1、第 1 页（共 31 页）2018 年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合 ，B=x|x=2n +1，n Z，则 AB=（ ）A （ ，4 B1，3 C1，3，5 D1，32 欧拉公式 eix=cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 表示的复数位于复平面中的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四
2、象限3 已知角 的终边经过点 P（sin47 ，cos47 ） ，则 sin（ 13）=（ ）A B C D4 已知奇函数 f（x ）是函数 f（x ） （x R）是导函数，若 x0 时 f（x）0，则（ ）Af （0）f（log 32）f（log 23） Bf（log 32）f（0）f （log 23）C f（ log23） f（log 32）f（0） Df（ log23）f （0）f（log 32）5 设不等式组 表示的平面区域为 M，若直线 y=kx 经过区域 M 内的点，则实数 k 的取值范围为（ ）A B C D6 平面内直角三角形两直角边长分别为 a，b ，则斜边长为 ，直角顶点到
3、斜边的距离为 ，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为 S1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为 ，则三棱锥顶点到第 2 页（共 31 页）底面的距离为（ ）ABCD7 已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（ ）A6 + B C D88 执行如图程序框图，则输出的 n 等于（ ）A1 B2 C3 D49 函数 f（x）= （ x ）的图象大致为（ ）第 3 页（共 31 页）A B C D10 已知具有线性相关的五个样本点 A1（0， 0） ，A 2（2，2） ，A 3（3，2） ，A4（ 4，2 ） ，A 5（6
4、 ，4） ，用最小二乘法得到回归直线方程 l1：y=bx+a，过点A1， A2 的直线方程 l2：y=mx+n，那么下列 4 个命题中，mb，an；直线 l1 过点 A3； （参考公式， ）正确命题的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个11 设函数 ，若 f（x）的最大值不超过 1，则实数a 的取值范围为（ ）A B C D12 已知椭圆 ，O 为坐标原点，A，B 是椭圆上两点，OA，OB 的斜率存在并分别记为 kOA、k OB，且 ，则 的最小值为（ ）A B C D第 4 页（共 31 页）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 展开式中的常数项为
5、 14 平面向量 ， ，若有 ，则实数 m= 15 在圆 x2+y2=4 上任取一点，则该点到直线 x+y2 =0 的距离 d0，1的概率为 16 已知台风中心位于城市 A 东偏北 （ 为锐角）度的 150 公里处，以 v 公里/小时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 （ 为锐角）度的 200 公里处，若 ，则 v= 三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12.00 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 S4=2a41，S 3=2a31（1）求a n的通项公式；（2）记 bn=log2（a nan+1
6、） ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：18 （12.00 分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各 40 人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在50，100，按照区间50，60） ，60，70） ，70 ，80） ，80 ，90 ） ，90，100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于 80 分（百分制）为优秀第 5 页（共 31 页）（1）完成表格，并判断是否有 90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班 乙班
7、 总计大于等于 80 分的人数小于 80 分的人数总计（2）从乙班70，80） ，80，90） ，90 ，100分数段中，按分层抽样随机抽取7 名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自80，90）发言的人数为随机变量X，求 X 的分布列和期望附：K2= ，P（K 2k 0）0.10 0.05 0.025k0 2.7063.841 5.02419 （12.00 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABCD 为直角梯形，ADBC，ADAB，AB=BC=AP= AD=3，ACBD=O，过 O 点作平面 平行于平面 PAB，平面 与棱 BC，AD，PD，PC 分别相交于点 E，F，G，
