，把 所成的,abO/,ab ,ab锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与,点 的选择无关，为了简便，点 通常取在异面直线的一条上；异面直线OO所成的角的范围为 ，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异(0,9CBA7面直线垂直，记作 . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：ab选
14、点平移定角计算.例题精讲：【例 1】已知异面直线 a 和 b 所成的角为50，P 为空间一定点，则过点 P 且与 a、b 所成角都是30的直线有且仅有（ ）. A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条解：过 P 作 a， b，若 Pa，则取 a 为 ，若 Pb，则取 b 为 这时 ， 相交于 P 点，它们的两组对顶角分别为 50和 130. 记b， 所确定的平面为 ，那么在平面 内，不存在a与 ， 都成 30的直线 过点 P 与 ， 都成 30 ab角的直线必在平面 外，这直线在平面 的射影是 ，a所成对顶角的平分线其中射影是 50对顶角平分b线的直线有两条 l 和 ，射影是 1
15、30对顶角平分线的直线不存在故答案选 B.【例 2】如图正方体 中，E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点，1ABCDP、 Q 分别为 AC 与 BD、A 1C1 与 EF 的交点 . （1）求证：D、B、F 、E 四点共面；（2）若 A1C 与面 DBFE 交于点 R，求证：P、Q、R 三点共线.证明：（1） 正方体 中， ， . 又 中，11/11DE、 F 为中点， . , 即 D、B、F 、E 四点共面.EF/2BDEF（2） ， ， ， ， .又 1QA平 面 平 面 1PAC平 面 P平 面 1ACBPQ平 面 平 面， ， ， . 即 P、Q、R 三点共线 奎 屯王 新
16、敞新 疆1ACBR平 面 1平 面 R平 面 R【例 3】已知直线 a/b/c，直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C，求证：a、b、c、 d 四线共面 .证明：因为 a/b，由公理 2 的推论，存在平面 ，使得.,又因为直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C，由公理 1， .假设 ，则 , 在平面 内过点 C 作 ，cC/cb因为 b/c， 则 ，此与 矛盾. 故直线 ./cc综上述，a、b、c、 d 四线共面.【例 4】如图中，正方体 ABCDA1B1C1D1，E 、F 分别是AD、AA 1 的中点.（1）求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小；（2）求直线 AB1
17、 和 EF 所成的角的大小.解：（1）如图，连结 DC1 ， DC 1AB 1， DC1 和cbadc CBAPQ FED1 C1B1A1D CBA8CC1 所成的锐角CC 1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. CC 1D=45， AB1 和 CC1 所成的角是 45.（2）如图，连结 DA1、A 1C1， EFA 1D，AB 1DC 1， A 1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. A 1DC1 是等边三角形， A 1DC1=60，即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60.第 10 讲 2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系知识要点：1. 直线与平面的位置关系：（1）直线
18、在平面内（有无数个公共点） ；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点） ；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作： ； ； .llP/l2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点） ；相交（有一条公共直线）.分别记作 ； ./l例题精讲：【例 1】已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小. 解：分别取 AC、AD、BC 的中点 P、M、N 连接PM、 PN，由三角形的中位线性质知PNAB， PMCD，于是MPN 就是异面直线 AB和 CD 成的角（如图所示）.连结 MN、DN ，设AB=2， PM =PN=1.而 AN=DN= ，由3M
19、NAD，AM=1，得 MN= ，2MN 2=MP2+NP2，MPN=90 .异面直线AB、CD 成 90角.【例 2】在空间四边形 ABCD 中，E 、 H 分别是 AB、AD 的中点，F 、G 分别是 CB、CD 的中点，若 AC + BD = a ，AC BD =b，求 . 2EH解：四边形 EFGH 是平行四边形，=2 = .2EGFH2()EFG2211()()ACBDb【例 3】已知空间四边形 ABCD 中，E 、 H 分别是AB、 AD 的中点，F 、 G 分别是 BC、 CD 上的点，且.求证：（1）E 、 F、 G、 H 四点共面；2CBD（2）三条直线 EF、 GH、 AC
