1、文科数学试题绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试(III 卷)文科数学(适用地区：云南、广西、贵州、四川)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=1，2，3，4，B=2，4，6，8，则 AB 中元素的个数为A1 B
2、2 C3 D42复平面内表示复数 z=i（2+i）的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4已知 ，则 =4sinco3sin2文科数学试题A B C D5设 x，y 满足约束条件 则 z=xy 的取值范围是A3
3、，0 B3，2 C0，2 D0，36函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x ）的最大值为A B1 C D7函数 y=1+x+ 的部分图象大致为A. B.C. D.文科数学试题8执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为A5 B4 C3 D29已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B C D10在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则AA 1EDC 1 BA 1EBD CA 1EBC 1 DA 1EAC11已知椭圆 C： =1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A 2，且
4、以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为A B C D12已知函数 f（x）=x 22x+a（e x1 +ex+1 ）有唯一零点，则 a=A B C D1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 =（2，3） ， =（3，m） ，且 ，则 m= 14双曲线 （a0）的一条渐近线方程为 y= x，则 a= 15ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60，b= ，c=3，则 A= 文科数学试题16设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x ）1 的 x 的取值范围是 三、解答题：共 70 分。解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考:题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）设数列 满足 na123(1)2naa（1）求 的通项公式；n（2）求数列 的前 n 项和21文科数学试题18 （12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300
6、 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率文科数学试题19 （12 分）如图四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形
7、，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx2 与 x 轴交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（0，1） ，当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值文科数学试题21 （12 分）已知函数 2()ln(1).fxax（1）讨论 的单调性；()f（2）当 时，证明 0a3()24fxa（二）选考题：共 1
8、0 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）-在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 ， （t 为参数） ，直线 l2的参数方程2xyk为 ， （m 为参数） 设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C2xyk（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径3:(cosin)20l文科数学试题23选修 4 5：不等式选讲（10 分）-已知函数 ()12fxx（1）求不等式 的解集；（2）若不等式
9、的解集非空，求 m 的取值范围2()fx文科数学试题绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试(III 卷)文科数学(适用地区：云南、广西、贵州、四川)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=1，2，3，4，B=2，4，
10、6，8，则 AB 中元素的个数为A1 B2 C3 D4【解答】解：集合 A=1，2，3，4，B=2，4，6，8，AB=2，4，AB 中元素的个数为 2故选：B2 （5 分） （2017新课标）复平面内表示复数 z=i（2+i）的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：z=i（2+i）=2i1 对应的点（1，2）位于第三象限故选：C3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图文科数学试题根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待
11、游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误；年接待游客量逐年增加，故 B 正确；各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确；各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确；故选：A4已知 sincos= ，则 sin2=A B C D【解答】解：sincos= ，（sinco
12、s） 2=12sincos=1sin2= ，sin2= ，故选：A5设 x，y 满足约束条件 则 z=xy 的取值范围是A3，0 B3，2 C0，2 D0，3文科数学试题【解答】解：x，y 满足约束条件 的可行域如图：目标函数 z=xy，经过可行域的 A，B 时，目标函数取得最值，由 解得 A（0，3） ，由 解得 B（2，0） ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3，目标函数的取值范围：3，2故选：B6函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x ）的最大值为A B1 C D【解答】解：函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x ）= sin（x+ ）+cos（x+） = sin（ x
