1、- 1 -题目篇(2014 年昆明) 23. （本小题 9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于点 A（ ，0）、 B（4，0）两点，与 y 轴交于点)0(32abxy 2C。（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度向 C 点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。当PBQ 存在时，求运动多少秒使 PBQ 的面积最大，最多面积是多少？（3）当PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使，求 K 点坐标。2:5SPBQC
2、K ：O xyCBA PQ- 2 -（2013 年昆明）23.（本小题 9 分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xoy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O、A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D。（1）求抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点 A、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。- 3 -（2012 年昆明） （本小题 9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线23.交 轴于
3、点 ，交 轴于点 ，抛物线 的图象13yxPyA21yxbc过点 ，并与直线相交于 、 两点.(,0)EB求抛物线的解析式（关系式）；过点 作 交 轴于点 ，求点 的坐标； ACxC除点 外，在坐标轴上是否存在点 ，使得 是直角三角形？ MAB若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.- 4 -（2011 年昆明）25、如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动，速度为1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（
4、1）求 AC、BC 的长；（2）设点 P 的运动时间为 x（秒），PBQ 的面积为 y（cm 2），当 PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P 、Q 为定点的三角形与ABC 是否相似，请说明理由；（4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由- 5 -（2010 年昆明）25 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线经过 O（0 ，0） 、A（4 ，0） 、B（3， ）三点.23（1）求此抛物线的解析式；（2）以 OA
5、的中点 M 为圆心，OM 长为半径作M，在（1 ）中的抛物线上是否存在这样的点 P，过点 P 作M 的切线 l ，且 l 与 x 轴的夹角为30，若存在 ，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意 ：本题中的 结果可保留根号） - 6 -（云南省 2010 年）24.（本小题 12 分）如图，在平面直角示系中，A、B 两点的坐标分别是 A（-1,0）、B（4,0 ），点 C 在 y 轴的负半轴上，且ACB90（1）求点 C 的坐标；（2）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（3）直线 lx 轴，若直线 l 由点 A 开始沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度匀速向右平移，
6、设运动时间为 t（0t5）秒，运动过程中直线 l 在ABC 中所扫- 7 -（云南省 2013 年）23 （9 分）如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，下底 AB 在 x 轴上，点D 在 y 轴上，直线 AC 与 y 轴交于点 E（0，1） ，点 C 的坐标为（2，3） （1）求 A、D 两点的坐标；（2）求经过 A、D、C 三点的抛物线的函数关系式；（3）在 y 轴上是否在点 P，使ACP 是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由- 8 -242FPED-4-2-1 ABC4yxO（云南省 2014 年）23.（9 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原
