1、扬州市 20172018 学年度第一学期期末调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案 2018.2第一部分1. 2 3. 4. 5.6220946. 7. 8. 9. 10. 314,51373(1,)211. 12. 13.14. (2,)132(,2315 证明：在直三棱柱 中，四边形 是平行四边形，所以 ，1ABC1BC1/BC.2 分在 中， 分别为 的中点，故 ，所以 ，.4 分ABC,DE,/DE1/E又 平面 ， 平面 ，111A所以 平面 .7 分/在平面 内，过 作 于 ，1AB1FD因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面DE1BAE11BADF，所以 平面 ， .11 分
2、1又 平面 ，所以 ，1AFD在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，所以 ，1BCABCEABC1DE因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面1AFAF1B1A1BDE，1B因为 平面 ，所以 。 .14 分1DE注：作 时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣 1 分1AF16 解：因为 SABC = ，又 AB=6，BC=5，所以 ，2sin92ABC 3sin5B分又 ，所以 ， 3B(0,)24cos1sin5分当 cosB= 时， 452 4cos362513ACBABC5 分当 cosB= 时，452 4cos3625109所以 或.713AC09分注：少一解的扣 3 分 由 为锐角三
3、角形得 B 为锐角，所以 AB=6，AC= ，BC =5，ABC 13所以 ，36125cos3又 ，所以 ， (0,)A2sincos13A9 分所以 ， ， 32sin21=225cos()()1313A-=-12 分所以.14 分5312cos(2)cos2sin2666AApp-+=-=17. 解：因为 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 S，所以 OS MN.在 OSM 中，因为 OS=1，MOS= ，所以 SM= ， RTAtan在 OSN 中，NOS= ，所以 SN= ， 232t()3所以 ， .4 分2(tan1)tan()MN其中 6 分62 因为 ，所以 ，3tan10令 ，
4、则 ，3tan10t()t所以 ， . 4(2)MNt.8 分由基本不等式得 ， 10 分34(2)23t当且仅当 即 时取“=” . 4tt.12 分此时 ，由于 ，故 . . tan3623.13 分答： ，其中2(tan1)tan()3MN62当 时， 长度的最小值为 千米 3.14 分 注：第问中最小值对但定义域不对的扣 2 分18 解：设椭圆 的方程为 ，代入点 得 ，2E21xym(,1)2m所以椭圆 的方程为 3 分224因为椭圆 的离心率为 ，故 ，所以椭圆1E22ab221:Exyb又椭圆 与椭圆 “相似” ，且 ，所以椭圆 ，214m221:8设 ，120(,)(,)(,)
5、AxyBPxy方法一：由题意得 ，所以椭圆 ，将直线 ，b21:8Exy:2lykx代入椭圆 得 ，21:8Exy()0k解得 ，故 ，12,0k214,y所以 5 分2284(,)Ak又 ，即 为 中点，所以 ， 6PBAP2281(,)k分代入椭圆 得 ，2:3Exy2281()()31kk即 ，即 ，所以4200k22()(0k01k所以直线 的方程为 8 分l31yx方法二：由题意得 ，所以椭圆 ，2b21:8Ey2:3Exy设 ，则 ，(,)0,2AxyB(,4)Pxy代入椭圆得 ，解得 ，故 6228()312302x分所以 ， 301k所以直线 的方程为 8 分l3021yx方法
6、一： 由题意得 ，2222018,bybxyb，即 ，01yx011xy，则 ，解APB0121(,)(,)xy得 12 分021)(xy所以 220101()()xyb则 222 2200110011()()4()()xyyb 2xyyx所以 ，即 ，所以 .162228(1)bb24(1)52分方法二：不妨设点 在第一象限，设直线 ，代入椭圆P:(0)OPykx，22:8Exyb解得 ，则 ，021k021bky直线 的斜率之积为 ，则直线 ，代入椭圆 ，,OPA121:2OAyxk221:Exyb解得 ，则12bkx12byk，则 ，解得 ，APB0121(,)(,)xyxy012()x
