1、20182019 学年度华南师大附中高三年级月考（二）理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得集合 A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式 可得 ，据此可知 ，选项 A 错误；，选项 B 正确；集合 AB 之间不具有包含关系，选项 CD 错误；本题选择 B 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.记复数 的共轭复数为 ，已
2、知复数 满足 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到复数 z，进而得到结果.【详解】因为 ，所以 ，所以 .故选：B【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设 ，则 ，.3.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题可通过偶函数性质与函数是否有零点来得出答案。【详解】A 项不是偶函数；B 项不是偶函数；C 项没有零点；故选 D。【点睛】偶函数需要满足 并且定义域关于 轴对称。零点就是函数与 轴有交点。4.设 ，则 p 是 q 成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既
3、不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当 必有 ，所以 的充分条件，而当时，可得 ，此时不一定有 ，所以 的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为 A.考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断 是不是 的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当 成立时， 也成立，就说 是 的充分条件，否则称为不充分条件；而当 成立时， 也成立则 是的必要条件，否则称为不必要条件；当 能证明 的同时 也能证明 ，则 是 的充分条件视频5.函数 的部分图象可能是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先求函数的奇偶性，排除 A,C,再排
4、除 D.详解：由题得 ，所以函数 f(x)是奇函数，所以排除 A,C.当 x=0.0001 时， ，所以排除 D,故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证.6.在等差数列 中， ，则 （ ）A. 8 B. 12 C. 16 D. 20【答案】A【解析】由题意，数列 为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得， ，则，所以 .故选 A.7.已知 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题可以先通过题意计算出 以及 的值，再通
5、过 解得 的值。【详解】因为 ，所以故选 B。【点睛】在计算三角函数的时候，对于公式的灵活运用十分重要，比如说 即可化简成的值。8.已知函数 在一个周期内的图像如图所示，其中 分别是这段图像的最高点和最低点， 是图像与 轴的交点，且 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，求出函数的周期，利用三角函数的图像和性质即可得到相应的结论.详解：过 分别作 轴的垂线，垂足为 ，因为函数的周期为 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，则 ，即 ，故选 C.点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的问题，在解题的过程中，需要关注题的条件，找出对应的线段的长度，
6、利用直角三角形的特征，列出相应的等量关系式，求得结果.9.如图，在平面四边形 ABCD 中， ， ， ， . 若点 E为边 CD 上的动点，则 的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件，选取 为基底，设 ,即可表示出 ，利用向量的数量积公式得到关于 的函数，求其最值即可.【详解】由题意知, ,所以 设 , 因为 ，所以 所以当 时， 有最小值 ,故选 C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及向量的数量积运算，属于难题，解题关键是根据平面几何的得出线段的长及两边的夹角.10.设 是各项为正数的等比数列， 是其公比， 是其前 项的积，且 ，则下列结论错误的是（ ）
7、A. B. C. D. 与 均为 的最大值【答案】C【解析】分析：利用等比数列 的通项公式，解出 的通项公式，化简整理 ，这三个表达式，得出结论。详解：设等比数列 ， 是其前 项的积所以 ，由此， ，所以 ，所以 B 正确，由 ，各项为正数的等比数列，可知 ，所以 A 正确可知 ，由 ，所以 单调递减，在 时取最小值，所以 在 时取最大值，所以 D 正确。故选 C点睛：本题应用了函数的思想，将等比数列当作指数型函数对其单调性进行研究， 为复合函数，对于复合函数的单调性“同增异减” 。11.正 边长为 2，点 是 所在平面内一点，且满足 ，若 ，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】
