1、8.1 空间几何体的三视图、直观图,-2-,知识梳理,考点自诊,1.空间几何体的结构特征,平行且相等,全等,任意多边形,有一个公共顶点的三角形,相似,矩形,直角边,直角腰,圆锥,半圆面或圆面,-3-,知识梳理,考点自诊,2.空间几何体的三视图 (1)几何体的三视图包括 ,分别是从几何体的 方、 方、 方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 基本要求: , , . 画法规则: 一样高, 一样长, 一样宽;看不到的轮廓线画 线.,正视图、侧视图、俯视图,正前 正左 正上,长对正 高平齐 宽相等,正侧,正俯,侧俯,虚,-4-,知识梳理,考点自诊,3.空间几何体的直观图 (1)画法:常用 画法
2、. (2)规则 原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴、y轴的夹角为 ,z轴与x轴 . 原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中 ,平行于y轴的线段长度在直观图中 .,斜二测,45(或135),垂直,保持原长度不变,变为原来的一半,-5-,知识梳理,考点自诊,1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形. (3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形. (4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形.,-6-,知识梳理,
3、考点自诊,-7-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ( ) (3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分. ( ) (4)在用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中A=45. ( ) (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同. ( ) (6)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线. ( ),-8-,知识梳理,考点自诊,解析:(1)反例:由两个平行
4、六面体上下组合在一起的图形满足条件,但不是棱柱. (2)反例:如图所示图形不是棱锥.(3)根据棱台的概念知,棱台就是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的. (4)用斜二测画法画水平放置的A时,把x,y轴画成相交成45或135,平行于x轴的线还平行于x轴,平行于y轴的线还平行于y轴,所以A也可能为135. (5)正方体和球的三视图均相同,而圆锥的正视图和侧视图相同,且为等腰三角形,其俯视图为圆心和圆. (6)画几何体的三视图时,为了增加立体感,把看到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线画成虚线.,-9-,知识梳理,考点自诊,2.如图,长方体ABCD-ABCD中被截去一部分,其中EHAD.剩下的几何体是
5、( )A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱,C,解析:由几何体的结构特征,知剩下的几何体为五棱柱.,-10-,知识梳理,考点自诊,3.(2018全国,文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ),A,解析:根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.,-11-,知识梳理,考点自诊,4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ),D,解析:由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选
6、D.,-12-,知识梳理,考点自诊,5.利用斜二测画法得到的: 三角形的直观图一定是三角形; 正方形的直观图一定是菱形; 等腰梯形的直观图可以是平行四边形; 菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是 .,1,解析:由斜二测画法的规则可知正确;错误,是一般的平行四边形;错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,也错误.,-13-,考点1,考点2,考点3,空间几何体的结构特征 例1(1)给出下列四个命题: 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱; 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 各个面
7、都是三角形的几何体是三棱锥. 其中所有错误命题的序号是( ) A. B. C. D.,D,-14-,考点1,考点2,考点3,(2)(2018山东青岛模拟,5)以下命题: 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; 一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,A,-15-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故错误,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故错误,平行六面体的两个相对侧面
8、也可能与底面垂直且互相平行,故错误.如图由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥,故错误. (2)命题错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题错,因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;命题错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.,-16-,考点1,考点2,考点3,思考如何解决几何体的结构特征辨析题目? 解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力. 2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换
9、模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定. 3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.,-17-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)下面是关于四棱柱的四个命题: 若有一个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的编号是 . (2)设有四个命题,其中真命题的个数是( ) 有两个平面互相平行,其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱; 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多
10、面体一定是棱锥; 用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台; 侧面都是长方形的棱柱叫长方体. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,A,-18-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)显然错;正确,因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面;错,可以是斜四棱柱;正确,对角线两两相等,则此两对角线所在的平行四边形为矩形.故填. (2)不满足棱柱的定义,所以不正确;不满足棱锥的定义,所以不正确;不满足棱台的定义,所以不正确;没有说明底面形状,不满足长方体的定义,所以不正确;正确命题为0个,故选A.,-19-,考点1,考点2,考点3,平面图形与其直观图的关系 例2(1)右图是水平放
11、置的某个三角形的直观图,D是ABC中BC边的中点,且ADy轴,AB,AD,AC三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,则( ) A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AD,最短的是AC,C,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( ),A,-21-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)ADy轴,根据斜二测画法规则,在原图形中应有ADBC,又AD为BC边上的中线,所以ABC为等腰三角形.AD为BC边上的高,则有AB,AC相等且最长,AD最