8、H（1）求 GH 的长度；（2）求二面角 BFHE 的余弦值第 6 页（共 31 页）20 （12.00 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p 0）的焦点为 F，准线为 l，过焦点F 的直线交 C 于 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）两点，y 1y2=4（1）求抛物线方程；（2）点 B 在准线 l 上的投影为 E，D 是 C 上一点，且 ADEF，求ABD 面积的最小值及此时直线 AD 的方程21 （12.00 分）已知函数 f（x）=ln （ax ）+bx 在点（1，f（1） ）处的切线是y=0（1）求函数 f（x）的极值；（2）当 恒成立时，求实数 m 的取值范围（e 为自
9、然对数的底数） 22 （10.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求 C 的极坐标方程；（2）若直线 l1，l 2 的极坐标方程分别为 ， ，设直线 l1，l 2 与曲线 C 的交点为 O，M，N，求OMN 的面积23已知 f（ x）=|2x+3a 2|（1）当 a=0 时，求不等式 f（x）+|x2|3 的解集；第 7 页（共 31 页）（2）对于任意实数 x，不等式 |2x+1|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围第 8 页（共 31 页）2018 年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）
10、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合 ，B=x|x=2n +1，n Z，则 AB=（ ）A （ ，4 B1，3 C1，3，5 D1，3【分析】先解出集合 A=0，1，2，3，4，然后可判断 1，3 B，进行交集的运算即可求出 AB【解答】解：A=0，1，2，3，4；对于集合 B：n=0 时，x=1；n=1 时，x=3；即 1，3 B；AB=1，3故选：B【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算2 欧拉公式 eix=cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学
11、家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 表示的复数位于复平面中的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】直接由欧拉公式 eix=cosx+isinx，可得 =cos = ，则答案可求【解答】解：由欧拉公式 eix=cosx+isinx，可得 =cos = ， 表示的复数位于复平面中的第一象限第 9 页（共 31 页）故选：A【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数学转化思想方法，是基础题3 已知角 的终边经过点 P（sin47 ，cos47 ） ，则 s
12、in（ 13）=（ ）A B C D【分析】根据三角函数的定义求出 sin和 cos，结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简即可【解答】解：r=|OP |= =1，sin= =cos47，cos= =sin47，则 sin（ 13）=sincos13cossin13=cos47cos13sin47sin13=cos （47+13 ）=cos60= ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键4 已知奇函数 f（x ）是函数 f（x ） （x R）是导函数，若 x0 时 f（x）0，则（ ）Af （0）f（log 32）f（log
13、 23） Bf（log 32）f（0）f （log 23）C f（ log23） f（log 32）f（0） Df（ log23）f （0）f（log 32）【分析】判断 f（x）的单调性和奇偶性，再判断大小关系【解答】解：f（x ）是奇函数，且 x0 时 f（x）0，当 x0 时，f（x ）0，f（ x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，f （ x）=f（x） ，f（ x）=f（x） ，第 10 页（共 31 页）f（ x）是偶函数log 23log 320，f（ log23）=f（log 23）f（log 32）f（0） 故选：C【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用
14、，属于中档题5 设不等式组 表示的平面区域为 M，若直线 y=kx 经过区域 M 内的点，则实数 k 的取值范围为（ ）A B C D【分析】画出不等式组对应的可行域，由于函数 y=kx 的图象是过点 O（0，0） ，斜率为 k 的直线 l，故由图即可得出其范围【解答】解：由不等式组 ，作出可行域如图，如图因为函数 y=kx 的图象是过点 O（0，0） ，且斜率为 k 的直线 l，由图知，当直线 l 过点 A（ 1，2 ）时，k 取最大值：2，当直线 l 过点 B（2，1）时，k 取最小值： ，故实数 k 的取值范围是 ，2故选：C第 11 页（共 31 页）【点评】本题考查简单线性规划，利用