20、交于一点. 证明：（1） 在ABD 和CBD 中， E、 H 分别是 AB 和 CD 的中点， EH BD./12ABCDE GAB CDEFGH9ABC D E F GM O 又 ， FG BD. EHFG. 所以，23CFGBD/23E、 F、 G、 H 四点共面.第 11 讲 2.2.1 直线与平面平行的判定知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为： . 图形如右图所示.,/aba例题精讲：【例 1】已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E、 F 分别为 AB、P
21、D 的中点，求证： AF平面 PEC证明：设 PC 的中点为 G，连接 EG、FG. F 为 PD 中点， GFCD 且 GF= CD.12 ABCD， AB=CD， E 为 AB 中点， GFAE， GF=AE， 四边形 AEGF 为平行四边形. EGAF， 又 AF 平面 PEC， EG 平面 PEC， AF平面 PEC.【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱BC、C 1D1 的中点. 求证：EF平面 BB1D1D. 证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，则 OEDC， OE= DC.2 DCD 1C1， DC=D1C1 ， F 为 D1C1 的中点
22、， OED 1F， OE=D1F， 四边形 D1FEO 为平行四边形. EFD 1O. 又 EF 平面 BB1D1D， D1O 平面 BB1D1D， EF平面 BB1D1D.【例 3】如图，已知 、 、 、 分别是四面体的棱EFGM、 、 、 的中点，求证： 平面 . ADCBCAEFG证明：如右图，连结 ，交 于 点，连结 ，O在 中， 、 分别是 、 中点， ，BDC/BC 为 中点， 为 中点，G在 中， 、 为 、 中点， ，AMDEOAM/EAM又 平面 ， 平面 ， 平面 .FEFGFG 10点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加
23、辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例 4】如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 、 N 分别是 AB、 PC 的中点 奎 屯王 新 敞新 疆（1）求证：MN/平面 PAD；（2）若 ， ，求异面直线 PA4NBC3PA与 MN 所成的角的大小.解：（1）取 PD 的中点 H，连接 AH，由 N 是 PC 的中点， NH . 由 M 是 AB 的中点， NH AM， /12DC /即 AMNH 为平行四边形. . /A由 ， .,MNPAPA平 面 平 面 PD平 面（2） 连接 AC 并取其中点为 O，连接 OM、ON， OM BC，ON PA， 所以 就是异面直线 P
24、A 与 MN 所成的角，且/1/12ONMONO. 由 ， , 得 OM=2，ON= 奎 屯王 新 敞新 疆所以 ，4MNB3P2303ONM即异面直线 PA 与 MN 成 30的角 奎 屯王 新 敞新 疆点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.第 12 讲 2.2.2 平面与平面平行的判定知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为：.,/abaP例题精讲：【例 1】如右图，在正方体 ABCDA1B1
25、C1D1 中，M、N、P分别是 C1C、B 1C1、C 1D1 的中点，求证：平面 MNP平面 A1BD.证明：连结 B1D1，P、N 分别是 D1C1、B 1C1 的中点， PNB 1D1.又 B1D1BD，PN BD. 又 PN 不在平面 A1BD 上，PN 平面 A1BD.同理，MN平面 A1BD. 又 PNMN=N， 平面 PMN平面 A1BD.【例 2】正方体 ABCDA1B1C1D1 中 （1）求证：平面A1BD平面 B1D1C；A1AB1BC1CD1DGEF11（2）若 E、F 分别是 AA1，CC 1 的中点，求证：平面 EB1D1平面 FBD证明：（1）由 B1B DD1，得
26、四边形 BB1D1D 是平行四边形，/B 1D1BD，又 BD 平面 B1D1C，B 1D1 平面 B1D1C，BD平面 B1D1C同理 A1D平面 B1D1C而 A1DBDD，平面 A1BD平面B1CD（2）由 BDB 1D1，得 BD平面 EB1D1取 BB1 中点G，AE B1G从而得 B1EAG ，同理 GFADAGDFB 1EDFDF平面 EB1D1平面 EB1D1 平面FBD 【例 3】已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、 N、 Q 分别在 PA、 BD、 PD上, 且 PM：MA=BN ：ND= PQ：QD. 求证：平面 MNQ平面 PBC.