12、短.,-22-,考点1,考点2,考点3,思考用斜二测画法画直观图的法则和技巧有哪些? 解题心得1.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”与“三不变”;平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是 2.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.,-23-,考点1,考点2,考点3,A,C,-24-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)将ABC放入锐角为45的斜角坐标系xOy内, 如图(1)所示, 过C作CDAB,垂足为
13、D, 将其还原为真实图形, 得到图(2)的ABC, 其中OA=OA,AB=AB,OC=2OC,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)斜二测画法规则:平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y轴或在y轴上的线段的长度在新坐标系中变为原来的 1 2 ,并注意到xOy=45xOy=90,且是直角梯形,结合摆放位置知选C.,-26-,考点1,考点2,考点3,空间几何体的三视图(多考向) 考向1 由空间几何体的直观图识别三视图 例3(1)(2018河南濮阳二模,5)已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图所示,A,B, C分别是GHI三边的中
14、点)后得到的几何体如图,则该几何体的侧视图为( )A.a,b B.a,c C.c,b D.b,d,A,-27-,考点1,考点2,考点3,(2)如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是(用代表图形)( ),A. B. C. D. 思考由直观图识别三视图时应注意什么问题?,B,-28-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)因为平面DEHG平面EFD,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A. (2)正视图应该是边长为3和4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是,侧视图应该是边长为
15、5和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是;俯视图应该是边长为3和5的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是.,-29-,考点1,考点2,考点3,考向2 由空间几何体的三视图还原直观图 例4(1)(2013四川,文2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台,D,-30-,考点1,考点2,考点3,(2)(2017全国1,理7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
16、( )A.10 B.12 C.14 D.16 思考由三视图还原几何体的直观图的基本步骤有哪些?,B,-31-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆,正视图与侧视图为等腰梯形,故此几何体为圆台. (2)由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S梯=(2+4)22=6,所以这些梯形的面积之和为12.,-32-,考点1,考点2,考点3,考向3 由三视图的两视图推测另一视图 例5(2018河北衡水调研(五),5)某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为( ),B,-
17、33-,考点1,考点2,考点3,解析:由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.,-34-,考点1,考点2,考点3,思考如何由三视图的两视图推测另一视图? 解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示. 2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图. 3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能
18、形式,再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,看看给出的部分三视图是否符合.,-35-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2018安徽合肥高三质检二)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,用过点A,C,E的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( ),A,-36-,考点1,考点2,考点3,(2)(2018北京,理5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4,C,-37-,考点1,考点2,考点3,(3)(2018江西南昌高三一模)已知圆台和正三棱锥的组合体的正视
19、图和俯视图如图所示,图中网格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为( ),B,-38-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)如图所示,取B1C1的中点F,则EFAC,平面ACFE是平面ACE截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示.故选A.,-39-,考点1,考点2,考点3,(2)由该四棱锥的三视图,得其直观图如图.由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知PD平面ABCD,所以侧面PAD和PDC都是直角三角形.由俯视图为直角梯形,易知DC平面PAD.又ABDC,所以AB平面PAD,所以ABPA,所以侧面PAB也是直角三角形.,从而PBC不是直角三角形.故
20、选C.,-40-,考点1,考点2,考点3,1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 2.旋转体要抓住“旋转”的特点,弄清底面、侧面及其展开图的形状. 3.三视图的画法 (1)实线、虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、高平齐、宽相等”.,-41-,考点1,考点2,考点3,1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点. 2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同. 3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易混淆实虚线.,-42-,易错警示三视
21、图识图中的易误辨析 典例(1)如图,几何体的正视图与侧视图都正确的是 ( ),-43-,(2)(2018东北四校二模,5)如图所示,三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的正视图是( ),-44-,易错分析:(1)不能正确把握投影方向及角度;(2)不能正确确定点、线的投影位置;(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线. 答案:(1)B (2)B 解析:(1)侧视时,看到一个矩形且不能有实对角线,故A、D排除.而正视时,有半个平面是没有的,所以应该有一条实对角线,且其对角线位置应为B中所示.故选B. (2)三棱锥的正视图应为高为4,底边长为3的直角三角形.,-45-,反思提升1.因对三视图的原理认识不到位,区分不清选项A和B,而易误选A. 2.因对三视图的画法要求不明而误选C或D,在画三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画,被遮住的部分的轮廓线用虚线画. 3.解答此类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图,在复习时要明确三视图的含义,掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求.,