8、A【解析】【分析】以 为原点， 所在直线为 轴，过点 垂直于 为 轴，将向量都坐标化，由可得： ，故 ，进而得到最值.【详解】如图：以 为原点， 所在直线为 轴，过点 垂直于 为 轴则 ， ，设 ，则 点轨迹为由 可得：故当 时，故选【点睛】这个题目考查了向量坐标化以及建系方法在向量中的应用，(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用
9、：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.12.设函数 是奇函数 的导函数，当 时， ，则使得成立的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数 ，可得 在 上为减函数，可得在区间 和 上，都有 ，结合函数的奇偶性可得在区间 和 上，都有 ，原不等式等价于 或 ，解可得 的取值范围，即可得到结论.【详解】根据题意，设 ，其导数 ，又由当 时， ，则有 ，即函数 在 上为减函数，又由 ，则在区间 上， ，又由 ，则 ，在区间 上， ，又由 ，则 ，则 在 和 上，
10、，又由 为奇函数，则在区间 和 上，都有 ，或 ，解可得 或 ，则 的取值范围是 ，故选 D.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。二填空题（每小题 5 分，满分 20 分）13.已知向量 ，若 ，则 _【答案】【解析】【分析】本题可以先将 采用坐标表示出来，再通过 解出 的值，最后得出 的值。【详解】因为所以 ，因为所以 解得既有【点睛】本题考察的是向量的乘积，若有 ，则有14.已知 ，
11、 ，则 _【答案】【解析】由题设可得 ，则 ，所以 ，即，与 联立可得 ，故 ，应填答案 。点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先求出 ，再与 联立求得，进而求得 ，从而使得问题获解。15.由曲线 ， 与直线 ， 所围成图形的面积为_【答案】【解析】【分析】本题可以先将曲线 ， 与直线 ， 所围成图形画出，再将其分为两部分分别计算出面积。【详解】由题意可知，面积为：【点睛】本题考察的是求不规则图形的面积，需要对微积分以及定积分有着相应的了解。16.在 中， 为 的中点， ，点 与点 在直线 的异侧，且，则平面四边形 的面积的最大值为_.【答案】【解析】分析：首先判断出点 P 所在的位置具备什么
12、样的条件，之后将四边形分成两个三角形来处理，由于一个三角形是定的，所以四边形的面积最大转化为三角形的面积最大，从而得到点 P 到AC 距离最大，之后再转化为点 B 到 AC 的距离最小，综合得到 BP 和 AC 垂直时即为所求，从而求得结果.详解：根据题意可以求得 ，所以 ，则点 到边 的距离为 ，因为点 与点 在直线 的异侧，且 ，所以点 在以 为圆心，以 2 为半径的圆上，只有当点 到线 距离最大时，满足面积最大，此时就是 到线 距离最小时，此时 到线 距离为 ，此时四边形的面积分成两个小三角形的面积来求， .点睛：该题考查的是有关动四边形的面积的最大值的求解问题，在解题的过程中，关键的一
13、步是转化为点 B 到 AC 距离最短时即为所求，从而得到此时 BP 和 AC 垂直，所以，在求解的时候，可以找四边形的面积，而不是化为两个三角形的面积和，应用四边形的两条对角线互相垂直，从而利用公式求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列， ， ， （1）求数列 和 的通项公式；（2）若 ，设数列 的前 项和为 ，求 【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）可以通过 、 、 、 以及等差数列与等比数列的性质列式解出公差和公比，再求出对应的通项公式。（2）可以先通过写出 解析式来得出数列 的通项公式，再通过裂项
14、相消法得出数列的前 项和 。【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，因为 ， ， ， ，所以 ，所以 ， ，所以 。 （2）由（1）知， ，所以 ，所以 。【点睛】对于等差数列有 对于等比数列有 。18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：1 2 3 4 5 6 75 8 8 10 14 15 17（1）经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系请根据上表提供的数据，用最小
15、二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；（2）该商店规定：若抽中“一等奖” ，可领取 600 元购物券；抽中“二等奖”可领取 300 元购物券；抽中“谢谢惠顾” ，则没有购物券已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为 ，获得“二等奖”的概率为 现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额 的分布列及数学期望参考公式： ， ， ， 【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（I）由题意可得 ， ，则 ， ， 关于 的线性回归方程为 （II）由题意可知二人所获购物券总金额 的可能取值有 、 、 、 、 元，它们所对应的概率分别为： ， ， ， 据此可得分布列