27、证明： PM：MA=BN：N D=PQ：QD. MQ/AD， NQ/BP，而 BP 平面 PBC， NQ 平面 PBC, NQ/ 平面 PBC.又 ABCD 为平行四边形， BC/AD， MQ/BC，而 BC 平面 PBC，MQ 平面 PBC, MQ /平面 PBC.由 MQ NQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， 平面 MNQ平面PBC.点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题 最终转 化为证线与线的平行 .第 13 讲 2.2.3 直线与平面平行的性质知识要点：线面平行的性质：如果一条直线
28、和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即： ./aab例题精讲：【例 1】经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D于 E1E，求证： E1EB 1B 奎 屯王 新 敞新 疆证明： ，11/,AEBE平 面 平 面NMPDCQB AD1 C1B1A BCDA1E1E ab12 .11/ABE平 面又 ，111DABE平 面 ， 平 面 平 面 .1/则 .1/AE【例 2】如图， ， ， ， ，求证： ./AB/CDACBD证明：连结 ，CD ，/A直线 和 可以确定一个平面，记为 ，B ， ， ，,C,CD ， ，
29、/A ， BD又 ，/C 四边形 为平行四边形， .ABACBD第 14 讲 2.2.4 平面与平面平行的性质知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为： .2. 其它性质：/,/aba ； ；夹在平行平面间的/,/ll,ll平行线段相等.例题精讲：【例 1】如图，设平面 平面 ，AB、CD是两异面直线，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且 A、C，B、D. 求证：MN. 证明：连接 BC，取 BC 的中点 E，分别连接 ME、NE ，则 MEAC， ME平面 ，又 NEBD， NE， 又 MENE =E，平面 MEN平面 ，
30、 MN 平面MEN，MN . 【例 2】如图，A， B，C，D 四点都在平面，外，它们在内的射影A1， B1，C 1，D 1 是平行四边形的四个顶点，在 内的射影 A2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形 证明： A，B ，C，D 四点在内的射影 A2，B 2，C 2，D 2 在一条直线上，A ， B， C，D 四点共面ABC DE NMDBCA13又 A， B， C，D 四点在 内的射影 A1，B 1，C 1，D 1 是平行四边形的四个顶点，平面 ABB1A1平面 CDD1C1AB，CD 是平面 ABCD 与平面 ABB1A1，平面 CDD1C1 的交线ABCD
31、同理 ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形第 15 讲 2.3.1 直线与平面垂直的判定知识要点：1. 定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则l直线 与平面 互相垂直，记作 . 平面 的垂线， 直线 的垂面，lll它们的唯一公共点 叫做垂足.（线线垂直 线面垂直）P2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若 ， ， B ， ， ，则 lmlnmnl3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角” ，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以
32、简述为“作（作出线面角）证（证所作为所求）求（解直角三角形） ”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.例题精讲：【例 1】四面体 中， 分别为 的中点，且ABCD,BEF,ADBC， ，求证： 平面 .2EFAC90BD 证明：取 的中点 ，连结 ， 分别为 的中点，G,EFG, ， .G12/12/F又 ，在 中， ， ，,ACBAC221EFGACEFGF，又 ，即 ， ， 平面 .BD90DBDACDBD【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 是 A1B1 的中点，求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角的
