1、余姚中学 高三数学期中试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1. 已知全集为 UR，集合 230Mx， 21Nyx，则 UMN为 ( )A. 1x B. 1 C. 13x D. 3x 2. 若双曲线 20yCb:的离心率为 2，则 b ( )A. 1 B. C. 3 D. 3. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 4 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 ( )A. 176 B. 1603 C. 1283 D. 32 4. 已知 zai且 z，则 z ( )A. B. i C. i D. 3i 5. 函数
2、 21()xf的图像可能是 ( )6. 若 ,lm是两条不同的直线， m垂直于平面 ，则“ lm”是“ l/”的 ( ) 条件A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要7. 随机变量 X的取值为 0,12，若 1(0)5PX， ()EX，则 ( )A. 15 B. 5 C. D. 1058. 给定两个单位向量 ,OA，且 32，点 在以 O为圆心的圆弧 AB上运动， OCxAyB，则 3xy的最小值为 ( )A. B. 1 C. D. 09. 已知定义在 R上的偶函数 ()fx满足 (4)(ffx，且当 2x时，2018 学年第一学期2()min,fxx，若
3、方程 0fxm恰有两个根，则 m的取值范围是 ( )A. 1,3B. 1,3C. 12,3D. 12,310. 在三棱锥 PAC中， AB平 面 ， 90， ,E分别是 ,BCA的中点，BC，且 D. 设 P与 DE所成角为 ， P与平面 所成角为 ，二面角PA为 ，则 ( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 ）11. 在 C中，若 2,10b，三角形的面积 3S，则 c_； a _.12. 已知变量 ,xy满足约束条件3,420,yx则 xy的最大值为_； 3yx的最小值为_.13. 在 43(2)ax的二项展开式中
4、,常数项是 8,则实数 a的值是_；其中，第_项的二项式系数最大.14. 在数列 n中， 1a， *1231+()2nnaN ，则 2a_；通项na_.15. 已知定义在 ,0,上的偶函数 ()fx的导函数为 ()fx，且 ()=0f，当 x时，()+0fx，则使得 ()fx成立的 x的取值范围是_ _. 16. 小红和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加亲子活动，5 人坐成一排. 若小红的爷爷奶奶至少有一人与小红相邻，则不同的坐法总数为_. 17. 已知抛物线 24yx的焦点为 F，过焦点的直线与抛物线交于 ,AB两点，则直线的斜率为_时，4AFB取得最小值. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74
5、 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 18. 已知 (3sin,co)mx， (cos,)nx( 0,xR)， 1(2fmn且 ()fx的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 2. (1) 求函数 ()fx的单调递增区间；(2) 若 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，且 7， ()0fB， sin3iAC，求 ,ac的值及 AC边上的中线 . 19. 在四棱锥 PABCD中， ,1,APCD，底面 ABC是梯形， B/ CD，B， 1, 2. (1) 求证： ；(2) 求直线 与平面 所成角的大小. 20. 已知数列 na满足： *11=()2nanN， 为 奇 数， ， 为 偶
6、数 ，设 21nba. (1) 证明：数列 +2nb为等比数列；(2) 求数列 3n的前 项和 nS. BA DPC21. 已知椭圆 1C：21(0)xyab的右焦点与抛物线 2C： (0)ypx的焦点重合，曲线1与 2相交于点 6,3. (1) 求椭圆 1的方程；(2) 过右焦点 2F的直线 l（与 x轴不重合）与椭圆 1C交于 ,A两点，线段 C的中点 G，连接 O并延长交椭圆 1C于 B点（ O为坐标原点） ，求四边形 OB面积 S的最小值. 22. 已知函数 21lnfxaxax（1）当 aR时,讨论函数 ()f的单调性；（2）若曲线 C： yx在点 1处的切线 l与 C有且只有一个公共点，求正数 a的取值范围