15、线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题6 平面内直角三角形两直角边长分别为 a，b ，则斜边长为 ，直角顶点到斜边的距离为 ，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为 S1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为 ，则三棱锥顶点到底面的距离为（ ）ABCD【分析】三棱锥 PABC，PA，PB ，PC 两两垂直，P 在底面的射影为 H，设PA=a，PB=b，PC=c，运用三棱锥的体积公式和等积法，计算可得所求距离【解答】解：如图三棱锥 PABC，PA，PB ，PC 两两垂直，第 12 页（共 31 页）P 在底面的射影
16、为 H，设 PA=a，PB=b，PC=c，可得 S1= ab，S 2= bc，S 3= ca，可得 abc=2 ，由题意可得底面积为 ，由等积法可得 abc= PH ，可得 PH= = ，故选：C【点评】本题考查类比推理的应用，注意平面与空间的区别和联系，考查等积法的运用，属于中档题7 已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（ ）A6 + B C D8【分析】几何体为圆台和三棱锥的组合体，根据三视图的对应关系计算侧视图第 13 页（共 31 页）面积【解答】解：由正视图和俯视图可知几何体为下部为圆台，上部为三棱锥，其中圆台的上下底面
17、半径分别为 1，2，高为 2，三棱锥的高为 2，底面为等腰三角形，由俯视图可知底面等腰三角形底边的高为 ，故侧视图下部分为上下底分别为 2，4，高为 2 的梯形，上部分为底边为 ，高为 2 的三角形，侧视图的面积为 （2+4）2+ = 故选：B【点评】本题考查了简单组合体的结构特征与三视图，属于中档题8 执行如图程序框图，则输出的 n 等于（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0，x= ，a=sin ，不满足条件 a= ，执行循
18、环体，n=1 ，x= ，a=sin=0，不满足条件 a= ，执行循环体，n=2 ，x= ，a=sin = ，不满足条件 a= ，执行循环体，n=3 ，x= ，a=sin = ，第 14 页（共 31 页）满足条件 a= ，退出循环，输出 n 的值为 3故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9 函数 f（x）= （ x ）的图象大致为（ ）A B C D【分析】利用函数的奇偶性排除选项 B，通过特殊点的位置排除选项 D，利用特殊值的大小，判断选项即可【解答】解：函数 是奇函数，排除选项 B；x= 时，y= 0，排除选项 D，x=
19、 时，y= ， ，所以排除选项 C故选：A【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置，是判断函数的图象的常用方法10 已知具有线性相关的五个样本点 A1（0， 0） ，A 2（2，2） ，A 3（3，2） ，A4（ 4，2 ） ，A 5（6 ，4） ，用最小二乘法得到回归直线方程 l1：y=bx+a，过点第 15 页（共 31 页）A1， A2 的直线方程 l2：y=mx+n，那么下列 4 个命题中，mb，an；直线 l1 过点 A3； （参考公式， ）正确命题的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】首先求得 a，b， m，n 的值，然后结合所给的数据验
20、证所给的算式是否成立即可【解答】解：由题意可得： ，则： ，线性回归方程 l1 为： ，直线 l2 的方程为：y=x，故：b=0.6，a=0.2，m=1 ，n=0，说法正确；30.6+0.2=2，则直线 l1 过 A3，说法正确；， ，说法错误；， ，说法错误；综上可得：正确命题的个数有 2 个故选：B【点评】本题考查线性回归方程及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题第 16 页（共 31 页）11 设函数 ，若 f（x）的最大值不超过 1，则实数a 的取值范围为（ ）A B C D【分析】讨论 xa+1 时， xa+1 时，由指数函数、绝对值函数的单调性，可得最大值，解
21、不等式即可得到所求范围【解答】解：当 xa+1 时， f（x）=（ ） |xa|在（，a）递增，a， a+1）递减，可得 x=a 处取得最大值，且为 1；当 xa+1 时，f（x）=a| x+1|，当 a+1 1，即 a2 时， f（x）递减，可得 a|a+2|1，解得 a ；当 a+1 1，即 a2 时， f（x）在 x=1 处取得最大值，且为a 1，则 a综上可得 a 的范围是 ，+） 故选：A【点评】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数和绝对值函数的单调性，考查运算能力，属于中档题12 已知椭圆 ，O 为坐标原点，A，B 是椭圆上两点，OA，OB 的斜率存