13、+ ）+sin（ x+ ）= sin（x+ ） 故选：A7函数 y=1+x+ 的部分图象大致为文科数学试题A. B.C. D.【解答】解：函数 y=1+x+ ，可知：f（x）=x+ 是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数 y=1+x+ 的图象关于（ 0，1）对称，当 x0 +，f（x）0，排除 A、C，点 x= 时，y=1+，排除 B故选：D8执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为文科数学试题A5 B4 C3 D2【解答】解：由题可知初始值 t=1，M=100，S=0，要使输出 S 的值小于 91，应满足“tN” ，则进入循环体，从而 S=100
14、，M=10，t=2，要使输出 S 的值小于 91，应接着满足“tN” ，则进入循环体，从而 S=90，M=1，t=3，要使输出 S 的值小于 91，应接着满足“tN” ，则进入循环体，从而 S=91，M=0.1，t=4，要使输出 S 的值小于 91，应不满足“tN” ，跳出循环体，此时 N 的最小值为 3，故选：C9已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B C D【解答】解：圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径 r= = ，该圆柱的体积：V=Sh= = 故选：B10在正方体 ABCDA 1B
15、1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则文科数学试题AA 1EDC 1 BA 1EBD CA 1EBC 1 DA 1EAC【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA 1B1C1D1中棱长为 2，则 A1（2，0，2） ，E（0，1，0） ，B（2，2，0） ，D（0，0，0） ，C 1（0，2，2） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，=（2，1，2） ， =（0，2，2） ， =（2，2，0） ，=（2，0，2） ， =（2，2，0） ， =2， =2， =0， =6，A 1EBC 1故选：C11已知椭圆
16、 C： =1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为A B C D【解答】解：以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，原点到直线的距离 =a，化为：a 2=3b2椭圆 C 的离心率 e= = = 故选：A12已知函数 f（x）=x 22x+a（e x1 +ex+1 ）有唯一零点，则 a=文科数学试题A B C D1【解答】解：因为 f（x）=x 22x+a（e x1 +ex+1 ）=1+（x1） 2+a（e x1 + ）=0，所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1（x1） 2=a（e
17、 x1 + ）有唯一解，等价于函数 y=1（x1） 2的图象与 y=a（e x1 + ）的图象只有一个交点当 a=0 时，f（x）=x 22x1，此时有两个零点，矛盾；当 a0 时，由于 y=1（x1） 2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 y=a（e x1 + ）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数 y=1（x1） 2的图象的最高点为 A（1，1） ，y=a（e x1 + ）的图象的最高点为 B（1，2a） ，由于 2a01，此时函数 y=1（x1） 2的图象与 y=a（e x1 + ）的图象有两个交点，矛盾；当 a0 时，由于 y=1（x1） 2在（，1）上递增、在（1，+
18、）上递减，且 y=a（e x1 + ）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数 y=1（x1） 2的图象的最高点为 A（1，1） ，y=a（e x1 + ）的图象的最低点为 B（1，2a） ，由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a= ，符合条件；综上所述，a= ，故选：C二、填空题13已知向量 =（2，3） ， =（3，m） ，且 ，则 m=2 【解答】解：向量 =（2，3） ， =（3，m） ，且 ， =6+3m=0，解得 m=2故答案为：214 （5 分） （2017新课标）双曲线 （a0）的一条渐近线方程为 y= x，则文科数学试题a=5 【解答】解：双曲线
19、 （a0）的一条渐近线方程为 y= x，可得 ，解得 a=5故答案为：515 （5 分） （2017新课标）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60，b= ，c=3，则 A=75【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60， b= ，c=3，sinB= = ，bc，B=45，A=180BC=1804560=75，故答案为：7516 （5 分） （2017新课标）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x ）1 的 x 的取值范围是 x 【解答】解：若 x0，则 x ，则 f（x）+f（x ）1 等价为 x+1+x +11，即 2x ，则 x ，此时 x0，当 x
20、0 时，f（x）=2 x1，x ，当 x 0 即 x 时，满足 f（x）+f（x ）1 恒成立，当 0x ，即 x0 时，f（x ）=x +1=x+ ，此时 f（x）+f（x ）1 恒成立，综上 x ，文科数学试题故答案为：x三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考:题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）设数列a n满足 a1+3a2+（2n1）a n=2n（1）求a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和【解答】解：（1）数列a n满足 a1+3a2+（2n
21、1）a n=2nn2 时，a 1+3a2+（2n3）a n1 =2（n1） （2n1）a n=2a n= 当 n=1 时，a 1=2，上式也成立a n= （2） = = 数列 的前 n 项和= + + =1 = 18 （12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，
22、统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间20，25）和最高气温低于 20 的天数为 2+16+36=54，文科数学试题
23、根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶，如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶，如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶，六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p= = （2）当温度大于等于 25C 时，需求量为 500，Y=4502=900 元，当温度在20，25）C 时，需求量为 300，Y=3002（450300）2=300 元，当温度低于 20C 时，需求量为 200，Y=400（450200）2=100 元，当温度大于等于 20 时，Y0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于
