1、湛江市 2019 届高三调研测试题数学（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 与 ，求出两集合的交集即可.【详解】 ， ， ，故选 C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取 名学生进行调查，则抽取的高中生人数为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由扇形图先得学生总人数，根据分层抽样的定义建立比例关系 ，解方程即可得到结论【详解】由扇形图可得学生
2、总人数为 人，设抽取的高中生人数为 ，则 ，解得 ，故选 B.【点睛】本题主要了考查分层抽样的概念及应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题.3.满足 （ 是虚数单位）的复数A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本运算即可得到结论【详解】 ， ，即 ，故选 A.【点睛】本题主要考查复数的计算，掌握其运算法则即可，比较基础4.双曲线 的焦点到渐近线的距离为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即能求出结果【详解】双曲线 中，焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，双曲线 的焦点到渐近线的距离 ，
3、故选 C.【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.5.已知非零向量 m、 n 满足 n m，且 m m n ，则 m、 n 的夹角为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到【详解】 ， ，即 ，又 ， ，解得 ，结合 ，所以 ，故选 C.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题.6.明朝数学家程大位将“孙子定理” （也称“中国剩余定理” ）编成易于上口的孙子歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一
4、支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正整数 被 除余 ,被 除余 ，被 除余 ，求 的最小值按此歌诀得算法如图，则输出 的结果为（ ）A. 53 B. 54 C. 158 D. 263【答案】A【解析】按程序框图知 的初值为 ，代入循环结构，第一次循环 ，第二次循环 ，推出循环， 的输出值为 ，故选 A.7.曲线 在点 处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：利用点斜式方程可知为 y=2x+1视频8.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为 ，高为 ，则侧视图是一个底边长为 ，高为 的
5、三角形，其面积为 ，故选 D9.使函数 是偶函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,由于 为偶函数，则 ， ， ，当 时， ，当 时， ， 为减函数，符合题意，所以选 B.10.设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，【答案】A【解析】【分析】对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可【详解】对于 A，根据线面平行性质定理即可得 A 选项正确；对于 B，当 ， 时，若 ， ，则 ，但题目中无条件 ，故 B 不一定成立；对于 C，若 ， ，则 与
6、相交或平行，故 C 错误；对于 D，若 ， ，则 与 平行或异面，则 D 错误，故选 A.【点睛】本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征，其中熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键11.已设函数 ，则满足 的 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当 时；当 时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可.【详解】当 时， 的可变形为 ， ， 当 时， 的可变形为 ， ，则满足 的 的取值范围是 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式，解题的关键为转化特定的不等式类型求
7、解，属于基础题.12.点 、 、 、 在同一个球的球面上， ，若四面体 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何体的特征，先确定 外接圆的圆心即小圆圆心 ，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】根据题意知， 是一个等边三角形，其面积为 ，外接圆的半径为 1，小圆的圆心为 ，由于底面积 不变，高最大时体积最大，所以 与面 垂直时体积最大，最大值为 ， ，设球心为 ，半径为 ，则在直角 中，即 ， ，则这个球的表面积为： ，故选 B.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体 的体积的最大值，是
8、解答的关键.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13.若 是奇函数，则 【答案】【解析】本题考查函数的奇偶性定义。此函数的定义域为因为函数为奇函数所以有即所以14.设 、 满足不等式组 ，则 的最大值为_【答案】 ；【解析】【分析】确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得 的最大值【详解】不等式组 表示的平面区域如图，由 ，解得 ，表示直线 的纵截距，由图象可知，在 处 取得最大值为 7，故答案为7.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线
9、还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.圆心在直线 ，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为_.【答案】【解析】试题分析：可设圆标准方程： ，则根据题意可列三个条件：，解方程组可得 ，即得圆方程试题解析：设则 ，解得所以（x-1） 2+（y+4） 2=8点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 的方程组，从而求出 的值；若已知条件没有明
10、确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、 E、 F 的方程组，进而求出 D、 E、 F 的值16.若ABC 的内角 满足 ，则 的最小值是 【答案】【解析】试题分析：由正弦定理有 ,所以 , ,由于,故 ,所以 的最小值是 .考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把 化为 ，再由余弦定理推论求出 的表达式，还用到用均值不等式求出 ，再算出结果来.视频三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列 满足 （ ， ） ，且 ， （）证明：数列 是等比
