1、2018-2019 年宝安区高三上学期调研考试数学（理）试题 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数 的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化 形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为 ,所以共轭复数是 ，选 B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为2.已知集合 ，
2、，若 ，则实数 的取值集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合 M=x|x2=1=1，1，当 a=0 时，N=，成立；当 a0 时，N= ，由 NM，得或 =1由此能求出实数 a 的取值集合【详解】集合 M=x|x2=1=1，1，N=x|ax=1，NM，当 a=0 时，N=，成立；当 a0 时，N= ，NM， 或 =1解得 a=1 或 a=1，综上，实数 a 的取值集合为1，1，0故选：D【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3.定义某种运算 的运算原理如右边的流程图所示，则 （ ）A
3、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据流程图知运算为分段函数，根据分段函数进行计算.【详解】由流程图得所以 ,选 A.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到
4、达，等待时间不多于 10 分钟，所以概率.故选 B5.已知函数 的零点是 和 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果.【详解】由 得 ， ，所以 ,因此 ，选 C.【点睛】本题考查两角和正切公式以及韦达定理，考查基本求解能力.6.若实数 ， 满足 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】推导出 0=loga1log ablog aa=1，由此利用对数函数的单调性能比较 m，n，l 的大小【详解】实数 a，b 满足 ab1，m=log a（log ab） ， ， ，0=
5、log a1log ablog aa=1，m=log a（log ab）log a1=0，0 1，1 =2logab m，n，l 的大小关系为 lnm故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7.在 中， “ ”是“ 为锐角三角形”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：从两个方向去判断，先看 能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出 成立，从而必要性也不满足，从而选出正确
6、的结果.详解：由题意可得，在 中，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，结合三角形内角的条件，故 A,B 同为锐角，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，因此 ，所以 是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若 是钝角三角形，也推不出“ ，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，故选 D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.8.在 的展开式中，含 项的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把 x+ 看作一项，写出 的展开式的通
7、项，再写出 的展开式的通项，由 x 的指数为 5 求得 r、s 的值，则答案可求【详解】 的展开式的通项为 的展开式的通项为 = 由 6r2s=5，得 r+2s=1，r，sN，r=1，s=0在 的展开式中，含 x5项的系数为 故选：B【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.9.若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定 所表
8、示区域，再根据 M 表示区域内点到定点（1，0）距离平方减去 1 求最小值【详解】 ,而 表示正方形及其外部（如图） ，所以的最小值为点（1，0）到 AB：y=-x+2 的距离平方减去 1，即 ,选D.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.10.如图，在平面四边形 ABCD 中，若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意可得 为等腰三角形，
9、 为等边三角形，把数量积 分拆，设，数量积转化为关于 t 的函数，用函数可求得最小值。详解：连接 AD,取 AD 中点为 O,可知 为等腰三角形，而 ，所以为等边三角形， 。设= 所以当 时，上式取最大值 ，选 A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。11.函数 的图象在 上恰有两个最大值点，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角函数图象确定 满足条件，解得结果.【详解】由题意得 ，选 C.【点睛】本题考查三角函数图象与性质，考查基本求解能力.12.已知 分别为双
10、曲线 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】分析：设 P 点坐标为 ，写出直线 PA、PF 的斜率，利用 及它们与斜率的关系可建立 的方程，此即为 P 点的轨迹方程与双曲线标准方程比较可得 关系，从而得离心率.详解：设 ，又 ， ， ， ，又 ， ，整理得 ，这是 P 点的轨迹方程，又 P 点轨迹方程为 ， ， ，故选 C.点睛：求双曲线的离心率，一般要求出 的一个关系等式，这可从双曲线的几何性质分析得出，本题中由于已知是 ，而这两个角可以与相应直线的斜率有关，因此可以通过正切的二倍角公式建立 P 点的轨迹方程，这应该
11、是双曲线的标准方程，比较后得出 的关系.这种方法比较特殊，可以体会学习.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】先根据二倍角公式化简 ，再根据弦化切，最后根据条件求结果.【详解】因为 ，又因为所以 .【点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”
12、，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.14.过双曲线 的右焦点，且斜率为 2 的直线与 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据双曲线渐近线性质得渐近线斜率范围，即得离心率取值范围.【详解】由题意得【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15.九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方
13、形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体） 在如图所示的堑堵 中， ，则阳马 的外接球的表面积是_【答案】【解析】【分析】根据堑堵定义以及长方体性质可得阳马 的外接球的直径为 ，再根据球的表面积公式求结果.【详解】由于 两两相互垂直，所以阳马 的外接球的直径为 ，即，因此外接球的表面积是 .【点睛】若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解16.定义在 上的函数 满足 ，且当 若任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是 _【答案】【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等