33、正弦值 .解：取 CD 的中点 F，连接 EF 交平面 于 O，连 AO.由1已知正方体，易知 平面 ，所以 为所求.在EO1ABC中， ， ，RtEOA12225()E.10sin5所以直线 AE 与平面 所成的角的正弦值为 .1ABCD105【例 3】三棱锥 中， ， 平面 ABC，垂足为 O，求证：PPBAC， POO 为底面ABC 的垂心.14B DCAEFG证明：连接 OA、 OB、 OC， 平面 ABC， PO .,POBCA又 ，PBC， ，得 ,O平 面 ， 平 面 ABCA， O 为底面ABC 的垂心.点评：此例可以变式为“已知 ，求证 ”，其思路是接着利P， PCB用射影是
34、垂心的结论得到 后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按CAB同样的思路证出.第 16 讲 2.3.2 平面与平面垂直的判定知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角 . （简记 ）AB PABQ 2. 二面角的平面角：在二面角 的棱 上任取一点 ，以点 为垂足，l lO在半平面 内分别作垂直于棱 的射线 和 ，则射线 和 构成的, OABAB叫做二面角的平面角. 范围： .O0183. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作
35、 .4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）例题精讲：【例 1】已知正方形 ABCD 的边长为 1，分别取边 BC、CD 的中点 E、F ，连结 AE、EF、AF ，以 AE、EF、FA 为折痕，折叠使点 B、C、D 重合于一点 P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面 APF.证明：（1）如右图，APE=APF=90，PEPF=P ， PA平面 PEF. EF 平面 PEF，PAEF.（2）APE=EPF=90 ，APPF=P ，PE平面 APF.又 PE 平面 PAE，平面 APE平面 APF.【例 2】如图, 在空间四边形 ABCD 中
36、， ,BCDA分别是 的中点，求证：平面 平面,EFG,CDABEF. 证明： 为 AC 中点，所以 .BGACG15同理可证 面 BGD. ,ACDGA又易知 EF/AC，则 面 BGD.EF又因为 面 BEF，所以平面 平面 .EFBGD第 17 讲 2.3.3 线面、面面垂直的性质知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直 线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若 ， ， ，则 .（面面垂直 线面垂直）lala例题精讲：【例 1】把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置于桌面
37、，另一条直角边 AC与桌面所在的平面 垂直，a 是 内一条直线，若斜边 AB 与 a 垂直，则BC 是否与 a 垂直？解：注：若 BC 与 a 垂直，同理可得 AB 与 a 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直线面垂直线线垂直”.【例 2】如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA 平面 ABC. （1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧， 试写出图中所有互相垂直的各对平面. 解：（1）证明：C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上 一点，AB 是圆 O 的直径， BCAC
38、.又 PA平面 ABC， BC平面 ABC，BCPA ，从而 BC平面 PAC. BC 平面 PBC， 平面 PAC平面 PBC.（2）平面 PAC平面 ABCD；平面 PAC平面 PBC；平面 PAD平面 PBD；平面 PAB平面 ABCD；平面 PAD平面 ABCD.第 18 讲 第 3 章 3.1.1 倾斜角与斜率知识要点：1. 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 我ACABCBCaAa平 面平 面 AC B a16们规定它的倾斜角为 0. 则直线 l 的倾斜角 的范围是 .02.