7、点，矩形ABCO 的顶点分别为 A（3,0）、B（3,4）、C（0,4），点 D 在 y 轴上，且点D 的坐标为（0，-5 ），点 P 是直线 AC 上的一个动点。（1）当点 P 运动到线段 AC 的中点时，求直线 DP 的解析式；（2）当点 P 沿直线 AC 移动时，过点 D、P 的直线与 x 轴交于点 M。问：在 x 轴的正半轴上，是否存在使DOM 与ABC 相似的点 M？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。（3）当点 P 沿直线 AC 移动时，以点 P 为圆心、R（R0）为半径长画圆，得到的圆称为动圆 P。若设动圆 P 的半径长为 AC，过点 D 作动圆 P 的两条切21
8、线与动圆 P 分别相切于点 E、F。请探求在动圆 P 中，是否存在面积最小的四边形 DEPF？若存在，请求出最小面积 S 的值；若不存在， 请说明理由。- 9 -答案篇(2014 年昆明) 23.- 10 -（2013 年昆明）23- 11 -23 （9 分） （2013 昆明）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上， OA=4，OC=3 ，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，
9、是否存在以 A，D ，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题专题： 综合题分析： （1）由 OA 的长度确定出 A 的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式 y=a（x2） 2+3，将 A 的坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b，将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线 AC 解析式，与抛物线解析式联立即可求出 D 的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形 ADMN 为平行四边形时，DMAN，DM=AN ，由对称性得到 M（3，
10、 ） ，即 DM=2，故 AN=2，根据 OA+AN求出 ON 的长，即可确定出 N 的坐标；当四边形 ADMN为平行四边形，可得三角形 ADQ 全等于三角形 NMP，MP=DQ= ，NP=AQ=3 ，将 y= 代入得： = x2+3x，求出 x 的值，确定出 OP 的长，由 OP+PN求出 ON的长即可确定出 N坐标解答： 解：（1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4，OC=3，得：E（2，3） ，设抛物线解析式为 y=a（x2） 2+3，将 A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即 a= ，则抛物线解析式为 y= （x2） 2+3= x2+3x；（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+
11、b（k0） ，- 12 -将 A（4，0）与 C（0，3）代入得： ，解得： ，故直线 AC 解析式为 y= x+3，与抛物线解析式联立得： ，解得： 或 ，则点 D 坐标为（1， ） ；（3）存在，分两种情况考虑：当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示：四边形 ADMN 为平行四边形，DM AN，DM=AN ，由对称性得到 M（3， ） ，即 DM=2，故 AN=2，N1（2 ，0） ， N2（6，0） ；当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示：过点 D 作 DQx 轴于点 Q，过点 M 作 MPx 轴于点 P，可得ADQ NMP，- 13 -MP=DQ= ， NP=AQ=3，将
12、 yM= 代入抛物线解析式得： = x2+3x，解得：x M=2 或 xM=2+ ，xN=xM3= 1 或 1，N3（ 1，0） ，N 4（ 1，0） 综上所述，满足条件的点 N 有四个：N 1（2，0） ，N 2（6，0） ，N 3（ 1，0） ，N 4（1， 0） 点评： 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题（2012 年昆明）23.答案 ； ； 213yx 2(,0)3C、或 、或 、或 7(0,)9165,165(,0)92(,)7如图，因为一次函数 交 轴于点 ，
13、所以， ， 23yxyA0Ax，即 .2Ay(0,)交 轴于点 ，所以， ， ，即xPPy6Px.(6,)由 、 是抛物线0,2A(1,0)E的图象上的点，1yxbc3202CbC所以，抛物线的解析式是： 21yx- 14 -如图， 、 ()ACBPOA 在 中，Rt22 63O点 的坐标：C(,0)设除点 外，在坐标轴上还存在点 ，使得 是直角三角形 MAB.在 中，若 ，那么 是以 为直径的圆与坐 RtMABRt标轴的交点，.若交点在 上（如图），设 ，则 y(0,)m有，()Bm点 的 纵 坐 标21173(,)39yxB，此时m7(0,)9M.若交点在 上（如图），设 ，此时 x(,0