16、，计算相应的数学期望为 元试题解析：（I）依题意： ， ， ， ，则 关于 的线性回归方程为 （II）二人所获购物券总金额 的可能取值有 、 、 、 、 元，它们所对应的概率分别为：， ， ， 所以，总金额 的分布列如下表：0 300 600 900 1200总金额 的数学期望为 元19.如图，在梯形 中， ， ， ，平面 平面，四边形 是菱形， （1）求证： ；（2）求二面角 的平面角的正切值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）线线垂直的证明通常证明线面垂直即可，证 平面 即可得出结论；（2）求二面角的正切值则直接建立空间坐标系求出两面的法向量然后借助向量交角公式求出余弦值再反
17、求正切值即可.（1）依题意，在等腰梯形 中， ， ， ， ，即 ，平面 平面 ， 平面 ，而 平面 ， ，连接 ，四边形 是菱形， ， 平面 ， 平面 ， （2）取 的中点 ，连接 ，因为四边形 是菱形，且 ，所以由平面几何易知 ，平面 平面 ， 平面 故可以 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为 ， ， ， ， ，设平面 和平面 的一个法向量分别为 ， ， ， ，由 即 即不妨令 ，则 ，同理可求得 ， ，故二面角 的平面角的正切值为 点睛：考查立体几何中的线线垂直、二面角问题，这都是比较常见的题型和方法，熟悉判定定理和常规解题思路即可，属于一般题.20.已知椭圆
18、的离心率为 ，且点 在椭圆 上（1）求椭圆 的方程；（2）过点 任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 点的 ， 两点， 与直线交于 点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 试探究 与 的关系，并证明你的结论【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）由离心率为 可知 ，再通过点 在椭圆 上可得椭圆 的方程；（2）可先将直线 的方程设出，再通过椭圆 方程联立得 与 的值，再解出 以及的值，即可证明得出结论。【详解】 （1）因为椭圆 的离心率为 ，所以 ， 因为 ，所以 故可设椭圆 的方程为： ，因为点 在椭圆 上，所以将其代入椭圆 的方程得 所以椭圆 的方程为 （2）依题意，直线 不
19、可能与 轴垂直，故可设直线 的方程为： ， 即 ， ， 为 与椭圆 的两个交点将 代入方程 化简得：所以 ， 所以 又由 ，解得 ， ，即 点的坐标为 ，所以 因此， 与 的关系为： 。【点睛】本题是圆锥曲线中的椭圆类题目，在解决这类题目时，需要对相关的性质有着足够的了解以及扎实的计算能力，并且能够对 与 进行灵活运用。21.已知函数 .(1)求函数 的单调区间；(2)若存在 ，使 成立，求整数 的最小值.【答案】 （1）当 时， ， 单调递增，当 时， 单调递减；当 时， 在 上单调递增，在上单调递减；当 时， 在 上单调递减； （2） .【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论 时三种情况的
20、单调性(2)分离含参量，构造新函数， ，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知， ， ，方程 对应的 ，当 ，即 时，当 时， ， 在 上单调递减； 当 时，方程 的两根为 ，且 ， 此时， 在 上 ，函数 单调递增，在 上 ，函数 单调递减；当 时， ， ， 此时当 ， 单调递增，当 时， ， 单调递减； 综上：当 时， ， 单调递增，当 时， 单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减； （2）原式等价于 ，即存在 ，使 成立设 ， ，则 ， 设 ，则 ， 在 上单调递增又 ，根据零点存在性定理，可知 在上有唯一零点，设该零点为 ， 则 ，
21、且 ，即 ， 由题意可知 ， 又 ， ， 的最小值为 .点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果。22.以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 （ 为参数） （1）求直线 和曲线 的普通方程；（2）直线 与 轴交于点 ，与曲线 交于 ， 两点，求 【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（1）根据极直互化的公式得到直线方程，根据参普互化的公式得到曲线 C 的普通
22、方程；（2）联立直线的参数方程和曲线得到关于 t 的二次， .解析：（） ，化为 ，即 的普通方程为 ，消去 ，得 的普通方程为 .（）在 中令 得 ， ，倾斜角 ， 的参数方程可设为 即 ，代入 得 ， ，方程有两解， ， ， 同号，.23.已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）将 带入函数 中，再通过去绝对值将函数 转化为分段函数，依次解出的解集；（2）可通过 将函数 化简为 ，把 化简为 ，再通过 解出 的取值范围。【详解】 （1）当 时， ， 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ；综合可知，原不等式的解集为 （2）当 时， ，从而可得 ，即 ，且 ， ，因此 【点睛】本题主要考察带有绝对值的函数的化简，遇到这种题目的时候一定要对定义域进行深刻的研究，掌握当自变量在某一个定义域内时对应的函数值的变化。