22、在并分别记为 kOA、k OB，且 ，则 的最小值为（ ）A B C D【分析】设椭圆的参数方程，根据直线的斜率公式，求得 = +，利用两点之间的距离公式，求得|OA| 2+|OB|2=36，根据基本不等式求得即可求得第 17 页（共 31 页）的最小值【解答】解：设 A（2 cos，2 sin） ，B（2 cos，2 sin） ， 0，2） ，0，2） ，由 kOAkOB= = ，整理得： cossin+sinsin=0，即cos（）=0，则 = ，= +，则 A（2 cos（ +） ，2 sin（ +） ） ，即 A（ 2 sin，2 cos） ，|OA| 2=24sin2+12cos2=
23、12（1 +sin2） ，|OB |2=12（1+cos 2） ，则|OA| 2+|OB|2=36，|OA|OB| =18，当且仅当|OA|= |OB|，即 sin= ，= 或 = ， = ，当且仅当|OA|=|OB |，即sin= ， = 或 = ，综上可知： 的最小值 ，故选：C【点评】本题考查椭圆的参数方程，直线的斜率公式，基本不等式的应用，考查转化思想，属于难题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 展开式中的常数项为 4 【分析】分别求出（x+2） 3 的展开式中含 x 的项及常数项，再由多项式乘多项式求解【解答】解：（x+2） 3 的通项公式为 = 取
24、3r=1，得 r=2（x+2） 3 的展开式中含 x 的项为 12x，第 18 页（共 31 页）取 3r=0，得 r=3（x+2） 3 的展开式中常数项为 8， 展开式中的常数项为 128=4故答案为：4【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题14 平面向量 ， ，若有 ，则实数 m= 2 【分析】根据平面向量的模长公式与数乘向量，列方程求出 m 的值【解答】解：向量 ， ，若 ，则（2 ）（5，2m）= ，2 =0，化简得 m2=4，解得 m=2故答案为：2【点评】本题考查了平面向量的模长公式与数乘向量应用问题，是基础题15 在圆 x2+y2=4 上任取一点，
25、则该点到直线 x+y2 =0 的距离 d0，1的概率为 【分析】由题意画出图形，由弧长公式求出在圆 x2+y2=4 上任取一点，该点到直线 x+y2 =0 的距离 d0，1的弧的长度，再由测度比为长度比得答案【解答】解：如图，第 19 页（共 31 页）直线 x+y2 =0 与圆 x2+y2=4 相切于 D，且 OD=2，作与直线 x+y2 =0 平行的直线交圆于 AB，由 O 到直线 AB 的距离 OC=1，半径 OA=2，可得 ，劣弧 的长度为 ，而圆的周长为 4，在圆 x2+y2=4 上任取一点，则该点到直线 x+y2 =0 的距离 d0，1 的概率为 故答案为： 【点评】本题考查几何概
26、型，考查直线与圆位置关系的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题16 已知台风中心位于城市 A 东偏北 （ 为锐角）度的 150 公里处，以 v 公里/小时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 （ 为锐角）度的 200 公里处，若 ，则 v= 100 【分析】如图所示：AB=150，AC=200 ，B=，C=，根据解三角形可得3sin=4sin，又 cos= cos，求出 cos= ，cos= ，求出 BC 的距离，即可求出速度第 20 页（共 31 页）【解答】解：如图所示：AB=150，AC=200 ，B=，C=，在 RtADB 中，AD=ABsin=150sin
27、，BD=ABcos在 RtADC 中， AD=ACsin=200sin，CD=ACcos150sin=200sin，即 3sin=4sin，又 cos= cos，由解得 sin= ，cos= ，sin= ，cos=BD=ABcos=150 =90，CD=ACcos=200 =160，BC=BD+CD=90+160=250，v= =100，故答案为：100【点评】本题考查了解三角形的问题，以及三角函数的关系，属于基础题三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12.00 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 S4=2a41，S
28、3=2a31（1）求a n的通项公式；（2）记 bn=log2（a nan+1） ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：第 21 页（共 31 页）【分析】 （1）设a n的公比为 q，由 S4S3=a4 得，2a 42a3=a4，从而 q=2由S3=2a31，求出 a1=1由此 an的通项公式（2）由 ，得 ，由 【解答】解：（1）设a n的公比为 q，由 S4S3=a4 得，2a 42a3=a4，所以 ，所以 q=2又因为 S3=2a31，所以 a1+2a1+4a1=8a11，所以 a1=1所以 证明：（2）由（1）知 ，所以 ，所以= 【点评】本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的
29、求解，利用裂项求和法是解决本题的关键18 （12.00 分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各 40 人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在50，100，按照区间50，60） ，60，70） ，70 ，80） ，80 ，90 ） ，90，100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于 80 分（百分制）为优秀第 22 页（共 31 页）（1）完成表格，并判断是否有 90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班 乙班 总计大