14、)Mn过 作 垂直 于点 ，则有 ，于是：BDAODB:AOMB，17()239n，此时，126565,n或(,0)M1(,0)- 15 -.在 中，若 ，如图，设 ，同样过 作 RtMABRt(,0)MtB垂直 于点 ，则在 中，有 BDxtP2D，此时，7192()(6937tt92(,0)7综上所述，除点 外，在坐标轴上还存在点 ，使得 是直角三CAB角形，满足条件的点 的坐标是： 、或 、或 、M(0,)9165(,)165(,)或 .92(,0)7（2011 年昆明）25答案：解：（1）设 AC=4x，BC=3x，在 RtABC 中，AC 2+BC2=AB2，即：（4x） 2+（3x
15、） 2=102，解得：x=2，AC=8cm，BC=6cm；（2）当点 Q 在边 BC 上运动时，过点 Q 作 QHAB 于 H，AP=x，BP=10x，BQ=2x，QHBACB， ，QH= x，y= BPQH= （10x） x= x2+8x（0x3），QHBAC8512854当点 Q 在边 CA 上运动时，过点 Q 作 QHAB 于 H，AP=x，BP=10x，AQ=142x，AQHABC， ，即： ，解得：QH= （14x），AQHBC1406xQH35y= PBQH= （10x） （14x）= x2 x+42（3x7）；1235106- 16 -y 与 x 的函数关系式为：y= ；248(
16、03)53671xx（3）AP=x，AQ=14x，PQAB，APQACB， ，即： ，APQCB14806xPQ解得：x= ，PQ= ，PB=10x= ， ，5691433492379BCA当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC不相似；（4）存在理由：AQ=142x=1410=4，AP=x=5，AC=8，AB=10，PQ 是ABC 的中位线，PQAB，PQAC，PQ 是 AC 的垂直平分线，PC=AP=5，当点 M 与 P 重合时，BCM 的周长最小，BCM 的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16BCM 的周长最小值为16
17、（2010 年昆明）2525(12分) 解：（1）设抛物线的解析式为： 2(0)yaxbc由题意得： 1分0164239cab- 17 -解得： 238,09abc2分抛物线的解析式为： 2389yx3分（2）存在 4分来源 :学科网 ZXXK抛物线 的顶点坐标是 ，作抛物线和2389yx83(2,)9M（ 如图） ，设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与M相切于点C连接MC ，过C作CD x 轴于D MC = OM = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ，BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 , B (-2, 0) 在RtCDM中，DCM = CDM - CM
18、D = 30DM = 1, CD = = C (1, )2CMD33设切线 l 的解析式为: ，点B、C在 l 上，可得：(0)ykxb+解得： 320kb 2,3kbl- 18 -切线BC的解析式为： 32yx点P 为抛物线与切线的交点由 解得： 2389yx 123xy2683xy点P 的坐标为： ， 13(,)2P28(6,)P8分 抛物线 的对称轴是直线239yx2x此抛物线、M 都与直线 成轴对称图形于是作切线 l 关于直线 的对称直线 l(如图)2x得到B 、C 关于直线 的对称点B 1、C 1l满足题中要求，由对称性，得到P 1、P 2关于直线 的对称点：2x， 即为所求的点.3
19、9(,)2483(2,)这样的点P共有4 个： ， ， ， 1(,)P283(6,)93(,)2P483(2,)12分（本题其它解法参照此标准给分）（云南省 2010 年）24.分析： （1）根据 A、B 的坐标，可求得 OA、OB 的长，在 RtABC 中，OCAB，利用射影定理即可求得 OC 的值，从而得到 C 点的坐标（2）已知了抛物线上的三点坐标，可利用待定系数法求得抛物线的解析式（3）此题应分段考虑：当 0t1 时，直线 l 扫过ABC 的部分是个直角三角形，设直线 l 与 AC、AB 的交点为 M、N，易证得- 19 -AMNACO，根据相似三角形所得比例线段即可求得 MN 的值，
20、从而利用三角形的面积公式求得S、t 的函数关系式；当 1 t5 时，直线 l 扫过ABC 的部分是个多边形，设直线 l 与 BC、AB 的交点为 M、N，同可求得 MN 的长，即可得到BMN 的面积表达式，那么 ACB、BMN 的面积差即为直线 l 扫过部分的面积，由此求得 S、t 的函数关系式解答： 解：（1）已知 A（-1，0），B（4 ，0），则 OA=1，OB=4 ；在 RtABC 中， COAB ，由射影定理得：OC 2=OAOB=4，即 OC=2，故 C（0 ， -2）（2）设抛物线的解析式为：y=a（ x+1）（x-4 ），依题意有： a（0+1）（0-4）=-2，a= ，故抛物