24、等于 20C 的天数有：90（2+16）=72，估计 Y 大于零的概率 P= 19 （12 分）如图四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比【解答】证明：（1）取 AC 中点 O，连结 DO、BO，ABC 是正三角形，AD=CD，DOAC，BOAC，DOBO=O，AC平面 BDO，BD平面 BDO，ACBD文科数学试题解：（2）设 AD=CD= ，则 AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= = ，
25、BO 2+DO2=BD2，BODO，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（1，0，0） ，D（0，0，1） ，B（0， ，0） ，A（1，0，0） ，设 E（a，b，c） ， ， （01） ，则（a，b，c1）=（0， ，1） ，解得E（0， ，1） ， =（1， ） ， =（1， ） ，AEEC， =1+3 2+（1） 2=0，由 0，1，解得 ， DE=BE，四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h，DE=BE，S DCE =SBCE ，四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 120
26、 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx2 与 x 轴交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（0，1） ，当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值【解答】解：（1）曲线 y=x2+mx2 与 x 轴交于 A、B 两点，可设 A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，由韦达定理可得 x1x2=2，若 ACBC，则 kACkBC=1，文科数学试题即有 =1，即为 x1x2=1 这与 x1x2=2 矛盾，故不出现 ACBC 的情况；（2）证明：设过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2+y2
27、+Dx+Ey+F=0（D 2+E24F0） ，由题意可得 y=0 时，x 2+Dx+F=0 与 x2+mx2=0 等价，可得 D=m，F=2，圆的方程即为 x2+y2+mx+Ey2=0，由圆过 C（0，1） ，可得 0+1+0+E2=0，可得 E=1，则圆的方程即为 x2+y2+mx+y2=0，再令 x=0，可得 y2+y2=0，解得 y=1 或2即有圆与 y 轴的交点为（0，1） ， （0，2） ，则过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 321 （12 分）已知函数 f（x）=lnx+ax 2+（2a+1）x（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 a0 时，证明 f（x） 2
28、【解答】 （1）解：因为 f（x）=lnx+ax 2+（2a+1）x，求导 f（x）= +2ax+（2a+1）= = ， （x0） ，当 a=0 时，f（x）= +10 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0，由于 x0，所以（2ax+1） （x+1）0 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，令 f（x）=0，解得：x= 因为当 x（0， ）f （x）0、当 x（ ， +）f（x）0，所以 y=f（x）在（0， ）上单调递增、在（ ， +）上单调递减综上可知：当 a0 时 f（x）在（0，+）上单调递增，当 a0 时，f（x）在（0， ）上单调递增
29、、在（ ，+）上单调递减；文科数学试题（2）证明：由（1）可知：当 a0 时 f（x）在（0， ）上单调递增、在（ ，+）上单调递减，所以当 x= 时函数 y=f（ x）取最大值 f（x） max=f（ ）=1ln2 +ln（ ） 从而要证 f（x） 2 ，即证 f（ ） 2，即证1ln2 +ln（ ） 2，即证 （ ）+ln（ ）1+ln2令 t= ，则 t0，问题转化为证明： t+lnt1+ln2（*） 令 g（t）= t+lnt，则 g（t）= + ，令 g（t）=0 可知 t=2，则当 0t2 时 g（t）0，当 t2 时 g（t）0，所以 y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，
30、+）上单调递减，即 g（t）g（2）= 2+ln2=1+ln2，即（*）式成立，所以当 a0 时，f（x） 2 成立（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）-在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 ， （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为， （m 为参数） 设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：（cos+sin）=0，M 为 l3与 C 的交点，求 M
31、的极径【解答】解：（1）直线 l1的参数方程为 ， （t 为参数） ，消掉参数 t 得：直线 l1的普通方程为：y=k（x2）；又直线 l2的参数方程为 ， （m 为参数） ，同理可得，直线 l2的普通方程为：x=2+ky；文科数学试题联立，消去 k 得：x 2y 2=4，即 C 的普通方程为 x2y 2=4；（2）l 3的极坐标方程为 （cos+sin） =0，其普通方程为：x+y =0，联立 得： ， 2=x2+y2= + =5l 3与 C 的交点 M 的极径为 = 23选修 4 5：不等式选讲（10 分）-已知函数 f（x）=|x+1|x2|（1）求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不
32、等式 f（x）x 2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=|x+1|x2|= ，f（x）1，当1x2 时，2x11，解得 1x2；当 x2 时，31 恒成立，故 x2；综上，不等式 f（x）1 的解集为x|x1（2）原式等价于存在 xR 使得 f（x）x 2+xm 成立，即 mf（x）x 2+xmax，设 g（x）=f（x）x 2+x由（1）知，g（x）= ，当 x1 时，g（x）=x 2+x3，其开口向下，对称轴方程为 x= 1，g（x）g（1）=113=5；当1x2 时，g（x）=x 2+3x1，其开口向下，对称轴方程为 x= （1，2） ，g（x）g（ ）= + 1= ；文科数学试题当 x2 时，g（x）=x 2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x= 2，g（x）g（2）=4+2=3=1；综上，g（x） max= ，m 的取值范围为（，