30、于等于 80 分的人数小于 80 分的人数总计（2）从乙班70，80） ，80，90） ，90 ，100分数段中，按分层抽样随机抽取7 名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自80，90）发言的人数为随机变量X，求 X 的分布列和期望附：K2= ，P（K 2k 0）0.10 0.05 0.025k0 2.7063.841 5.024【分析】 （1）依题意求出 K23.3332.706 ，从而有 90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”（2）从乙班70，80） ，80，90） ，90 ，100分数段中抽人数分别为2，3 ，2 ，依题意随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求
31、出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望【解答】解：（1）依题意得 ，有 90%以上的把握认为 “数学成绩优秀与教学改革有关”第 23 页（共 31 页）（2）从乙班70，80） ，80，90） ，90 ，100分数段中抽人数分别为2，3 ，2 ，依题意随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，X 的分布列为：X 0 1 2 3P 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12.00 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABCD 为直角梯形，ADBC，ADAB，AB=B
32、C=AP= AD=3，ACBD=O，过 O 点作平面 平行于平面 PAB，平面 与棱 BC，AD，PD，PC 分别相交于点 E，F，G，H（1）求 GH 的长度；（2）求二面角 BFHE 的余弦值【分析】 （1）法一：推导出 EFAB，EHBP，FGAP，从而BOCDOA，且 ，连接 HO，则有 HOPA，过点 H 作 HNEF 交 FG 于 N，由此能求出 GH第 24 页（共 31 页）法二：由面面平行的性质定理，得 EFAB，EHBP ，FG AP，作HNBC，HN PB=N，GMAD，HN GM，HN=GM，故四边形 GMNH 为矩形，即 GH=MN，由此能求出 GH（2）以 A 为原
33、点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 BFHE 的余弦值【解答】解：（1）解法一：因为 平面 PAB，平面 平面ABCD=EF，O EF，平面 PAB平面 ABCD=AB，所以 EFAB，同理 EHBP，FGAP，因为 BCAD，AD=6，BC=3，所以BOC DOA，且 ，所以 ， ，同理 ，连接 HO，则有 HOPA，所以 HOEO ，HO=1，所以 ，同理， ，过点 H 作 HNEF 交 FG 于 N，则解法二：因为 平面 PAB，平面 平面 ABCD=EF，O EF，平面 PAB平面 ABCD=AB，根据面面平行的
34、性质定理，所以 EFAB，同理 EHBP ，FG AP，因为 BCAD，AD=2BC，所以BOCDOA，且 ，又因为COEAOF，AF=BE，所以 BE=2EC，同理 2AF=FD，2PG=GD，如图：作 HNBC，HN PB=N，GMAD，GMPA=M，所以 HNGM，HN=GM，故四边形 GMNH 为矩形，即 GH=MN，在PMN 中，所以 ，所以 第 25 页（共 31 页）解：（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，B（3 ，0，0 ） ，F（0，2 ， 0） ，E（3，2，0） ，H（2，2，1） ，设平面 BFH 的法
35、向量为 ，令 z=2，得 ，因为平面 EFGH平面 PAB，所以平面 EFGH 的法向量 ，故二面角 BFHE 的余弦值为 【点评】本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12.00 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p 0）的焦点为 F，准线为 l，过焦点F 的直线交 C 于 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）两点，y 1y2=4（1）求抛物线方程；第 26 页（共 31 页）（2）点 B 在准线 l 上的投影为 E，D 是 C 上一点，且 ADEF，求ABD 面积的