21、线的解析式为：y= （x+1）（x-4）= x2- x-2（3） 当 0t1 时，由题意知：AM=t ；直线 lOC，且 OC=2OA，MN=2AM=2t；故 S= t2t=t2；当 1 t5 时，由于 AM=t，AB=5，则 BM=5-t；直线 lOC，且 OB=2OC，MN= BM= ，- 20 -故 S= 52- =- t2+ t- ；综上可知：S、t 的函数关系式为：S= - t2+ t- ；点评： 此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识；（3）题中，一定要根据直线 l 的不同位置来分类讨论，以免漏解（云南省 2013 年）23解答
22、： 解：（1）设直线 EC 的解析式为 y=kx+b，根据题意得：，解得 ，y=x+1，当 y=0 时，x=1，点 A 的坐标为（1，0） 四边形 ABCD 是等腰梯形，C（2，3） ，点 D 的坐标为（0，3） （2）设过 A（1，0） 、D（0，3） 、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得 ，抛物线的关系式为：y=x 22x+3（3）存在作线段 AC 的垂直平分线，交 y 轴于点 P1，交 AC 于点 FOA= OE，OAE 为等腰直角三角形， AEO =45，FEP 1=AEO=45，FEP 1 为等腰直角三角形A（ 1，0） ，C（2，3） ，点 F 为
23、 AC 中点，F（ ， ） ，- 22 -等腰直角三角形FEP 1 斜边上的高为 ，EP 1=1，P 1（0，2） ；以点 A 为圆心，线段 AC 长为半径画弧，交 y 轴于点 P2，P 3可求得圆的半径长 AP2=AC=3 连接 AP2，则在 RtAOP 2 中，OP2= = = ，P 2（0， ） 点 P3 与点 P2 关于 x 轴对称，P 3（0， ） ；以点 C 为圆心，线段 CA 长为半径画弧，交 y 轴于点 P4，P 5，则圆的半径长CP4=CA=3 ，在 RtCDP 4 中，CP 4=3 ，CD=2，DP 4= = = ，OP 4=OD+DP4=3+ ，P 4（0，3+ ） ；同
24、理，可求得：P 5（0，3 ） 综上所述，满足条件的点 P 有 5 个，分别为：P 1（0，2） ，P 2（0， ） ，P 3（0，） ，P 4（0，3+ ） ，P 5（0，3 ） - 23 -（云南省 2014 年）23.考点： 圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 综合题；存在型；分类讨论分析： （1）只需先求出 AC 中点 P 的坐标，然后用待定系数法即可求出直线 DP 的解析式（2）由于DOM 与ABC 相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出 OM 的长，即可求出点 M 的坐标（3）
25、易证 SPED =SPFD 从而有 S 四边形 DEPF=2SPED = DE由DEP=90 得DE2=DP2PE 2=DP2 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当 DPAC 时，DP最短，此时 DE 也最短，对应的四边形 DEPF 的面积最小借助于三角形相似，即可求出DPAC 时 DP 的值，就可求出四边形 DEPF 面积的最小值解答： 解：（1）过点 P 作 PHOA ，交 OC 于点 H，如图 1 所示PHOA ，CHPCOA = = 点 P 是 AC 中点，- 24 -CP= CAHP= OA，CH= COA（3，0） 、C（0，4） ，OA=3，OC =4HP= ，CH =2OH
26、=2PHOA ，COA=90 ，CHP=COA=90点 P 的坐标为（ ，2） 设直线 DP 的解析式为 y=kx+b，D（0，5） ，P（ ，2）在直线 DP 上，直线 DP 的解析式为 y= x5（2）若DOMABC ，图 2（1）所示，DOM ABC ， = 点 B 坐标为（3，4） ，点 D 的坐标为（05） ，BC=3，AB=4，OD=5 = OM= 点 M 在 x 轴的正半轴上，点 M 的坐标为（ ，0）若DOM CBA ，如图 2（2）所示，- 25 -DOM CBA ， = BC=3，AB=4，OD=5 ， = OM= 点 M 在 x 轴的正半轴上，点 M 的坐标为（ ，0）
27、综上所述：若DOM 与CBA 相似，则点 M 的坐标为（ ，0）或（ ，0） （3）OA=3 ，OC=4 ，AOC=90，AC=5PE=PF= AC= DE、DF 都与P 相切，DE= DF，DEP =DFP =90S PED =SPFD S 四边形 DEPF=2SPED =2 PEDE=PEDE= DEDEP=90，DE 2=DP2PE 2=DP 2 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当 DPAC 时，DP 最短，此时 DE 取到最小值，四边形 DEPF 的面积最小DPAC，DPC=90 AOC=DPCOCA=PCD，AOC= DPC，AOCDPC = AO=3，AC=5 ，DC=4（ 5）=9，- 26 - = DP= DE 2=DP2 =（ ） 2 = DE= ，S 四边形 DEPF= DE= 四边形 DEPF 面积的最小值为 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想将求 DE 的最小值转化为求- 9 -DP 的最小值是解决第 3 小题的关键另外，要注意 “DOM 与ABC 相似”与“DOM ABC“之间的区别