11、数列；（）求数列 的前 项和 【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（）由已知条件可得 ，即 可得结论；（）由（）求得 ，利用错位相减法求其前 项和.【详解】 （）证明：当 时， ， ， 数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列 （）解： ， ， ： ， 【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.18.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， 是棱 的中点（）证明：平面
12、 平面 ；（）若 ，求点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明 ， ，则 ，所以 ；（2）利用 ，求得 。试题解析：（1）在矩形 ABCD 中， 又 又 （2）在 中， ， 是棱 的中点， 由（1）知 平面 ， . 又 ， 平面 , , 面 ,而 面 ,所以，在 中， 设点 到平面 的距离为所以点 到平面 的距离为 19.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有 人（）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（）用随机抽样的方法从获得数
13、学和语文二等奖的考生中各抽取 人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图） ，求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（）已知该考场的所有考生中，恰有 人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取 人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率【答案】 （1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差 （3）【解析】试题分析：（）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方
14、差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为 个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共 个，利用古典概型概率公式可得结果.试题解析：（）由数学成绩为二等奖的考生有 人，可得 ，所以语文成绩为一等奖的考生 人（）设数学和语文两科的平均数和方差分别为 ， ， ，, ,因为 , ，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差. （）两科均为一等奖共有 人，仅数学一等奖有 人，仅语文一等奖有 人-9 分设两科成绩都是一等奖的 人分别为 ，只有数学一科为一等奖的 人分别是 ,只有语文一科为一等奖的 人是 ，则
15、随机抽取两人的基本事件空间为,共有 个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件 共 个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率 . 20.已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，且右焦点为 斜率为 的直线与椭圆 交于 、 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 （）求椭圆 的标准方程；（）求 的面积【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（）由椭圆的离心率为 ，右焦点为 ，结合 ，即可求出椭圆 的方程；（）设 ，代入椭圆方程，得 ，根据韦达定理 中点 的坐标，根据斜率可求得 ，进而能求出 的面积【详解】 （）由已知得 ， ，解得 ， 椭圆的标准方程 （）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得， 设 、 ， 中点为
16、， 则 ， 因为 是等腰 的底边，所以 所以 的斜率为 ，解得 ，此时方程为 解得 ， ，所以 ， ，所以 ，此时，点 到直线 ： 的距离， 所以 的面积 【点睛】本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用21.设函数 （ ） （）求函数 的单调区间；（）记函数 的最小值为 ，证明： 【答案】 （1） 在 上单调递减，在 上单调递增 （2）见解析【解析】【分析】（） 的定义域为 ，求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可；（）要证
17、，即证 ，即证明 ，构造函数，判断函数的单调性，通过函数的最小值推出结果即可【详解】解：（）显然 的定义域为 ， ，若 ， ，此时 ， 在 上单调递减；若 ， ，此时 ， 在 上单调递增；综上所述： 在 上单调递减，在 上单调递增 （）由（）知： ，即： 要证 ，即证明 ，即证明 ，令 ，则只需证明 ， ，且 ，当 ， ，此时 ， 在 上单调递减；当 ， ，此时 ， 在 上单调递增， 【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以 为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
18、 的极坐标方程为 （）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（）设 为曲线 上的动点，求点 到 上点的距离的最小值，并求此时点 的坐标【答案】 （1） ， （2）最小值为 ，此时点 的坐标为 【解析】【分析】（）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式 、 ，把极坐标方程化为直角坐标方程；（）求得椭圆上的点 到直线 的距离为 ，可得 的最小值，以及此时的的值，从而求得点 的坐标.【详解】 （）对曲线 ： ， ，曲线 的普通方程为 对曲线 ： ， 曲线 的直角坐标方程为 （）设曲线 上的任意一点为 ， 则点 到曲线 ： 的距离，当 ，即 时，
19、 ，此时点 的坐标为 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题23.设函数 . （）求不等式 的解集；（）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（）问题转化为解不等式组问题，解出取并集即可；（）先求出 的分段函数，求出的最小值，从而求出 的范围【详解】 （）由 得： ， 或 ， 解得： 或 不等式 的解集是 （）令 ，则 ， 存在 使不等式 成立， 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