14、式 ，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求 m 取值范围，即得结果.【详解】因为当 时 为单调递减函数，又 ，所以函数为偶函数，因此不等式 恒成立，等价于不等式 恒成立，即 ，平方化简得 ，当 时， ；当 时， 对 恒成立， ；当 时， 对 恒成立， （舍） ；综上 ，因此实数 的最大值是 .【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为
15、选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分17.已知等比数列 中， ， ， = ， （1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 【答案】 （1） ， ;（2） 【解析】【分析】（1）先根据等比数列通项公式化简条件等式，解得公比，再代入等比数列通项公式即可，（2）先化简 ，再利用分组求和法化为等差数列的和，最后根据等差数列求和公式求结果.【详解】 （1）设等比数列a n的公比为 q，则 q0因为 = ，所以 = ，因为 ，解得 所以 ， （2）设 ，则 【点睛】本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型
16、（如 ）及符号型（如）18.如图，在多面体 中，四边形 为菱形， ， ，且平面 平面 .（1）求证： ；（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】【试题分析】(1)连接 ,根据菱形的几何性质有 ,由面面垂直的性质定理可知平面 ,所以 , , ,所以 平面 ,所以 .(2) 设，过点 作 的平行线 ，以 为坐标原点建立空间直角坐标系,通过计算平面和平面 的法向量来求二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：连接 ，由四边形 为菱形可知 ，平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ， ，又 ， ， ， 平面 ， 平面 ， ；（2）解：设 ，过点 作 的平行线 ，由（1）
17、可知 两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，则 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则 为平面 的一个法向量，同理可得 为平面 的一个法向量.则 ，又二面角 的平面角为钝角，则其余弦值为 .19.在某市高中某学科竞赛中，某一个区 名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这 名考生的竞赛平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表） ；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩 服正态分布 ，其中 ， 分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差 ，那么该区 名考生成绩超过 分（含 分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛
18、考生中随机抽取 名考生，记成绩不超过 分的考生人数为 ，求 .（精确到 ）附： ， ； ，则 ， ； .【答案】 （1） 分；（2）634 人；（3）0.499【解析】【分析】（1）根据加权平均数公式计算 ；（2）根据正态分布的对称性计算 P（z84.81） ，再估计人数；（3）根据二项分布的概率公式计算 P（3） 【详解】 （1）由题意知：中间值概率 ， 名考生的竞赛平均成绩 为 分.（2）依题意 服从正态分布 ，其中 ， ， ， 服从正态分布 ，而 ，.竞赛成绩超过 分的人数估计为 人人.（3）全市竞赛考生成绩不超过 分的概率 .而 ，.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记
19、P( X )， P( 2 X 2 )， P( 3 X 3 )的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.20.已知 ， 分别为椭圆 ： 的上、下焦点， 是抛物线 ： 的焦点，点 是 与 在第二象限的交点，且 （1）求椭圆 的方程；（2）与圆 相切的直线 ： （其中 ）交椭圆 于点 ， ，若椭圆上一点 满足 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 【解析】【分析】(1) 抛物线定义可得点 M 坐标，再根据两点间距离公式求 ，利用椭圆定义得 ，根据勾股定理解得 b,(2)设直线 ： ，根据直线与圆相切得 （ ， ） ，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得 p 坐
20、标，代入椭圆方程得 ，消 k，再根据二次函数性质求实数 的取值范围.【详解】 （1）由题意得 ，所以 ，又由抛物线定义可知 ，得 ，于是易知 ，从而 ，由椭圆定义知， ，得 ，故 ，从而椭圆 的方程为 （2）设 ， ， ，则由 知， ， ，且 ，又直线 ： （其中 ）与圆 相切，所以有 ，由 ，可得 （ ， ） ，又联立 消去 得 ，且 恒成立，且 ， ，所以 ，所以得 ，代入式，得 ，所以 ，又将式代入得， ， ， ，易知 ，且 ，所以 【点睛】解析几何中的最值与范围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量
21、表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值与范围的探求来使问题得以解决.21.已知函数（1）当 时，若函数 恰有一个零点，求实数 的取值范围；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） 或 ；（2） 【解析】【分析】(1)先求导数，再根据 a 讨论导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后结合零点存在定理确定只有一个零点的条件，(2)先求导数并分解因式，根据 m 讨论导函数零点情况，再根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性确定函数最值，列不等式解得 的取值范围【详解】 （1）函数 的定义域为 当 时， ，所以 当 时， ， 时无零点当 时， ，所
22、以 在 上单调递增， 取 ，则 ，因为 ，所以 ，此时函数 恰有一个零点 当 时，令 ，解得 当 时， ，所以 在 上单调递减；当 时， ，所以 在 上单调递增要使函数 有一个零点，则 即 综上所述，若函数 恰有一个零点，则 或 （2）令 ，根据题意，当 时， 恒成立，又 若 ，则 时， 恒成立，所以 在 上是增函数，且 ，所以不符题意若 时，则 时， 恒成立，所以 在 上是增函数，且 ，所以不符题意当 时，则 时，恒有 ，故 在 上是减函数，于是“ 对任意 都成立”的充要条件是 ，即 ，解得 ，故 综上， 的取值范围是 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研
23、究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 ， 的参数方程为 （ 为参数， ）.（1）写出 和 的普通方程；（2）在 上求点 ，使点 到 的距离最小，并求出最小值.【答案】 （1） 的方程为 ， ；（2） 取最小值 ， .【解析】【分析】（1）根据 ， 将 极坐标方程
24、化为直角坐标方程，根据平方关系消参数得 的普通方程；（2）根据点到直线距离公式以及三角函数配角公式确定最小值取法，求得 M 点坐标以及距离最小值.【详解】 （1）由 ： ，及 ， . 的方程为 .由 ， ，消去 得 .（2）在 上取点 ，则.其中 ，当 时， 取最小值 .此时 ， ， .【点睛】利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程： ， 圆参数方程： ，直线参数方程：23.选修 4-5：不等式选讲已知 .（1）在 时，解不等式 ；（2）若关于 的不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先根据绝对值三角不等式化为 恒成立，或 恒成立，再根据恒成立含义得实数 的取值.【详解】 （1）在 时， .在 时， ， ；在 时， ， ， 无解；在 时， ， ， .综上可知：不等式 的解集为 .（2） 恒成立，而 ，或 ，故只需 恒成立，或 恒成立， 或 . 的取值为 或 .【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