7、y所以 220101()()b则 222 2200110011()()4()()xxxyyyb2y x所以，2 2222228(1)()(111bkbkb b 即 ，即 ，所以2()4()519 解：（1）由 知， 的图象直线过点 ，(1)0g()gx(1,0)设切点坐标为 ，由 得切线方程是0,Txyxfe00()xye此直线过点 ，故 ，解得 ，(1,)00(1)x0所以 .3 分0af（2）由题意得 恒成立，2,(0)xme令 ，则 ，再令 ，则2(),()x2xe()2xnxme，ne故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递(0,l)x()0nx()(l2,)x()0nx()增，
8、从而 在 上有最小值 ，()nx0,)(ln2)l0所以 在 上单调递增， .6 分m,所以 ，即 .8 分(0)1注：漏掉等号的扣 2 分（3）若 ， 在 上单调递增，0a()()xFxfgeab(0,)故 在 上总有零点的必要条件是 ，即 ， 10 分()xfg,(0F1b以下证明当 时， 在 上总有零点。1b()()xfgx0,)若 ，0a由于 ， ，且 在 上连续()10Fb()()0bbaaFee()Fx0,)故 在 上必有零点； 12 分()x,)a若 ， ，0a()10Fb由（2）知 在 上恒成立，22xe(,)x取 ，则0ab0()()abFeb2() 1b由于 ， ，且 在
9、上连续(1F()a()x0,)故 在 上必有零点，)x0,)b综上得：实数 的取值范围是 。 .16 分(1,)20. 解：（1） ， ，2nnSa211nnSa-得： ，即11()()0na因为 是正数数列，所以 ，即 ，na0na1n所以 是等差数列，其中公差为 1，na在 中，令 ，得 2nS1a所以 2 分na由 得 ，12nnb12nb所以数列 是等比数列，其中首项为 ，公比为 ， n 12所以 . 5 分1(),2nnb即注：也可累乘求 的通项n（2） ，裂项得7 分21()nnbcS 112()nnc所以 9 分12 1()2nn（3）假设存在正整数 ，使得 成等差数列，则 ，即
10、,pqr,pqrb2prqb，2prq因为 ，所以数列 从第二项起单调递减，1112nnnbnb当 时， ，p2rq若 ，则 ，此时无解；q1r若 ，则 ，因为 从第二项起递减，故 ，所以 符324rnb4r1,34pqr合要求11 分若 ，则 ，即 ，不符合要求，此时无解； 4q142qb1qb当 时，一定有 ，否则若 ，则 ，即2pp2p2421pqPbp，矛盾，pqb所以 ，此时 ，令 ，则 ，所以 ，112rp1rm12mr12mp，12mq综上得：存在 或 ， ， 满足要,34pqr1m1mq1mr求16 分第二部分（加试部分）答案21A解：因为 ，即 ，即 ，解得 ，1352135
11、xy235xy12xy所以 ，5 分23法 1：设 ，则 ，即 ，71abcdA12103abcdA2130acbd分解得 ，所以 .10 分213abcd123A法 2：因为 ，且 ，1dbabcac21det()313A所以 .10 分1123A注：法 2 中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣 2 分B解：（1）因为直线 的参数方程是 : ( 是参数)，l 2xmty所以直线 的普通方程为 -2 分l 0xy因为曲线 的极坐标方程为 ，故 ，所以C6cos26cos26xy所以曲线 的直角坐标方程是 -5 分2(3)9xy(2)设圆心到直线 的距离为 ，则 ， ld21又 ， -8 分32
12、md所以 ，即 或 -10 分417m22解：记 “6 名大学生中至少有 1 名被分配到甲学校实习” 为事件 ，则A. 613()=24PA-答：6 名大学生中至少有 1 名被分配到甲学校实习的概率为3 分634 所有可能取值是 0,2,4,6，记“6 名学生中恰有 名被分到甲学校实习”为事件 ( i iA)，则01,6i， ，365(21CPA，242664415(2)()()3CPA，151661515(4)()()2PA， 7 分0066060()()()32CPA所以随机变量 的概率分布为：0 2 4 6P516153316132所以随机变量 的数学期望.9 分 5()024+328E答：随机变量 的数学期望 .10 分15()823解（1）因为 ，所以 为 5 位数且与 有 2 项不同，5(,)2Mabb5a又因为首项为 1，故 与 在后四项中有两项不同，所以 的个数为 .3 分b46C（2）当 =0 时， 的个数为 ；(,)nabn01nC当 =1 时， 的个数为 ，,M当 =2 时， 的个数为 ，(,)nMabn21nC当 时， 的个数为 ，(,)n1abnb1n设 的和为 ， 则 ， .6 分,nMS01211()nnnCC倒序得 ，12101()nnn倒序相加得 ，即 ，01 112()2nnnS 2(1)nS所以 的和为 .10 分(,)nMab2()