39、 倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . tank如果知道直线上两点 ，则有斜率公式 . 特别地是，当12(,)(,)Pxy 21ykx， 时，直线与 x 轴垂直，斜率 k 不存在；当 ， 时，直线12x12y 1212y与 y 轴垂直，斜率 k=0.注意：直线的倾斜角 =90时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合. 当 =90时，斜率 k=0；当 时，斜率 ，随着 的增大，090k斜率 k 也增大；当 时，斜率 ，随着 的增大，斜率 k 也增大. 9018k这样，可以求解倾斜角 的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题.例题精讲：【例 2】已知过两点 , 的直线
40、 l 的倾斜角为 45，求2(,3)Am2(,)Bm实数 的值.m解： ， ，解得 或 . 但当2 023tan451()2301m2时，A 、 B 重合，舍去 1 【例 3】已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a的值解: ， . A 、 B、 C 三点在一条直线上， 725ABka79)3(25BCk， 即 ， 解得 或 .C3aa29第 19 讲 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定知识要点：1. 对于两条不重合的直线 、 ，其斜率分别为 、 ，有：1l2l 1k2（1） ；（2） .12/l1k12l12k2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，
41、另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于 x 轴；.例题精讲：【例 1】四边形 ABCD 的顶点为 、 、 、 ，试判(2,)A(2,)B(0,2)C(4,2)D断四边形 ABCD 的形状 .解：AB 边所在直线的斜率 ，CD 边所在直线的斜率()ABk,2()24CDkBC 边所在直线的斜率 ，DA 边所在直线的斜率(2)20BCk,(2)24DAk17 ， AB/CD ，BC/ DA，即四边形 ABCD 为平行四边形.又,ABCDBAkk ， ABBC，即四边形 ABCD 为矩形.2()1【例 2】已知 的顶点 ，其垂心为 ，求顶点 的坐标(2,)6,3)BC(3,2)HA解：设顶点 A
42、 的坐标为 xy ， ， 即 ，化简为 ，解,CBH1ACBHk 1()6523yx53yx之得： . A 的坐标为 .1962xy(9,62)【例 3】 （1）已知直线 经过点 M（-3，0） 、N（-15，-6） ， 经过点 R（-1l 2l2， ） 、S（0， ） ，试判断 与 是否平行？51l2（2） 的倾斜角为 45， 经过点 P（-2，-1 ） 、Q （3，-6） ，问 与 是否1l 2 1l2垂直？点评：当 与 的斜率存在时， ， . 斜率不存在时，进1l2 1212/kl1212klA行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.第 20 讲
43、 3.2.1 直线的点斜式方程知识要点：1. 点斜式：直线 过点 ,且斜率为 k，其方程为 .l0()Pxy 00()ykx2. 斜截式：直线 的斜率为 k，在 y 轴上截距为 b，其方程为 .yb3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线 . 若直线 过点 且与 x 轴垂l0(,)P直,此时它的倾斜角为 90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 ，或 . 0x04. 注意： 与 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点0ykx()ykx，后者才是整条直线.0(,)Px例题精讲：【例 1】写出下列点斜式直线方程： （1）经过点 ，斜率是 4； (2,5)A（2）经过点 ，倾
44、斜角是 .(3,1)B30【例 2】已知直线 .（1）求直线恒经过的定点；（2）当 时，ykx 3x直线上的点都在 轴上方，求实数 的取值范围.k解：（1）由 ，易知 时， ，所以直线恒经过的定点 .(3)3x1y (,1)（2）由题意得 ，解得 .10kA6【例 3】光线从点 A（3，4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，18光线经过点 B（ 2，6） ，求射入 y 轴后的反射线的方程.解：A（ 3，4）关于 x 轴的对称点 A1（3，4）在经 x 轴反射的光线上，同样 A1（ 3，4）关于 y 轴的对称点 A2（3，4）在经过射入y 轴的反射线上， k = =2. 故所求直线方程
45、为 y6=2（x+2） ， 2AB63即 2x+y 2=0.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.【例 4】已知直线 经过点 ，且 与两坐标轴围成的三角形的面积为l(5,4)Pl5，求直线 的方程l解：由已知得 与两坐标轴不垂直直线 经过点 ， 可设直线 的方程为 ，即l(5,4)P l(4)(5)ykx.则直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 .根据题意4(5)ykxlx45ky得 ，即 .1|2A2()10|k当 时，原方程可化为 ，解得 ；0k2(54)10k128,5k当 时，原方程可化为 ，此方程无实数解. k故直线 的方程为 ，或 .即 或 .l4()5yx8()yx10xy8520xy点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.第 21 讲