36、最小值及此时直线 AD 的方程【分析】 （1）根据题意，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出 p 的值，综合即可得答案；（2）根据题意，设 D（x 0，y 0） ， ，分析可得 E、A 的坐标，进而可得直线 AD 的方程，结合三角形面积公式可以用 t 表示ABD 面积，利用基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：（）依题意 ，当直线 AB 的斜率不存在时， |AB|=p2=4，p=2当直线 AB 的斜率存在时，设由 ，化简得由 y1y2=4 得 p2=4，p=2 ，所以抛物线方程 y2=4x（）设 D（ x0，y 0） ， ，则 E（1，t） ，又由 y1y2=4，可得因为 ，AD EF，所
37、以 ，故直线由 ，化简得 ，所以 第 27 页（共 31 页）所以设点 B 到直线 AD 的距离为 d，则所以 ，当且仅当 t4=16，即 t=2，当 t=2 时，AD：xy3=0，当 t=2 时，AD：x+y3=0【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系， （1）中注意直线的斜率是否存在21 （12.00 分）已知函数 f（x）=ln （ax ）+bx 在点（1，f（1） ）处的切线是y=0（1）求函数 f（x）的极值；（2）当 恒成立时，求实数 m 的取值范围（e 为自然对数的底数） 【分析】 （）求出 ，由导数的几何意义得 f（x ）=lnxx+1（x （0，+） ）
38、 ，由此能示出 f（x）的极值（）当 （m0）在 x（0，+）恒成立时，第 28 页（共 31 页）（m0）在 x（0，+）恒成立，法一：设 ，则 ，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，； g（x） ，h（x）均在 x=1 处取得最值，要使 g（x ）h（x）恒成立，只需 g（x） minh （x） max，由此能求出实数 m的取值范围法二：设 （x （0，+） ） ，则 ，由此能求出实数 m 的取值范围【解答】解：（）因为 f（x ）=ln（ax ）+bx，所以 ，因为点（1，f（1 ） ）处的切线是 y=0，所以 f（1） =1+b=0，且 f（1）=lna+b=0所以
39、 a=e，b=1，即 f（x）=lnx x+1（x（0，+） ）所以 ，所以在（0，1）上递增，在（1，+）上递减所以 f（ x）的极大值为 f（1）=lne 1=0，无极小值（）当 （m0）在 x（0，+）恒成立时，由（）f（x）=lnx x+1，即 （m0）在 x（0，+）恒成立，解法一：设 ，则 ，又因为 m0，所以当 0x1 时，g（x ）0，h （x）0；当 x1 时，g（x ）0， h（x）0所以 g（x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，；h（x）在（0，1）上单调递增，在（ 1，+）上单调递减，第 29 页（共 31 页）所以 g（x ） ，h（x）均在 x=1
40、 处取得最值，所以要使 g（x）h（x ）恒成立，只需 g（x ） minh（x） max，即 ，解得 m1e，又 m0，所以实数 m 的取值范围是1 e，0） 解法二：设 （x （0，+） ） ，则当 0x1 时，lnx0，x10，则 ， ，即 g（x）0当 x1 时，lnx0，x 10，则 ， ，即 g（x）0所以 g（x ）在 x（0，1）上单调递增，在 x（1，+）上单调递减所以 ，即 ，又 m0所以实数 m 的取值范围是1 e，0） 【点评】本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质、导数性质、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中
41、档题22 （10.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求 C 的极坐标方程；（2）若直线 l1，l 2 的极坐标方程分别为 ， ，设直线 l1，l 2 与曲线 C 的交点为 O，M，N，求OMN 的面积【分析】 （1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用方程组求出极径的长，最后求出三角形的面积【解答】解：（1）由参数方程 ，得普通方程（x2） 2+y2=4，所以极坐标方程 2cos2+2sin24sin=0，第 30 页（共 31 页）即 =4sin（2）直线 与
42、曲线 C 的交点为 O，M，得 ，又直线 与曲线 C 的交点为 O， N，得 ，且 ，所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用23已知 f（ x）=|2x+3a 2|（1）当 a=0 时，求不等式 f（x）+|x2|3 的解集；（2）对于任意实数 x，不等式 |2x+1|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）当 a=0 时，不等式 f（x）+|x2|3 变成|2x |+|x2|3，讨论 x 取值，去绝对值号即可解出该不等式；（2）由不等式|2x+1|f（x ）2a 即可得出|2x+1| |2x+3a2|2a，而|2x+1|2x+3a2|3a 21|，从而得到不等式|3a 21|2a，解该不等式即可得出实数 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=0 时，f （x）+|x2|=|2x |+|x2|3； ，得 ； ，得 1x2； ，得x2；f（ x）+|x2|2 的解集为 ；（2）对于任意实数 x，不等式 |2x+1|f（x）2a 成立，即 |2x+1|2x+3a2|2a恒成立；
